Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
71
Находим значения частных производных функции
xyu arctg=
:M
.
2
1
1
,
2
1
1
2222
=
+
=
∂
∂
=
+
=
∂
∂
yx
x
y
u
yx
y
x
u
10
53
52
3
5
2
2
1
5
1
2
1
==⋅+⋅=
∂∂l
u
( )
zyxuu ,,=
l
lu∂
∂
( )
k
z
u
y
u
x
u
l
u
γ+β+α
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
coscoscos jikji
kjil
γ+β+α= coscoscos
0
P
kji
z
u
y
u
x
u
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=grad
P
l
uuu
l
u
l
gradпрcosgradgrad
0
=ϕ=⋅=
∂
∂
l
в точке
Подставляя найденные величины в формулу (2.22), получим
2.2.3. Градиент скалярного поля. Вычислим производ-
ную скалярного поля
.
в точке P по направлению, задан-
ному вектором
. Выражение производной
, найденное по фор-
муле (2.20), можно представить в виде скалярного произведения
двух векторов:
.
Вектор
представляет собой еди-
ничный вектор выбранного направления. Другой вектор определённым образом характеризует скалярное поле в данной точке (напомним, что в формуле (2.20) частные производные вычисляются в точке
) и называется градиентом скалярного поля:
Обозначив через ϕ угол между градиентом поля в точке
вектором
, имеем
. (2.23)
и
, (2.24)
т.е. скорость изменения скалярного поля по заданному направлению
равна проекции градиента на это направление.
Из формулы (2.24) следуют основные свойства градиента.
72
u
l
u
grad=
∂
∂
222
gradmax
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
z
u
y
u
x
u
u
l
u
π=ϕ
u
l
u
grad−=
∂
∂
2
π
=ϕ
0=
∂∂l
u
P
0=
∂∂l
u
l
( )
0,, =zyxF
( )
SzyxM ∈
0000
,,
( )
0grad
0
≠MF
( )
zyxFu ,,=
0
M
1. При ϕ=0
, т.е. быстрее всего скалярное поле
изменяется (возрастает) в данной точке в направлении градиента;
при этом
.
2. При
, т.е. быстрее всего скалярное поле
убывает в данной точке в направлении, противоположном направлению градиента.
3. При
Если через точку
.
провести поверхность уровня скалярного
поля, то по любой кривой, лежащей на этой поверхности,
следовательно, это справедливо для любого вектора
, лежащего в
касательной плоскости к поверхности уровня. Отсюда следует в силу
свойства 3), что градиент направлен по нормали к поверхности
уровня (или к линии уровня, если поле плоское).
Понятие градиента можно использовать для составления
уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности. Пусть
поверхность S задана уравнением
,
т.е.
Точка
– обыкновенная точка поверхности,
.
. (2.25)
Поверхность (2.25) можно рассматривать как поверхность
уровня скалярного поля
.
Поэтому в качестве нормали к этой поверхности в точке
использовать вектор
можно
73
( )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
000
0
,,grad
z
F
y
F
x
F
MuN
S
( ) ( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
=−
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
zz
z
F
yy
y
F
xx
x
F
0
0
0
0
0
0
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
222
zyxr ++=
,,
r
y
y
r
r
x
x
r
=
∂
∂
=
∂
∂
r
z
z
r
=
∂
∂
32
r
ex
x
r
r
e
x
u
−=
∂
∂
⋅−=
∂
∂
33
,
r
ez
z
u
r
ey
y
u
−=
∂
∂
−=
∂
∂
( )
rkjikji
33333
grad
r
e
zyx
r
e
r
ez
r
ey
r
ex
u −=++−=−−−=
Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в этой точке имеют вид:
У п р а ж н е н и я
1. Найти градиент потенциала электростатического поля,
описанного в Примере 2.3 (2.17).
Р е ш е н и е
. (2.26)
;
.
Поскольку
Теперь, используя правило дифференцирования сложной
функции, имеем:
Аналогично,
Таким образом, формула (2.23) принимает вид:
, то
.
.
.
.
74
( )
rfu =
( )
rf
222
zyxr ++=
( )
( )
r
x
rf
x
r
rf
x
u
′
=
∂
∂
′
=
∂
∂
( )
( )
r
z
rf
z
u
r
y
rf
y
u
′
=
∂
∂
′
=
∂
∂
,
( )
( )
( )
r
rf
r
rf
′
′
( )
rfu′=grad
( )
r
e
rf =
ra
eu
=
a
z
yx
u
22
+
=
22
42 zyu +=
ru ln=
rba
eu
=
ba
,
yxu −= 2
x
y
u2ln=
22
yxeu−
=
2. Найти градиент центрального поля
, где
–
дифференцируемая функция аргумента
Р е ш е н и е
По правилу дифференцирования сложной функции
.
(см. Упражнение 1). Аналогично,
.
Таким образом,
grad rrkji
u
=
откуда следует, что
предыдущего примера представляет собой частный случай цен-
трального поля при
3. Найти поверхности уровня следующих скалярных полей:
1)
, где
.
– постоянный вектор;
zyx
=++
. Очевидно, что скалярное поле
=
′
( )
.
,
rf
0
;
, где
;
.
;
;
– постоянные векторы.
;
2)
3)
4)
5)
4. Найти линии уровня следующих скалярных полей:
1)
2)
3)
75
5. Найти производную функции
22
arcsin
y
x
z
u+=
( )
1,1,1M
( )
3,2,3N
xyz =
( )
2,4
0
M
( )
vuvu gradgradgrad +=+
( )
uu gradgrad λ=λ
( )
vuuuv gradgradvgrad +=
0,
gradgrad
grad
2
≠
−
=
v
v
vuuv
v
u
( ) ( )
вектор постоянныйgrad −= aaar
( )
ϕ
ϕ
=ϕ gradgrad
d
du
u
( ) ( )
ϕ=ϕ=ϕ u
uzyx и,,
( )
22
ln yxz +=
( )
4,3M
yx
x
z+= arcsin
( ) ( )
4,3и1,1 BA
( )
0,, =zyxF
( ) ( )
zyxfPfu ,,==
в точке
точках
в направлении вектора, ведущего в точку
6. Найти наибольшую крутизну поверхности
.
7. Доказать следующие свойства градиента:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
где
8. Найти производную функции
в направлении градиента функции z.
9. Найти угол между градиентами функции
;
.
;
;
;
;
,
– дифференцируемые функции.
.
в точке
в точке
в
2.3. Интегралы по поверхности
2.3.1. О п р е д е л е н и е. Пусть в точках поверхности S,
заданной уравнением
определена непрерывная функция
первого рода
, (2.25)
.
76
( )
i
σ∆
i
σ∆
( )
ni ,,2,1 =
( )
i
σ∆
i
P
∑
=
σ∆
n
i
ii
Pf
1
)(
( )
i
d σ∆= diammax
0→d
( )
i
σ∆
0→d
i
P
S
S
OXY
( )
i
σ∆
)(
i
S∆
D
i
S∆
{ }
γβα= cos;cos;cosn
i
P
( )
iii
PS γσ∆=∆ cos
( )
i
i
i
PSγ
∆
=σ∆
cos
Разобьём заданный кусок поверхности произвольными линиями на n произвольных участков (ячеек)
площади
точку
. Выберем в каждой ячейке
и составим интегральную сумму
произвольную
.
Обозначим максимальный диаметр ячейки
; условие
означает, что каждая ячейка
стягивается в точку.
Если существует конечный предел интегральной суммы при
условии, что
поверхности и выбора точек
, и его величина не зависит от способа разбиения
, то этот предел называется интегра-
лом по поверхности первого рода (интегралом по площади поверхности) и описывается формулой
n
( ) ( ) ( )
∫∫
S
∫∫
S
lim,,
d
→
PfdzyxfdPf
∑
0
=
1
i
. (2.27)
σ∆=σ=σ
ii
Можно доказать, что интеграл (2.27) существует, если поверхность
является гладкой (состоит из обыкновенных точек, см.
пункт 2.2.2) или кусочно-гладкой (состоит из нескольких гладких
кусков).
Из определения интеграла (2.27) ясно, что интегралы по по-
верхности обладают обычными свойствами интегралов, например,
линейностью и аддитивностью.
2.3.2. Вычисление интеграла 1 рода. Спроектируем по-
верхность
на плоскость
этом участки
вующие участки
разбиения поверхности переходят в соответст-
области
, получим плоскую область D. При
площади
. Пусть
– единичный вектор нормали к поверхности S
в точке
. Как известно,
, откуда
.
77
Подставляя полученное значение
i
σ∆
D
( ) ( )
[ ]
∫∫∫∫
γ
=σ
DS
dxdy
yxzyxfdzyxf
cos
,,,,,
( )
yxzz ,=
S
n
( )
zyxF ,,
P
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==
z
F
y
F
x
F
F ;;gradN
F
F
grad
grad
==
N
N
n
2
2
2
cos
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=γ
z
F
y
F
x
F
z
F
( )
yxzz ,=
( ) ( )
0,,, =−≡ zyxzzyxF
гральной суммы и переходя к пределу (2.27), получаем основную
формулу, сводящую вычисление интеграла по площади поверхности
к вычислению двойного интеграла по области
в выражение для инте-
:
В формуле (2.28) функция
(2.25) поверхности
Для нахождения нормального вектора
заданной уравнением (2.25), вычислим градиент функции
точке
откуда
:
Таким образом, получаем:
.
находится из уравнения
.
(2.28)
к поверхности S,
;
.(2.29)
в
Пусть теперь задано явное уравнение поверхности:
Переписав его в виде
из формулы (2.29) получим:
.
,
78
( )
( )
22
1
1
cos
yx
zz′+
′
+
−
=γ
( )
( )
zyxf ,,
( )
1,, ≡zyxf
∫∫∫∫
γ
=σ=σ
DS
dxdy
d
cos
.1
2
2
2
2
2
∫∫
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+=
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=σ
D
D
dxdy
y
z
x
z
dxdy
z
F
z
F
y
F
x
F
OXY
( )
00:
222
>=−++ zaazyxS
∫∫
++=σ
D
dxdyayx
a
222
44
1
В этом случае соотношение (2.28) принимает вид:
( ) ( )
S
Механический смысл интеграла по поверхности. Если
функция
пределённой по поверхности, то интеграл выражает массу всей по-
верхности. В частном случае, когда
площадь поверхности S:
Учитывая формулы (2.29) и (2.30), соотношение (2.31) можно
переписать в виде:
является поверхностной плотностью массы, рас-
[ ]
∫∫∫∫
D
. (2.30)
22
′
( )
1,,,,,
+=σ
. (2.31)
′
+
yx
, интеграл выражает
.
dxdyzzyxzyxfdzyxf
П р и м е р 2.8. Вычислить площадь куска поверхности па-
раболоида вращения, расположенного над плоскостью
Р е ш е н и е
Применение формулы (2.32) даёт:
:
.
.
(2.32)
79
Область D – проекция поверхности S на плоскость
OXY
==+.0
,
222
z
ayx
( )
( )
.7,1155
6
|4
3
2
2
8
1
4
1
2
2
0
2/3
22
2
0 0
22
a
a
a
a
dad
a
a
a
π≅−
π
=+ρ⋅π⋅=ρρ+ρϕ=σ
∫ ∫
π
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
σγ
σγ
=
σγ
σγ
=
σγ
σγ
=
S
S
c
S
S
c
S
S
c
d
dz
z
d
dy
y
d
dx
x ,,
( )
zyx ,,γ=γ
( )
const=γ
σ
σ
=
σ
σ
=
σ
σ
=
∫∫∫∫∫∫
S
c
S
c
S
c
zd
z
yd
y
xd
x ;;
σ
0
2222
=−+ zayx
0>и0 z=Hz =
ог-
раничена окружностью
Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, по-
лучаем:
По аналогии с плоскими и пространственными областями,
нетрудно вывести формулы для нахождения координат центра тя-
жести куска поверхности:
,
где
принимают вид:
где
поверхности, описанной уравнением
и заключённой между плоскостями
– поверхностная плотность.
В случае однородной поверхности
эти формулы
, (2.33)
– площадь куска поверхности S.
У п р а ж н е н и я
1. Вычислить координаты центра тяжести части конической
,
.
80
OZ
0==ccyx
c
z
Hz =
==+.
,
2222
Hz
Hayx
.aHR =
D
OXY
2
2
2422
2
1 aaz
zayx
zayx
z
ayx
n
+
−+
=
++
−+
=
kjikji
const=
+
−=γ
2
1
cos
a
a
γcos
3
2
1
cos
cos
22
0
2
2
0
22
H
Ha
dd
a
dxdy
dxdy
a
yx
dxdy
dxdy
z
z
aH
D
D
D
D
c
=
π
ρρϕ
=
+
=
γ
γ
=
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
π
1=++ zyx
( )
∫∫
σ+Sdyx
22
222
yxz +=
0=z
1=z
∫∫
σ
S
xyzd
22
yxz +=
0=z
1=z
Р е ш е н и е
В силу симметрии конической поверхности относительно оси
(2.33). При пересечении конической поверхности плоскостью
образуется окружность
, а координату
вычислим, используя формулу
радиуса
в плоскости
Окружность того же радиуса ограничивает область
.
Находим единичный вектор нормали к конической поверхности:
,
откуда следует, что
(величину
можно
найти по формуле (2.29)).
Теперь по формуле (2.33) получаем:
.
2. Вычислить массу куска плоскости
, лежащего в
первом октанте, если плотность в каждой точке равна произведению
координат точки.
3. Вычислить
, где S – часть конической по-
верхности
.
, расположенная между плоскостями
4. Вычислить
, где S – часть параболоида вращения
, расположенная между плоскостями
и
и
.