У п р а ж н е н и я

ϕρ=Φ 2cos

2

0≡Φ∆

θ=Φ 2cosr

r

θ

ϕ

321

,, uuu

M

,3,2,1, =

∂

= i

u

i

где

r

e



321

,, uuu

′′′

M

i

k

i

k

ki

i

u

uu

′

∂

=

′

∂

=

′

∂

=

′

e

rr

e





1. Является ли гармонической функция

?

Р е ш е н и е

Вычисление для заданной функции оператора Лапласа в цилиндрических координатах по формуле (3.37) показывает, что

(проверьте самостоятельно), что и доказывает гармонич-

ность данной функции.

2. Является ли гармонической функция

?

3. Найти все гармонические функции

1) зависящие только от

2) зависящие только от

3) зависящие только от

; ;

.

3.5. Понятие тензорного поля

Рассмотрим в системе координат

связанный с точкой

. В отличие от подразделов 3.1, 3.2 обозначим

векторы этого базиса более привычным образом:

локальный базис,

полученные векторы, разумеется, не обязательно единичные.

Перейдём к новой системе координат

изменится локальный базис в точке

. Новые базисные векторы

. При этом

получаются по формуле дифференцирования сложной функции:

.

Таким образом, при переходе к новой системе координат базисные векторы преобразуются по формуле:

142

i

k

ki

u

′

∂

=′ee



i

k

u

′

∂

( )

k

i

p

i

e

′



i

e



i

k

i

k

ki

i

u

uu ∂

′

∂

′

=

∂

′

∂

′

∂

=

∂

= e

rr

e



i

k

ki

u

∂

′

∂

′

= ee



i

k

uu∂

′

∂

( )

k

i

q

k

j

i

k

j

i

k

u

δ=

′

∂

⋅

∂

′

∂

δ=

∂

′

∂

⋅

′

∂

;

i

a ea=

k

i

k

i

u

aaa

∂

′

∂

′

==

′′

eee



k

i

ki

u

aa

∂

′

∂

=

′

. (3.39)

Полученная формула (3.39) заменяет формулу (1.5) из разде-

ла 1, где мы изучали тензорное исчисление в декартовой системе ко-

ординат. Частные производные

, зависящие от координат вы-

бранной точки, образуют теперь матрицу перехода вместо матрицы

, (см. раздел 1).

Выведем формулы обратного перехода от базиса

к базису

:

,

т.е.

Таким образом, частные производные

рицу обратного перехода вместо матрицы

. (3.40)

образуют мат-

, (см. раздел 1). При

этом выполняются соотношения, аналогичные (1.12):

наты вектора

откуда

. (3.41)

Рассмотрим в качестве примера, как преобразуются коорди-

при переходе к новому базису. Имеем:

,

, (3.42)

143

т. е. компоненты тензора типа (0,1) преобразуются в соответствии с

{ }

i

k

bB =

j

i

k

l

j

l

i

k

u

bb

∂

′

∂

⋅

′

∂

=

′

{ }

ki

c

l

k

j

i

ljki

u

cc

∂

′

∂

⋅

∂

′

∂

=

′

kiikki

gg ee==

k

m

i

l

ml

k

m

i

l

lkiki

u

g

u

g

′

∂

⋅

′

∂

=

′

∂

′

∂

=

′′

=

′

eeee



( )

qp,

321

21

3

321

13

2

321

32

1

;;

eee

ee

e

eee

ee

e

eee

ee

e



















×

=

×

=

×

=

i

r



i

e



G=

321

eee



GGG

21

3

13

2

32

1

;;

ee

e

ee

e

ee

e













×

=

×

=

×

=

законом (3.40). Для тензора

типа (1,1) аналогично получим:

,

а для тензора

типа (0,2):

.

Метрический тензор вводится так же, как и в разделе 1:

;

отсюда следует, что

Аналогично рассмотренным, любой тензор типа

. (3.43)

в

криволинейной системе координат по ковариантным индексам преобразуется в соответствии с формулой (3.39), а по контравариантным индексам – в соответствии с формулой (3.40).

При использовании криволинейных координат векторы взаимного базиса можно ввести по формулам:

Заменяя векторы

в формуле (3.17) на

. (3.44)

и ограничиваясь

правой системой координат, (см. подраздел 3.2) получим

ggg

131211

, где

G =

. (3.45)

ggg

232221

ggg

333231

Таким образом, формулы (3.44) принимают вид

, (3.46)

144

j

i

j

i

δ=ee



kiki

g ee=

k i

kj

ji

kj

ji

gg δ

== eeee



( )

ki

ji

gg и

i

e



k

kiikiki

gg eeee



== ,

k

kii

g ee′′=

′



k

m

i

l

ml

i

k

u

g

u

ee

′

∂

′

∂

=

′

∂



j

i

uu∂

′

∂

k

m

mjj

k

m

l

jml

k

jk

u

g

u

g eeee

′

∂

=

′

∂

δ=δ



,

k

i

ki

u

′

∂

′

= ee



k

i

ki

uu∂

′

∂

=′ee



при этом

. (3.47)

Как и в разделе 1, вводим компоненты контравариантного

метрического тензора

. Из этих соотношений следует, что

т.е. матрицы

– взаимно обратны.

Найдём закон преобразования базисных векторов

реходе к новому базису. Из соотношений

переходя к новому базису, получим

.

Подставив формулы (3.39) и (3.43) в последнее равенство,

получим:

, (3.48)

при пе-

,

.

тывая (3.41), имеем:

тогда

Домножая обе части последнего соотношения на

Умножая последнее соотношение на

g

, (3.49)

. (3.50)

.

ji

, получим

и учи-

145

Теперь легко получить закон преобразования функций

ki

g

l

j

l

k

i

kjiji

u

g

∂

′

∂

′

∂

=

′⋅′

=

′

eeee



l

j

k

i

lkji

u

gg

∂

′

∂

′

∂

=

′

ki

g

ki

g

k

jik

j

i

kkji

j

i

uu

e



,

, Γ=

∂

Γ=

∂

jik,

Γ

k

ji

Γ

k

e



k

e



j

i

kk

ji

u∂

∂=Γe

e



j

i

kjik

u∂

∂=Γe

e



,

при переходе к новому базису:

т.е.

,

личины

Таким образом, величины

g

называются ковариантными компонентами, а величины

. (3.51)

ki

образуют тензор типа (0,2). Ве-

– контравариантными компонентами метрического тензора.

3.6. Символы Кристоффеля и их свойства

3.6.1. Символы Кристоффеля. Производные базисного

вектора по криволинейным координатам представляют собой некоторые векторы. Разложим их по векторам основного и взаимного базисов

Коэффициенты полученных разложений называются:

символами Кристоффеля первого рода,

феля второго рода. Умножая первое из этих соотношений на

второе на

, получим:

. (3.52)

–

– символами Кристоф-

, а

; (3.53)

. (3.54)

146

ji,

i

j

jiijijj

i

uuuuuuuu ∂

∂

=



 





 



∂

=

∂∂

∂

=



 





 



∂

=

∂

e

rrr

e







2

k

ji

j

i

k

i

j

kk

ij

uu

Γ=

∂

=

∂

=Γ

e



ijkjik ,,

Γ=Γ

j

u

kiki

g ee⋅=

jkijik

j

k

i

j

i

k

j

ki

uuu

g

,,

Γ+Γ=

∂

+

∂

=

∂

e



k

j

ll

kj

u∂

∂=Γe

e



g

i l

kji

k

j

i

k

j

l

li

l

kjli

uu

g

,

Γ=

∂

=

∂

=Γ

e

eee





i

kjkjl

li

g Γ=Γ

,

Приведём некоторые свойства символов Кристоффеля.

1. Симметричность по индексам

откуда следует, что

Аналогично можно показать, что

2. Связь с метрическим тензором. При дифференцировании

по переменной

равенства

. Имеем:

,

.

получаем:

. (3.55)

Умножая обе части соотношения

на

, получим

. (3.56)

Аналогично можно показать, что

. (3.57)

Формально соотношения (3.56) и (3.57) представляют собой операции опускания и поднятия индексов для тензоров 3-го ранга (далее будет показано, что символы Кристоффеля в общем случае не являются тензорами).

Имеет место следующая важная формула:

147



 





 



∂

−

∂

+

∂

=Γ

i

jk

j

ki

k

ji

kji

u

g

u

g

u

g

2

1

,

const=

ik

g

0,0

,

=Γ=Γ

i

kjkji

i

e



i

e

′



kigg

ki

≠== если,0

2

3

2

1

2

iiii

H

u

z

u

y

u

x

g =



 





 



∂

+



 





 



∂

+



 





 



∂

== e



i

ii

j

jii

gg eee



==

i

2

11

i

ii

H

g

g ==

GHHHHHHgggG ===

321

232

221332211

,



 





 



∂

−

∂

+

∂

=Γ=Γ

l

jk

j

kl

k

jl

li

kjl

lii

kj

u

g

u

g

u

g

2

,

. (3.58)

Для доказательства (3.58) достаточно подставить в правую часть этого соотношения выражение для каждого слагаемого, найденное по формуле (3.55). Отметим, что в декартовой системе коор-

динат

, поэтому

.

3. Символы Кристоффеля в ортогональных криволинейных

координатах. Если система координат является ортогональной, то вместе с базисом

ортогональным будет и взаимный базис

(см. Упражнение 2 после подраздела 1.4); поэтому

Далее получаем:

откуда

здесь суммирования по индексу

Из последней формулы легко вывести, что

Напомним ещё полезные формулы (см. подраздел 3.2):

Из формул (3.57) и (3.58) следует, что

. (3.59)

; (3.60)

,

нет.

. (3.61)

.

. (3.62)

148

kji ,,

0=Γ

i

kj

ikj ≠=

.,2

2

11

2

11

22

2

,,

ki

u

H

u

H

u

g

u

g

u

g

H

gg

i

k

i

k

i

k

i

kk

k

ki

k

ki

i

kki

ii

kkl

lii

kk

≠

∂

−=

∂

−=

=



 





 



∂

−

∂

+

∂

=Γ=Γ=Γ

j

i

ji

uH∂

∂=Γln

.

k

s

i

j

s

j

k

s

i

j

s

j

k

s

i

j

sk

s

i

k

i

u

uu

u

uu

u

uu

∂

′

∂



 





 



∂

′

∂

′

∂

′

+

∂

′

∂

⋅

∂

′

∂

⋅

′

∂

′

∂

=

∂

′

∂



 





 



∂

′

∂

′

∂

=

∂

′

∂

⋅

′

∂

=

∂

e

ee





ki

j

l k

li

j

k

s

l

li

j

uu

u

uu

u

uu

u

∂∂

′

∂

′

=δ

∂∂

′

∂

′

=

∂

′

∂

⋅

′

∂

⋅

∂∂

′

∂

′

222

eee



mmsj

s

j

jjki

k

i

uu

e

′Γ′

=

′

∂

′

∂

Γ=

∂



;

Если

попарно различны, из формулы (3.59) получаем

.

При

из формула (3.60) получаем:

Аналогично, из соотношения (3.61) получаем:

. (3.63)

Используя формулу (3.56), можно получить соответствую-

щие выражения для символов Кристоффеля первого рода.

4. Выведем формулы преобразования символов Кристоффеля при переходе к новой системе координат. Используя правило дифференцирования сложной функции и соотношения (3.40), получаем:

Преобразуем последнее слагаемое, используя (3.41):

.

По формулам (3.52)

.

Таким образом,

149

=

∂∂

′

∂

′

+

∂

′

∂

⋅

∂

′

∂

′Γ′

=Γ

ki

m

k

s

i

j

mmsjjjki

uu

u

2

eee



ki

m

j

k

s

i

l

m

j

jmsl

uu

u

∂∂

′

∂

⋅

′

∂

+

∂

′

∂

⋅

∂

′

∂

′

∂

Γ′=

2

ee



ki

m

j

k

s

i

l

m

j

m

sl

j

ki

uu

u

∂∂

′

∂

⋅

′

∂

+

∂

′

∂

⋅

∂

′

∂

′

∂

Γ′=Γ

2

0

2

=

∂∂

′

∂

ki

m

uu

u

mimm

buau +=

′

ji

kj

k

i

u

e



Γ−=

∂

i

jj

i

δ=ee



.

Окончательно, получаем

.

Из полученного соотношения видно, что символы Кристоф-

феля второго рода образуют тензор 3-го ранга только при условии,

что

, т.е. при аффинном преобразовании координат

.

Аналогичное заключение справедливо и для символов Кри-

стоффеля первого рода.

У п р а ж н е н и я

1. Вычислить ковариантные компоненты метрического тен-

зора в цилиндрической и сферической системах координат.

2. Вычислить контравариантные компоненты метрического

тензора в цилиндрической и сферической системах координат.

3. Вывести формулы для символов Кристоффеля 2-го рода в

цилиндрической системе координат.

4. Вывести формулы для символов Кристоффеля 2-го рода в

сферической системе координат.

5. Вывести формулы дифференцирования векторов взаимно-

го базиса

.

У к а з а н и е. Продифференцировать соотношение

150

k

u

321

,, uuu

k

u

( )

321

,, uuuϕ=ϕ

{ }

i

aA =

k

i

ua∂

∂

.

2

ik

j

i

j

k

l

i

ik

j

i

j

k

i

j

i

kk

i

uu

u

a

u

a

uu

u

a

u

a

u

a

uu

a

∂∂

′

∂

′

+

∂

′

∂

⋅

∂

′

∂

⋅

′

∂

′

∂

=

∂∂

′

∂

′

+

∂

′

∂

⋅

∂

′

∂

=



 





 



∂

′

∂

′

∂

=

∂

k

i

ua∂

∂

02=

∂∂

′

∂

ik

j

uuu

по переменной

.

3.7. Дифференцирование тензоров

В криволинейной системе координат

задан некото-

рый тензор. Образуют ли тензор частные производные его компо-

нент по переменной

1. Пусть

? Рассмотрим сначала частные случаи.

– скалярная функция (тензор нулево-

го ранга). Тогда вектор





ϕ∂

grad

=ϕ





i

u

∂





представляет собой, как известно, тензор ранга 1.

2. Рассмотрим теперь тензор типа (1, 0)

и найдём за-

кон, по которому преобразуются производные его компонент

при переходе к новой системе координат:

Сравнение полученной формулы с (3.51) и подобными фор-

мулами подраздела 3.5 показывает, что величины

образуют тен-

зор 2-го ранга типа (2, 0) лишь при условии, что второе слагаемое правой части отсутствует,

,

т.е. в случае аффинного преобразования координат, например, если использовать прямолинейные (декартовы) координаты.