Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
151
При использовании криволинейных координат для решения
i
i
a ea=
a
k
u
i
e
( )
( )
i
ik
i
jjik
k
i
ij
kii
i
k
i
ji
kji
i
k
i
k
i
i
i
k
i
k
aa
u
a
a
u
a
a
u
a
u
a
u
a
u
,eeee
ee
e
e
a
=
Γ−
∂
∂
=Γ−+
∂
∂
=
=Γ−+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
i
k
jjik
k
i
ik
u
a
u
a
a e
a
∂
∂
=Γ−
∂
∂
=
ik
a
k
k
i
iik
ik
u
bccba
∂
∂⋅=a
e
{ } { }
ik
cb и
( )
jjik
k
i
ikik
a
u
a
aa Γ−
∂
∂
≡∇=
i
a
a
поставленной задачи вместо частных производных применяют так
называемые ковариантные (контравариантные) производные. При-
меняя их к тензору, опять получают тензор. Как будет показано
дальше, в декартовой системе координат ковариантные (контра-
вариантные) производные совпадают с частными производными.
Покажем введение ковариантной производной на примере
тензора типа (1, 0), т.е. вектора
. С этой целью разложим
производную вектора
по переменной
по базису
, используя
формулу дифференцирования векторов взаимного базиса, см. Упражнение 5 подраздела 3.6.
где
Покажем, что величины
образуют тензор 2-го ранга. Для
этого запишем выражение
,
которое, очевидно, является инвариантом для любых тензоров
типа (0, 1). В силу обратного тензорного признака (см. под-
a
раздел 1.3.), величины
являются компонентами тензора типа (2, 0).
ik
Введём обозначение
называемое ковариантной производной от ковариантных компонент
водную к тензору типа (1, 0) мы получили тензор типа (2, 0).
вектора
, (3.64)
. Таким образом, применяя ковариантную произ-
152
i
a
a
ji
jk
k
i
i
k
a
u
a
a Γ+
∂
∂
≡∇
0=Γ
i
kj
k
i
k
i
i
kik
u
a
u
a
aa
∂
∂
=
∂
∂
=∇=∇
{ }
ki
a
{ } { } { }
iii
cba ,,
ki
ki
baa=ϕ
j
k
i
ki
jk
j
i
ki
jki
j
ki
j
j
j
u
b
aacb
u
a
acba
u
a
c
u
c
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
ϕ∂
lk
lj
k
j
j
k
li
lj
i
j
j
i
bb
u
b
aa
u
a
Γ−∇=
∂
∂
Γ−∇=
∂
∂
;
.
k
j
i
ki
ji
j
k
ki
j
kil
kjlilijkl
j
ki
j
j
j
baacabac
baaa
u
a
c
u
c
∇+∇+
+
Γ−Γ−
∂
∂
=
∂
ϕ∂
Аналогично можно ввести ковариантную производную от
контравариантных компонент
после настоящего раздела):
вектора
(см. Упражнение 1
Применение производной этого типа к тензору типа (0, 1)
приводит к тензору типа (1, 1).
В декартовой системе координат
3. Рассмотрим теперь тензор
– тензоры типа (0, 1). Составим из них следующие
инварианты:
(см. Упр.5 после подраздела 3.1);
Из формулы (3.65) следует, что
. (3.65)
, поэтому
.
типа (2, 0). Пусть
.
.
шение, получаем:
ляют из себя инварианты, инвариантом является и первое слагаемое.
Обозначим
Подставляя полученные выражения в предыдущее соотно-
Поскольку вся сумма и два последних слагаемых представ-
153
kllijlilkj
j
ki
kij
aa
u
a
a Γ−Γ−
∂
∂
≡∇
Из изложенного выше следует, что ковариантная производ-
{ }
ki
a
lki
lj
ill
kj
j
i
k
i
kj
aa
u
a
a Γ+Γ−
∂
∂
≡∇
lik
lj
kli
lj
j
ki
ki
j
aa
u
a
a Γ+Γ+
∂
∂
≡∇
( )
qp,
,...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
li
kk
i
lj
iil
kk
i
lj
ii
lk
l
kj
ii
kkl
l
kj
j
ii
kk
ii
kk
j
p
qq
p
q
p
q
p
q
p
q
p
aaa
a
u
a
a
Γ++Γ+Γ−
−Γ−
∂
∂
≡∇
( )
qp ,1+
( ) ( )
Aj∇
q
p
q
p
ii
kk
ik
ii
kk
ki
aa
...
....
...
...
1
1
1
1
∇∇=∇∇
ik
ki
kk
ki
ki
kk
uu
a
uu
a
q
p
q
p
∂∂
∂
=
∂∂
∂
...
...
2
...
...
2
1
1
1
1
ная тензора
– тензор типа (3, 0).
Аналогично вводятся следующие выражения для ковариант-
ных производных тензоров 2-го ранга:
;
;
.
4. Для произвольного тензора типа
ся ковариантная производная
переводящая этот тензор в тензор типа
что операция ковариантного дифференцирования обладает свойством
линейности и другими свойствами обычного дифференцирования:
Особенно важным является коммутативность ковариантно-
го дифференцирования, т.е. при повторном применении операции
результат не зависит от порядка применения этих операций:
Действительно, в декартовой системе координат верно равенство
аналогично вводит-
. Можно проверить,
ABBABABABA
∇+∇=⋅∇∇+∇=+∇ ;
.
jjjjjj
.
154
A
j
∇
i
i
a ea=
i
i
a∇=adiv
l
l
i
i
i
li
li
i
i
i
i
a
u
H
u
a
a
u
a
a
∂
∂
+
∂
∂
=Γ+
∂
∂
=∇
ln
i
i
i
i
u
Ga
G
a
∂
∂
⋅=∇
)(1
jjjj
u
G
uuu ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
3
213
2
132
1
e
eee
e
eee
e
0=
kji
eee
( )
j
jjj
u
G
G
∂
∂
=Γ+Γ+Γ
3
3
2
2
1
1
j
i
ji
u
G
G
∂
∂=Γ1
i
i
i
ii
i
u
Ga
G
a
u
G
G
u
a
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
)(11
diva
Однако тензоры, совпадающие в одной системе координат,
тождественно равны, что и доказывает коммутативность ковариантного дифференцирования.
З а м е ч а н и е. Аналогично можно ввести понятие контравариантной произ-
водной тензора
5. С помощью операции ковариантного дифференцирования
введём понятие расходимости вектора
Используя формулы (3.65) и (3.63), преобразуем выражение
для расходимости вектора в ортогональной системе координат:
. Мы на этом останавливаться не будем (подробнее см. [3]).
:
. (3.66)
В произвольной криволинейной системе координат выражение для расходимости вектора принимает вид:
. (3.67)
Выведём формулу (3.67). Продифференцируем соотношение
(3.45):
.
Выражая производную каждого базисного вектора по первой
из формул (3.52) и учитывая, что
, если какие-либо индек-
сы совпадают, из предыдущего соотношения получаем:
, откуда
Таким образом,
.
.
155
В декартовой системе координат
const=G
3
3
2
2
1
1
div
u
a
u
a
u
a
u
a
i
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=a
∫∫∫∫∫
=
S
n
V
dSadvadiv
a
S
i
i
n
naa == na
321
dududuGdV =
∫∫∫∫∫
=
∂
∂
S
i
i
V
i
i
dSnadududu
u
Ga
321
)(
a
( )
Φ= grada
Φ∇=Φ∇=
∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
=
i
k
ki
k
kii
i
i
g
u
ga
u
a ,
( )
i
i
i
i
u
G
G
∂
Φ∇∂
=Φ∇∇=Φ
1
grad
div
, и мы получаем
известное из анализа выражение для дивергенции вектора:
.
В заключение используем полученное выражение (3.67) расходимости вектора для модификации формулы ГауссаОстроградского (см. подраздел 2.5.):
ности
Для проекции вектора
на орт внешней нормали к поверх-
имеем (см. Упражнения 4 подраздела 1.6):
(3.68)
.
Учитывая, что
, и подставив формулу
(3.67) в соотношение (3.68), получаем:
. (3.69)
В таком виде формула Гаусса – Остроградского справедлива
для произвольной координатной системы.
6. Выведем теперь выражение для оператора Лапласа в кри-
волинейных координатах. С этой целью возьмём в формуле (3.67) в
качестве вектора
градиент скалярной функции
321
,, uuuΦ
. Тогда
:
Подставив формулу (3.67) в последнее выражение, получаем:
Таким образом, в произвольной системе координат оператор
Лапласа выражается формулой
.
156
( )
i
k
ki
i
i
u
u
gG
G
u
G
G
∂
∂
Φ∂
∂
=
∂
Φ∇∂
=Φ∇
11
2
.
1
3
33
2211
32
22
1133
2
1
11
3322
1
332211
2
∂
Φ∂
∂
∂
+
∂
Φ∂
∂
∂
+
+
∂
Φ∂
∂
∂
=Φ∇
u
g
gg
uu
g
gg
u
u
g
gg
u
ggg
23
2
22
2
21
2
2
)()()( u
u
u
u
u
u
uu
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∆
i
a
a
ji
jk
k
i
i
k
i
k
a
u
a
aa Γ+
∂
∂
≡∇=
i
k
a
i
k
i
kikik
aaaa ∇=∇= и
{ }
ki
a
. (3.70)
Если система координат является ортогональной, то в силу
формулы G = g
Поскольку
11 g22 g33
соотношение (3.70) принимает вид
(3.71)
, полученное выражение для лапласиана
gH =
iii
совпадает с (3.36). Из формулы (3.71) можно в качестве частных
случаев получить выражение оператора Лапласа в цилиндрической и
сферической системах координат, полученное ранее в подразделе 3.4., а так же в декартовой системе координат
.
У п р а ж н е н и я
1. Вывести формулу (3.65) ковариантной производной от
контравариантных компонент
вектора
:
.
2. Доказать, что величины
из предыдущего упражнения
образуют компоненты тензора типа (1, 1).
3. Проверить, что величины
тензорами 2-го ранга, исходя из определения тензора.
4. Проверить, что ковариантная производная тензора
являются
157
kllijlilkj
j
ki
kij
aa
u
a
a Γ−Γ−
∂
∂
≡∇
.
0;0;0 =∇=∇=∇
i
kj
ki
jkij
ggg
является тензором типа (3, 0), исходя из определения тензора.
5. Доказать теорему Риччи:
.
6. Вывести из формулы (3.67) выражения для расходимости
вектора в цилиндрической и сферической системах координат.
7. Вывести из формулы (3.71) выражение оператора Лапласа
в цилиндрической и сферической системах координат.
158
1;1
321
123
321
231
321
312
321
213
321
132
321
321
−=δ=δ=δ=δ=δ=δ
0
321
321
=δ
iii
jjj
−=
′
232
221
362
A
( ) ( )
ki
k
i
kkii
aqaapa =
′
=
′
:1,0;:0,1
( )
lkjli
k
ji
aqqa =
′
:2,0
( )
srmttlksjri
m
kji
l
apqqqa =
′
:3,1
( )
m
tsrtlskrjim
i
lkj
apppqa =
′
:1,3
lrmrm
l
lrmrm
l
lrmrm
l
appqaappqaappqa
12
11
1221
11
2111
11
11
;; =
′
=
′
=
′
=
′
2234
2428
A
=
′
2234
2428
100
1
A
О Т В Е Т Ы
Раздел 1
Подраздел 1.1
2.
(с точностью до
перестановки столбцов индексов); в остальных случаях
.
112
1
1
111
1
211
1
212
011
7.
101
110
1
′
=
A
3
214
8.
116
Подраздел 1.2
;
.
.
и т. д.
121
111
121
aa
2
1
211
221
aa
2
1
112
122
aa
2
1
212
222
aa
2
1
aa
2
221
aa
2
. 9.
122
aa
2
222
aa
2
1
′
=
A
10
2428
.
2234
6.
3.
6.
=
P
2.
=
A
.
;
11.
. 12.
.
159
.57
,
.
12
23
1
1111
1
==
′
=
′
−−
==
−
mlrr
ml
mlrrkjmi
l
ji
k
apqqa
mapqqa
1
PQ
( ) ( )
.,
834
282
kji
k
ji
bac =
= илиC
8;6 ==
ki
ik
ki
ki
aa
( ) ( )
19;14;7;;16;17;10; ==== DC
k
kii
i
kik
badbac
bAEE
⊗=
= где,
1236
824
412
9120
680
340
393
262
131
82=
ki
ki
cba
( )
ji
li
j
l
ab =
= где,
00
00
B
13.
14.
′
=
A
′
A
=
201
′
2
.
312
′
3
100
668
′
.
666
′
266
kll
11
apqa
,0
==
k
2
22
apqa
k
3
lk
appa
112
2
lk
appa
3223
kll
.3
==
,6
==
kl
.6
==
kl
15.
Подраздел 1.3
.
где
i
6.
cba
.13;13;14 ===
i
i
ji
;,2;8;6
==
bac
j
=где
5.
i
i
i
i
7.
8. Для тензора А – 2 способа; 9.
Для тензора В – 6 способов
10.
11.
C
12.
( )
D
3;7,2;8 == cb
.
.
.
.0;,0;5;10
=−−=
cbacad
ijijiijj
13. 1)
;
160
ji
jk
i
k
ac =
−
= где,
05
50
C
ji
ik
j
k
ad =
−
−
= где,
24
13
D
ji
kj
i
k
ae =
−−
= где,
31
42
E
0=
ji
ji
a
1=
ji
ij
a
33
3
22
2
11
1
;; eeeeee
λ=λ=λ=
1
321
=λ=λ=λ
10,14;3,2
21
21
==== xxxx
α−
α−
α
=
1cos
cos1
sin
1
2
G
( ) ( ) ( )
1;1;1
2
1
;1;1;1
2
1
;1;1;1
2
1
321
−=−=−= eee
=
211
121
112
g
.9,8,7;3,2,1
321
321
====== xxxxxx
2)
3)
4)
2.
3.
.
5.
= ;;
112
′
;
121
=
211
7.
8.
( )
21
;
;
; 5)
Подраздел 1.4
=α−= ee
556
′
565
=
655
.
1
;0;ctg;1
sin
α
=
g;
.
; 6)
gppg
lkljkiji
α
.
T
′
=
α
cos1
1cos
.
gPPggg
;
9.
11.
12.
i
.
;
−−
113
−−
131
311
;
G
1
=
4
−−
ii
.
baba ==ba
i