Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
61
Годографом непрерывной векторной функции является не-
( )
tr
t∆
∆r
0→∆t
( )
tr
0
t
( )
0
tr
′
( )
td
td
0
r
( )
( ) ( ) ( )
kji
rr
000
0
0
lim tztytx
ttd
td
t
′
+
′
+
′
=
∆
∆
=
→∆
( )
tr
′
t
r∆
t∆
∆r
t
0→∆t
( )
tr
′
( )
( )
ttr
r
′
′
=τ
c
0
=
td
dc
прерывная кривая. Нетрудно показать, что сумма, разность, скалярное и векторное произведения двух непрерывных векторных функций, а также произведение непрерывной векторной функции на непрерывную скалярную являются непрерывными функциями.
Составим для непрерывной векторной функции
отноше-
ние
и перейдём к пределу при
(переход к пределу осуще-
ствляется покоординатно). Этот предел, если он существует, называется производной векторной функции
или
:
в точке
Производная
лярного аргумента
этому вектор
также лежит на секущей, при этом направлен в
сторону возрастания
также является векторной функцией ска-
. Вектор
. Когда
лежит на секущей годографа; по-
, секущая в пределе переходит в
касательную к годографу. Следовательно, вектор
и обозначается
. (2.5)
(если он не-
нулевой) лежит на касательной к годографу и направлен в сторону
возрастания аргумента, а вектор
представляет собой единичный вектор касательной.
2.1.3. Правила дифференцирования векторной
функции. Эти правила во многом напоминают правила дифферен-
цирования скалярных функций.
1. Если
– постоянный вектор, то
.
2. Линейность производной:
62
( ) ( )
[ ]
td
bd
k
td
d
ktktk
td
d
2121
+=+aba
( )
tf
( ) ( )
[ ]
( )
r
r
r
td
fd
td
d
tfttf
td
d
+=
( )
td
d
td
d
td
d a
b
b
a
ba
+=
⋅
( )
b
ab
a
ba
×+×=
×
td
d
td
d
td
d
( ) ( ) ( )
ttt ba
⋅=ϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
.bababababbaa
baba
∆⋅∆+⋅∆+∆⋅=⋅−∆+⋅∆+=
=⋅−∆+⋅∆+=ϕ−∆+ϕ=ϕ∆ ttttttttt
0→∆t
( )
0lim
0
=∆
→∆bt
( )
td
d
td
d
td
d
td
d a
b
b
a
ba
+=
⋅
=
ϕ
( )
0000
,, zyxM
( )
00
txx =
( ) ( )
0000
, tzztyy ==
.
3. Если
4.
Доказательство всех этих формул аналогично доказательству
соответствующих формул для скалярных функций. В качестве при-
мера выведём формулу (2.7). Зададим
Отсюда
-скалярная функция, то
; (2.7)
∆
ϕ∆
a
⋅=
∆
∆
ab
∆
+
∆
∆
b
+⋅
∆
. (2.6)
. (2.8)
, тогда
a
.
b
∆⋅
tttt
Переходя к пределу при
ности вектор-функции
П р и м е р 2.2. Выведем уравнения касательной к про-
странственной кривой (2.2) в точке
, и так как в силу непрерыв-
, получим
.
, где
,
tb
.
63
В качестве направляющего вектора возьмём вектор
( )
0
tr
′
( )
trr=
( )
( )
( )
0
0
0
0
0
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx
′
−
=
′
−
=
′
−
ba
=
( )
dt
d
dt
d a
aaa
2, =
2
),( aaa
=
( )
dt
d
dt
d
a
aa
2
2
=
dt
d
dt
d
a
a
a
a
=
( )
ta
0=
dt
da
a
dt
da
a
( )
trr=
t
r
r
⊥
dt
d
( )
trr=
dt
dr
r
.t
( ) ( ) ( ){ }
tztytx
dt
d
′′′
== ,,
r
v
– векторное уравнение кривой. Канонические уравнения ка-
сательной по формуле (2.5) имеют вид
, где
.
Считая, что в соотношении (2.7)
Так как
и
Если вектор
лы (2.9) получаем
лярен вектору
. Таким образом, доказана следующая ниже теорема.
обладает постоянным модулем, из форму-
, а это означает, что вектор
Т е о р е м а. Если модуль вектор-функции
постоянным для всех значений
, то
Геометрическое доказательство теоремы следует из того, что
годограф векторной функции
расположенная на сфере, а вектор
, получим
.
, отсюда следует, что
. (2.9)
перпендику-
остаётся
.
в данном случае есть кривая,
направлен по касательной к
этой кривой, следовательно, перпендикулярен к радиусу-вектору
нейной траектории. Координаты движущейся точки представляют собой функции времени
которую можно записать в виде векторного уравнения движения
(2.3). Найдём вектор скорости
2.1.4. Движение материальной точки по криволи-
Точка движется по траектории (2.2),
. (2.10)
.
64
222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dvr
0
M
222
+
+
=
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
ds
dt
ds
v =
( )
( )
τ
τ=⋅==
v
dt
ds
ds
d
dt
d
rr
v
τ
τ⊥
τ
ds
d
n
k
ds
d=τ
n
ds
dkτ
=
t
Его модуль (величина скорости)
. (2.11)
Введём на траектории параметр s – длину кривой, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки
на кривой. Из курса
математического анализа известна формула
.
Из сравнения последнего соотношения с формулой (2.11)
следует, что
. (2.12)
По правилу дифференцирования сложной функции
d
ds
– единичный вектор касательной. Поэтому, учитывая (2.12),
где
dt
ds
=⋅=
′
( )
′
dt
d
′
t
ts
t
rrrr
=
′
( )
r
,
τ=
t
вектор скорости можно представить в виде
. (2.13)
Поскольку
пункта 2.1.3
– единичный вектор главной нормали;
где
Дифференцируя соотношение (2.13) по
– вектор единичной длины, согласно Теореме
, в силу чего
, (2.14)
– кривизна кривой.
и используя прави-
ло (2.6), найдём вектор ускорения:
65
dt
ds
ds
d
v
td
dv
dt
d
v
td
dv
dt
dv
⋅
τ
+τ=
τ
+τ==
a
Подставив в последнее выражение формулы (2.12) и (2.14),
na
kv
td
dv
2
+τ=
dt
d
dt
d r
r
×
dt
d
dt
d r
r
( ) ( ) ( )
ttt cba
,,
( )
[ ]
cba
×
dt
d
( )
[ ]
cba
××
dt
d
=
=
=
ctz
tay
tax
sin
cos
t
( )
tr
ra
r
×=
td
d
a
окончательно получаем:
.
Полученное соотношение (2.15) представляет собой разложение вектора ускорения на касательную и нормальную составляющие; эта формула играет важную роль в механике.
. (2.15)
У п р а ж н е н и я
1. Вычислить производные:
1)
2. Для векторных функций
1)
3. Пусть точка движется по винтовой линии, описанной урав-
нениями
; 2)
; 2)
вычислить:
,
– время.
где переменная
Показать, что скорость точки имеет постоянную величину.
4. Найти траекторию движения, для которого радиус-вектор
движущейся точки удовлетворяет условию
где
– постоянный вектор.
,
66
a
( )
Pfu =
u
P
( )
zyxuu ,,=
P
( )
ruu =
u
( )
.,,, const== CCzyxu
r
e
u =
222
zyxr ++=
У к а з а н и е. Для решения аналитическим способом ввести в пространст-
ве систему координат таким образом, чтобы вектор
был параллелен оси OZ.
2.2. Скалярное поле и его характеристики
2.2.1. Понятие скалярного поля. В области G простран-
ства задано скалярное поле, если в этой области задана числовая
функция
странстве введена система координат, то скалярное поле
странстве можно рассматривать как функцию координат точки
, где P – любая точка области G. Если в про-
в про-
,
или как функцию радиуса-вектора точки
В общем случае величина
может зависеть от времени. Мы ограничимся рассмотрением полей, не
зависящих от времени; такие поля называются стационарными. Примерами скалярных полей служат поле температуры, поле давления, элек-
тростатическое поле (поле потенциала электрического заряда).
Геометрической характеристикой скалярного поля служат
поверхности уровня – поверхности, на которых скалярное поле при-
нимает одно и то же значение:
П р и м е р 2.3. Если заряд помещён в начале координат, то
потенциал электростатического поля определяется по формуле:
где e – заряд,
Функция (2.17) задаёт скалярное поле в любой точке пространства за исключением начала координат, где потенциал обращается в ∞. Выведем уравнение поверхностей уровня (эквипотенциаль-
ные поверхности):
, характеризующая скалярное поле,
, (2.17)
– расстояние точки до заряда.
:
.
(2.16)
67
,0
,
1
2
2
222
>==++
==
C
C
e
zyx
C
e
rC
r
e
,
22
arcsin
yx
z
u+=
≠++
+≤
≤
+
0
,1
222
222
22
zyx
yxz
yx
z
0
222
=−+ zyx
C
yx
z
=
+
22
arcsin
( )
CyxzC
yx
z
2222
22
sin,sin +==
+
XOY
( )
yxuu ,=
тогда это уравнения концентрических сфер с центром в начале координат (в точке, где находится электрический заряд).
П р и м е р 2.4. Рассмотрим скалярное поле, определяемое
уравнением
. Область определения этой функции
трёх переменных задаётся неравенством
.
Этому условию удовлетворяют координаты всех точек, нахо-
дящихся вне и на поверхности прямого кругового конуса с выколо-
той вершиной, уравнение которого имеет вид
.
Поверхности уровня для данного скалярного поля описыва-
ются уравнением
,
откуда
.
Последнее уравнение определяет семейство круговых конусов с общей вершиной в начале координат. В этой точке скалярное
поле не определено.
Если скалярное поле задано только в точках плоскости (например, плоскости
), мы имеем плоское поле
. (2.18)
Скалярное поле называется плоскопараллельным полем, если
во всех плоскостях, параллельных некоторой плоскости, поле имеет
68
XOY
( )
.const== CCyxu ,,
22
yxu −=
0=C
xyxy −== ,
0≠C
P
( ) ( )
zyxuPuu ,,==
1
P
{ } { }
;вектора длина ll=ρ
γβα ,,
l
( ) ( )
PuPuu
l
−=∆
1
( )
Pu
ρ
∆ u
l
0→ρ
( )
Puu =
l
ρ
∆
=
∂
∂
→ρ
u
l
u
l
0
lim
один и тот же вид. Если ввести в такой плоскости систему координат
, получим плоское поле (2.18).
Геометрической характеристикой плоского поля служат линии уровня – линии, на которых скалярное поле (2.18) принимает одно и тоже значение:
П р и м е р 2.5. Скалярное поле
ве линий уровня следующие линии:
При
22
имеем пару прямых
const==− CCyx ,
лучаем семейство гипербол.
2.2.2. Производная по направлению. Рассмотрим ска-
лярное поле в некоторой точке
:
Выберем близкую к точке Р точку
1
где
zyxPPl
– углы, образованные вектором
Разность
представляет собой приращение функции
имеет в качест-
.
. При
.
и обозначим вектор
,
γρβραρ=∆∆∆== cos;cos;cos;;
с осями координат.
в направлении век-
по-
тора l, а отношение
определяет среднюю скорость изменения
скалярного поля по данному направлению. Предел указанного отношения при
функции
(если он существует) называется производной
в данной точке P в направлении вектора
:
. (2.19)
69
Если функция
( )
Puu =
u
l
∆
( )
( )
,coscoscos ρ+γρ
∂
∂
+βρ
∂
∂
+αρ
∂
∂
=
=ρ+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
o
z
u
y
u
x
u
oz
z
u
y
y
u
x
x
u
u
l
( )
ρo
0→ρ
γ
∂
∂
+β
∂
∂
+α
∂
∂
=
∂
∂
coscoscos
z
u
y
u
x
u
l
u
P
( )
yxuu ,=
β
∂
∂
+α
∂
∂
=
∂
∂
coscos
y
u
x
u
l
u
2
π
=β+α
α
∂
∂
+α
∂
∂
=
∂
∂
sincos
y
u
x
u
l
u
P
32
zxyu =
N
дифференцируема в точке P, её пол-
ное приращение
где
при
лу, получим
вычислены в точке
скорость изменения поля в данной точке в данном направлении.
– бесконечно малая величина более высокого порядка, чем ρ
.
Подставив последнее выражение в (2.19) и переходя к преде-
В формуле (2.20) подразумевается, что частные производные
Для плоского поля
может быть представлено в виде
. (2.20)
. Производная по направлению характеризует
формула (2.20) принимает вид
. (2.21)
Очевидно, что на плоскости
(2.21) можно записать также в виде
З а м е ч а н и е. Пусть через точку P проходит некоторая кривая. Г.
Под производной поля в направлении кривой Г понимают производную в направлении касательной к этой кривой в точке
.
, поэтому формулу
. (2.22)
П р и м е р 2.6. Вычислить производную скалярного поля
в точке M(3; 2; 1) в направлении вектора, идущего в точку
(5; 4; 2).
70
MN
{ }
3
1
cos,
3
2
coscos;3;1;2;2 =γ=β=α=== MNMNl
32
zxyu =
M
( )
( ) ( )
36;12;4 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
M
z
u
M
y
u
M
x
u
( )
3
68
3
1
36
3
2
12
3
2
4 =⋅+⋅+⋅=
∂
∂
M
l
u
( )
0>
∂
∂
M
l
u
M
xyu arctg=
M
2
xy =
2|tg
1
=
′
=α=xy
5
2
tgcossin,
5
1
tg1
1
cos
2
=α⋅α=α=
α+
=α
Р е ш е н и е
Находим координаты вектора
щие косинусы:
, его длину и направляю-
.
Значения частных производных функции
равны
Используя формулу (2.20), получим
Тот факт, что
точке
в точке
этой кривой в сторону возрастания абсциссы.
составляет
в данном направлении возрастает.
П р и м е р 2.7. Вычислить производную скалярного поля
(1; 1), принадлежащей параболе
Р е ш е н и е
Угловой коэффициент касательной к параболе в точке M
, означает, что скалярное поле в
в точке
.
.
, по направлению
откуда
,
.