Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
101
Из выражения для потока вектора (2.43) следует, что инте-
arot
грал в правой части формулы Стокса представляет собой поток вектора
через поверхность S.
102
( ) ( )
aa
rot
SL
Π=Ц
a
a
L
arot
x
R
R
x ∂
∂
=⋅
∂
∂
( ) ( )
( )
( )
ji
kji
a
12rot
2
−−−=
+++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= x
zxzyzx
zyx
ω
Таким образом, теорема Стокса в векторной форме имеет вид:
т.е. циркуляция вектора
ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на этот
контур.
Из соотношения (2.54) следует, что поток ротора вектора
через любую поверхность, натянутую на контур
т.е. не зависит от формы поверхности.
Выражение для
волический определитель третьего порядка:
Этот определитель удобно раскрывать по элементам первой
строки; при этом операции умножения элементов второй строки на
элементы третьей строки заменяют операциями дифференцирования,
например,
П р и м е р 2.23. Найти ротор вектора
по замкнутому контуру L равна потоку
(2.53) можно записать, используя сим-
∂
=
a
rot
.
∂
∂
, (2.54)
, один и тот же,
kji
∂
∂
. (2.55)
zyx ∂
RQP
2
.
kjia
zxzyzx +++++=
Р е ш е н и е
По формуле (2.55), получаем:
П р и м е р 2.24. Найти ротор поля линейных скоростей
твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с постоянной
угловой скоростью
.
.
103
Р е ш е н и е
ω
( )
zyxM ,,
rv
×ω=
k
ω=ω
ji
kji
xy
zyx
v ω+ω−=ω= 00
ω=ω=
ωω−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
2
0
vrot k
kji
xy
zyx
L
S
L
( ) ( ) ( )
( )
,222rotrot σω=σω=σ⋅ω=σ⋅=Π=
∫∫∫∫∫∫
SSS
SL
ddkdnvvv
Ц
( )
n
vnv
v
L
rotrot2 =⋅=ω=
σ
Ц
n
( )
zyxM ,,
L
n
Выберем систему координат так, чтобы ось OZ была направлена вдоль вектора
рость точки
, находим
Теперь по формуле (2.55) находим ротор:
Таким образом, ротор поля скоростей твёрдого тела, вра-
щающегося вокруг неподвижной оси, для всех точек тела равен удвоенной угловой скорости вращения.
Вычислим в дополнение к этому примеру циркуляцию поля скоростей вдоль окружности
перпендикулярной оси вращения. В качестве поверхности
круг, ограниченный окружностью
. Как известно из кинематики, линейная ско-
тела равна
радиуса R, расположенной в плоскости,
. По формуле Стокса (2.54)
. Считая
.
.
возьмём
где σ – площадь круга. Отсюда приходим к соотношению
Аналогичное соотношение имеет место и в общем случае.
Возьмём произвольное направление
, и окружим эту точку малой плоской площадкой, ограни-
ченной контуром
формулы Стокса
.
, выходящее из точки
, площади σ, перпендикулярной вектору
. Из
104
( )
( )
∫∫
σ⋅
σ
=
σ
→→
S
MS
L
MS
dna
a
rot
1
limlim
Ц
( ) ( )
σ⋅⋅=σ⋅
∫∫
1
|rotrot
M
S
d nana
1
M
( )
ana
a
n
rotrotlim =⋅=
σ
→LMS
Ц
arot
n
n
arot
kjia
222
zyx ++=
( )
4,2,1
0
M
( )
ba
×div
,kjia
zyx ++=
( )
ugraddiv
zy
xeu++
=
( )
rc×div
c
( ) ( )
r
rrrra
ϕ=ϕ=
0
R
OZ
К интегралу в правой части можно применить теорему о
среднем
.
,
где
– некоторая точка площадки S. После перехода к пределу
получим
Соотношение (2.56) выражает проекцию вектора
бранное направление
, причём полученная величина в силу её оп-
. (2.56)
на вы-
ределения не зависит от выбора системы координат. Поскольку век-
в формуле (2.56) – произвольный, это соотношение вполне ха-
тор
рактеризует вектор
и представляет собой инвариантное опре-
деление ротора.
У п р а ж н е н и я
1. Вычислить дивергенцию вектора
в точке
2. Найти
3. Вычислить
4. Найти
5. Найти дивергенцию вектора
.
, если
, где
, если
.
– постоянный вектор.
.
kjib
xzy ++=
ность круглого цилиндра (радиус основания
цилиндра совпадает с осью
.
6. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверх-
, высота H), если ось
.
105
7. Найти поток вектора
kjia
xyxzyz ++=
( )
2,0,0S
( ) ( )
,0,0,2,0,0,0 AO
( )
0,1,0B
==+0
4
:
22
z
yx
L
==+3
4
:
22
z
yx
L
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
ra
rf=
( ) ( )
ara
×=
r
r
1
rot
a
( ) ( )
uuu gradrotrot ×+
= aaa
( )
Muu =
( )
ba
,
( )
baabba
rotrotdiv ⋅−⋅=×
верхность пирамиды с вершиной в точке
служит треугольник с вершинами
8. Вычислить циркуляцию векторного поля
через боковую по-
, основанием которой
и
kjia
yxz ++=
.
вдоль контура
2) по формуле Стокса.
9. Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль контура
2) по формуле Стокса.
10. Найти ротор векторных полей:
1)
2)
3)
11. Вычислить ротор вектора
12. Доказать следующие свойства ротора:
1)
2)
функция;
3)
двумя способами: 1) непосредственно;
2
двумя способами: 1) непосредственно;
, где
, где
baba
×=⋅rrot
– постоянный вектор;
– постоянные векторы;
kjia
zxy −+=
;
kjia
yxzxzy +++++=
;
kjia
xzzyyx +++++=
.
, где
222222
.
kjia
xzzyyx +++++=
– скалярная
4)
.
106
kji
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
x∂
∂
( )
zyxu ,,
xu∂
∂
y∂
∂
( )
zyxu ,,
yu∂
∂
z∂
∂
( )
zyxu ,,
zu∂
∂
( )
Muu =
2.6. Оператор Гамильтона и его применения
2.6.1. Дифференциальные векторные операции пер-
вого порядка. Операции вычисления градиента скалярного поля, а
также дивергенции и ротора векторного поля представляют собой
дифференциальные векторные операции первого порядка. Их удобно
записывать, используя так называемый символический вектор "набла":
который ещё называют оператором Гамильтона. Этот оператор при
своём применении сохраняет черты как вектора, так и дифференциального оператора. При этом как дифференциальный оператор он действует только на тот множитель, который расположен непосредствен-
но за оператором ∇. Если оператор Гамильтона действует на какое-
либо произведение, то в первую очередь учитывается его дифференциальный характер, а затем уже векторные свойства. При использова-
нии оператора ∇ формальное умножение
заменяется нахождением частной производной
ние
частной производной
торные операции первого порядка с помощью оператора Гамильтона.
на скалярную функцию
, а умножение
понимается как нахождение частной производной
Учитывая вышесказанное, запишем дифференциальные век-
1. Умножая символический вектор ∇ на скалярную функцию
, получим градиент этой функции:
, (2.57)
на скалярную функцию
, умноже-
понимается как нахождение
на скалярную функцию
.
107
u
z
u
y
u
x
u
u
zyx
u grad=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ kjikji
.
( )
Maa=
a
( )
Maa=
a
a
kji
a
rot=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
RQP
zyx
( )
vuu ∇+∇=+∇
v
( ) ( )
gradvgradgrad +=+∇=
+ uvuvu
( ) ( )
( )
=+ ba
rot
( )
bababa
rotrot +=×∇+×∇=+×∇
( )
Muu =
uu grad=∇=a
,graddivdiv u=a
2. Умножая символический вектор ∇ на векторную функцию
скалярно, получим дивергенцию вектора
:
∂
=∇
∂
3. Умножая символический вектор ∇ на векторную функцию
векторно, получим ротор вектора
П р и м е р 2.25. Из определения оператора ∇ следует, что
Поэтому
П р и м е р 2.26.
П р и м е р 2.27.
В Примерах 2.26, 2.27 использовано распределительное
свойство для скалярного и векторного произведений.
2.6.2. Дифференциальные векторные операции
второго порядка. Получаются в результате двукратного примене-
ния к полям оператора ∇.
Рассмотрим скалярное поле
получаем векторное поле
можно применить две дифференциальные операции первого порядка:
∂
+
+
∂
∂
( )
∂
zyx
∂
P
+
=++
RQP
.
. К этому векторному полю
∂
∂
x
:
.
. Применяя оператор ∇,
R
Q
+
y
.
div=
∂
z
divdivdiv +=∇+∇=+⋅∇=+
∂
∂
,
akjikjia
.
babababa
.
108
ugradrotrot =a
a
a
div
arot
a
divgrad
arot
arotdiv
arotrot
.rotrot,rotdiv,divgrad
,gradrot,graddiv
aaa
uu
( )
uuuu
2
graddiv ∇=∇⋅∇=∇⋅∇=
∆≡
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
2
2
2
2
2
2
2
zyx
uu ∆=graddiv
( )
0gradrot
=∇×∇= uu
( ) ( )
0rotdiv =∇×∇=
×∇⋅∇= aaa
a
divgrad
.
Рассмотрим теперь векторное поле
. В нём дифференциальные операции первого порядка порождают скалярное поле
и векторное поле
му полю, приходим к векторному полю
ченному векторному полю
порядка, получаем скалярное поле
. Применяя оператор ∇ к полученному скалярно-
. Применяя к полу-
дифференциальные операции первого
и векторное поле
Таким образом, получаем следующие дифференциальные
векторные операции второго порядка:
Рассмотрим полученные выражения.
1. По определению символического оператора ∇
.
Оператор
(2.58)
называется оператором Лапласа. Таким образом,
.
. (2.59)
2. Ротор градиента
–
векторное произведение двух коллинеарных векторов.
3. Аналогично получаем
.
Рассмотренные выше векторно-дифференциальные выраже-
ния являются наиболее важными.
4. Из оставшихся двух выражений вычислим сначала
:
109
.
2
222
2
2
2222
2
2
k
ji
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
z
R
zy
Q
zx
P
zy
R
y
Q
yx
P
zx
R
yx
Q
x
P
arotrot
( )
aa
×∇×∇=rotrot
aaa
a
kjia
RQP ∆+∆+∆=∆
( )
vuuvuv ∇+∇=∇
( )
vuuuv gradgradvgrad +=
2
v
vuuv
v
u ∇−∇
=
∇
( ) ( )
uufuf ∇
′
=∇
ugradufuf )()(′=grad
0rotdiv =a
0gradrot
=u
divgrad
∇=
a
∂
∂
Q
P
+
∂
∂
y
x
∂
R
+
∂
z
P
∂
∇=
x
∂
∂
Q
∇+
∂
y
R
∂
∇+
=
z
∂
5. Для последнего выражения
получаем
.
Используя свойства двойного векторного произведения (см.
(1.45)), можно вывести соотношение
,
∆−= divgradrotrot
здесь подразумевается, что оператор Лапласа применяется к каждой
координате вектора
:
У п р а ж н е н и я
1. Доказать следующие свойства оператора Гамильтона:
1)
2)
3)
2. Проверить формулы, полученные с помощью оператора
Гамильтона, непосредственным вычислением частных производных:
1)
;
, или
;
;
, или
2)
.
110
( )
uuu graddivdiv aaa
+=
( )
aaa
×+= uuu gradrotrot
( )
( )
ara
2rot =×
a
( )
vuuvvuuv ∇⋅∇+∆∆=∆ 2+
kjia
RQP ++=
( )
zyx ,,Φ
a=Φgrad
( )
zyx ,,Φ
R
z
Q
y
P
x
=
∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
,,
RdzQdyPdxd ++=Φ
AB∪
( ) ( )
3. Доказать следующие соотношения:
1)
2)
3)
4)
5)
rr
×= uu gradrot
, где
;
;
;
– постоянный вектор;
.
2.7. Некоторые типы векторных полей
2.7.1. Потенциальное поле. Векторное поле
называется потенциальным в области G, если
существует такая функция
ся соотношение
, для которой в G выполняет-
Функция
ля. Из равенства (2.60) следует, что
кроме того,
Вычислим линейный интеграл по некоторой дуге
Поскольку последнее соотношение справедливо для любой ду-
ги, можно сделать вывод, что в потенциальном поле линейный интеграл
не зависит от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки: он равен разности потенциалов конечной и начальной точки.
Отсюда вытекает ещё одно свойство потенциального поля:
циркуляция поля по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в поле, равна нулю
называется (скалярным) потенциалом по-
. (2.60)
, (2.61)
. (2.62)
. (2.63)
ABdRdzQdyPdx
∫∫
ABAB
∪∪
Φ−Φ=Φ=++