Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
121
( )
( )
0
,,
,,
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
321
321
≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
xxx
uuu
x
u
j
i
.
U
( )
( )
0
,,
,,
321
321
≠
∂
∂
=
∂
∂
uuu
xxx
u
x
j
i
CuCuCu ===
321
,,
=
=
3
3
2
2
Cu
Cu
1
u
=
=
3
3
1
1
Cu
Cu
2
u
=
=
3
3
1
1
Cu
Cu
3
u
M
321
,, uuu
( )
321
,, xxxM
Отметим, что указанное условие равносильно в области
следующему:
.
Поверхность, в точках которой одна из криволинейных координат постоянна, называется координатной поверхностью. Таких
поверхностей существует три типа:
.
Линии пересечения координатных поверхностей называются
координатными линиями:
– линия
Через каждую точку
,
– линия
,
– линия
проходят три координатные линии.
Вдоль каждой координатной линии изменяется лишь одна координата, две остальные остаются постоянными.
Приведем примеры систем координат.
1. Декартова система координат (не обязательно прямоугольная). Координатные поверхности – плоскости, координатные
линии – прямые. В общем случае координатные линии являются
пространственными кривыми, откуда и происходит название криво-
линейная система координат. В дальнейшем изложении под декартовой системой координат будет подразумеваться прямоугольная де-
картова система координат (п. д. с. к.).
2. Цилиндрическая система координат. В качестве криволи-
нейных координат
точки
выступают перемен-
.
122
z,, ϕρ
21
OXX
).,20,0(
;;sin;cos
321
∞<<∞−π<ϕ≤≥ρ
=ϕρ=ϕρ=
z
zxxx
C=ρ
3
OX
C=ϕ
3
OX
Cz =
21
OXX
3
OX
21
OXX
3
OX
21
OXX
z
3
OX
j
i
ux∂
∂
0
100
0cossin
0sincos
≥ρ=ϕρϕ
ϕρ−ϕ
=
∂
∂
j
i
u
x
3
OX
321
,, uuu
( )
321
,, xxxM
O
M
3
OX
M
21
OXX
1
OX
ные
при этом
Координатными поверхностями являются:
– круговые цилиндры
– полуплоскости
– плоскости
сти
Координатными линиями служат:
– линиями ρ – лучи, выходящие из произвольной точки оси
– линиями ϕ – окружности с центром на оси
лельные плоскости
– линиями
Вычислим якобиан
координат:
, где ρ и ϕ – полярные координаты в плоскости
с общей осью
, ограниченные осью
;
;
, параллельные координатной плоско-
.
и параллельные плоскости
;
;
– прямые, параллельные оси
.
для цилиндрической системы
;
, парал-
Определитель обращается в нуль только на оси
ках которой координата ϕ не определена.
3. Сферическая система координат. В качестве криволиней-
ных координат
точки
– r – расстояние от начала координат
– θ – угол между радиусом-вектором точки
– ϕ – угол между проекцией радиуса-вектора точки
плоскость
и осью
между сферическими и прямоугольными декартовыми координатами точки:
.
, в точ-
выступают переменные:
до точки M,
и осью
,
на
. Нетрудно установить связь
123
θ=
ϕθ=ϕρ=
ϕθ=ϕρ=
cos
,sinsinsin
,cossincos
3
2
1
rx
rx
rx
,
π<ϕ≤π≤θ≤≥ 20,0,0r
j
i
u
x
∂
∂
0sin
0sincos
cossinsincossinsin
sinsincoscoscossin
2
≥θ=
θ−θ
ϕθϕθϕθ
ϕθ−ϕθϕθ
=
∂
∂
r
r
rr
rr
u
x
j
i
3
OX
Cr =
C=θ
3
OX
C=ϕ
3
OX
3
OX
3
OX
3
OX
( ) ( )
1
MMr ==dds
ds
где
Якобиан
.
в этом случае будет равен
Определитель обращается в нуль только на оси
ках которой координата ϕ не определена.
Координатными поверхностями являются:
– сферы
– конусы
угол с осью
– полуплоскости
с центром в начале координат;
с образующими, составляющими постоянный
;
, ограниченные осью
Координатными линиями служат:
– линиями r – лучи, выходящие из начала координат;
– линиями θ – полуокружности с центром в начале коорди-
нат, лежащие в полуплоскостях, ограниченных осью
– линиями ϕ – окружности с центром на оси
женные в плоскостях, перпендикулярных
3.1.2. Линейный элемент. Вычислим расстояние между
близкими точками
.
, в точ-
.
;
, располо-
.
332211321
,,,, duuduuduuMuuuM +++и
,
которое будет равно:
здесь
– линейный элемент (элемент длины) в криволинейных ко-
ординатах.
,
124
k
k
x ir
=
k
k
dxd ir
=
( ) ( ) ( )
2
3
2
2
2
122
dxdxdxdds ++== r
3
3
2
2
1
1
du
u
du
u
du
u
d
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
rrr
r
3
3
2
2
1
1
,,
uuu ∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
r
r
r
r
r
r
M
3
3
2
2
1
1
iiir
xxx ++=
.
;
;
3
3
3
2
3
2
1
3
1
3
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
3
1
3
2
1
2
1
1
1
1
iiir
iiir
iiir
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
0
321
≠
∂
∂
=
j
i
u
x
rrr
321
,, rrr
3
3
2
2
1
1
dududud rrrr
++=
( )
ji
ji
dududdds rrrr
,
2
==
В декартовой системе координат
,
, откуда
. (3.3)
Из соотношения (3.1) следует:
. (3.4)
Введём обозначения
. (3.5)
Векторы (3.5) имеют направление касательных к соответствующим координатным линиям. Эти векторы образуют в рассматриваемой точке
базис пространства. Действительно, из соотношения
следует:
(3.6)
Поэтому
,
следовательно, векторы
линейно независимы.
Теперь из соотношения (3.4) получаем:
;
. (3.7)
125
Правая часть (3.7) носит название фундаментальной квадра-
),(
jiji
g rr=
ji
ji
dudugds =
2
3
3
2
2
1
1
dududud rrrr
++=
321
,, rrr
( )
( )
( )
.
,,
,,
,,
321
321
321
3
21
321
3
3
2
2
1
1
321
dududu
uuu
xxx
dududu
dududuuuudV
∂
∂
==
=⋅⋅=
rrr
rrr
dV
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
.
,,
,,
,,,,,,,,
,,
321
321
321321
321
dududu
uuu
zyx
uuuzuuuyuuuxf
dzdydxzyxf
∂
∂
=
=
∫∫∫
∫∫∫
Ω
′
Ω
( ) ( )
(
)
( )
.sincos,sinsin,cossin
,,
2
ϕθθθϕθϕθ=
=
∫∫∫
∫∫∫
Ω
′
Ω
dddrrrrrf
dzdydxzyxf
тичной формы пространства. Обозначив
, получим
; (3.8)
3.1.3. Элемент объёма. Вектор
имеет при разложении по базису
321
. Под элементом объёма в криволинейных коорди-
,, dududu rrr
321
компоненты
натах понимают объём параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Найдём величину объёма элемента в криволинейных
координатах:
Полученное выражение для
используют при замене пере-
(3.9)
менных в тройном интеграле для перехода от декартовых координаты к криволинейным.
Напомним формулы замены переменной в цилиндрической и
сферической системах координат:
∫∫∫ ∫∫∫
Ω Ω
′
;
ϕρρϕρϕρ= dzddzfdzdydxzyxf ,sin,cos,,
126
( )
321
,, uuuM
:M
( ) ( ) ( )
3
3
33
2
2
22
1
1
11
,;
r
r
ee
r
r
ee
r
r
ee
====== MMM
321
,, eee
M
321
,, eee
3
e
( )
2
e
( )
1
e
( )
1
u
3.1.4. Локальный базис. Нормируя векторы (3.5), полу-
чим в каждой точке пространства
базисных векторов, зависящих от координат точки
тройку единичных
Векторы
репер, связанный с точкой
образуют локальный базис или подвижной
(рис. 2).
3
u
2
u
. (3.10)
Рис. 2
Будем предполагать, что векторы
образуют в каж-
дой точке правую тройку, или правую криволинейную систему коор-
динат. Заметим, что соответствующие базисные векторы в различных точках не обязательно параллельны между собой, как это имеет
место в декартовой системе координат. В этом заключается принципиальное отличие криволинейной системы координат от декартовой.
127
3.2. Ортогональные криволинейные
321
,, rrr
321
,, eee
координаты
Криволинейная система координат называется ортогональ-
ной, если базисные векторы
парно ортогональны. При этом координатные линии, проходящие
через произвольную точку, ортогональны друг другу; локальный базис
– ортонормированный. Примерами ортогональных сис-
тем являются рассмотренные выше цилиндрическая (рис. 3) и сферическая системы координат (рис. 4).
в каждой точке пространства по-
Рис. 3
128
332211
,, rrr
=
== HHH
.H;H;H
333222111
lrlrlr
===
Рис. 4
Введём обозначения:
откуда
. (3.11)
Величины (3.11) называются коэффициентами Ламе.
Из формул (3.10) и (3.11) получаем
Из соотношений (3.4) и (3.5) следует:
1
1
2
1
∂
x
= i
H
i
+
∂
u
2
2
x
∂
u
∂
2
21
3
x
∂
+
iii
u
∂
2
32
где
3
eeer
duHduHduHd ++=
=
;
3
.3,2,1,
(3.12)
129
П р и м е р 3.1. В п. д. с. к., очевидно,
1
321
=== HHH
1;;1
321
==ρ====
ϕρ z
HHHHHH
.sincossinsinsin
;sinsincoscoscos
;1cossinsincossin
222222
3
22222222
2
22222
1
θ=ϕθ+ϕθ==
=θ+ϕθ+ϕθ==
=θ+ϕθ+ϕθ==
ϕ
θ
rrrHH
rrrrHH
HH
r
( )
jiji
δ=ee,
( )
=
≠
=δ==
.,
;,0
,
2
jiH
ji
HHg
i
jijijiji
если
если
rr
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
32
3
2
22
2
2
12
1
2 i
i
duHduHduHduHds =++=
c,b,a
( )
cc
bcac
cbbbab
cabaaa
cba
=
2
( ) ( )
GG
ggg
ggg
ggg
===
321
r,r,rrrr
333231
232221
131211
321
2
.
П р и м е р 3.2. В цилиндрической системе, как легко проверить,
. (3.13)
П р и м е р 3.3. В сферической системе координат:
Поскольку в ортонормированном базисе
Отсюда получаем, что
. В ортогональной системе
gH =
iii
(3.15)
(3.14)
, то:
координат получаем выражение для линейного элемента, подставив
в формулу (3.8) соотношение (3.15):
Разложив произвольные векторы
по ортонормирован-
. (3.16)
ному базису и умножив определитель из их координат, выражающий
смешанное произведение
, на транспонированный определи-
c,b,a
тель, получим формулу
отсюда следует, что
;
,
130
23222
1
2
3
2
2
2
1
00
00
00
HHH
H
H
H
G ==
321
321
HHHG ==r
rr
321
321
dududuHHHdV =
( )
3,2,1== iH
iii
er
dzdydxdV =
dzdddV ϕρρ=
ϕθθ= dddrrdV sin
2
i
e
( )
zM ,, ϕρ
kjikjir
zzyx +ϕρ+ϕρ=++= sincos
где G – определитель Грама (см. (1.29)). Учитывая (3.15), в ортогональной системе координат
,
следовательно,
. (3.17)
Окончательно по формуле (3.9) элемент объёма в ортогональных координатах принимает вид:
. (3.18)
Формулы (3.17) и (3.18) можно получить проще, используя
соотношения
, откуда
.
HHH=rrr
321321
П р и м е р 3.4. Используя значения коэффициентов Ламе
для цилиндрической и сферической систем координат, полученные в
(3.13) и (3.14), находим выражение для элемента объёма в наиболее
часто употребляемых ортогональных системах координат.
1) П. д. с. к.:
2) Цилиндрическая система:
3) Сферическая система:
;
;
.
У п р а ж н е н и я
1. Вычислить векторы
ской системе координат.
Р е ш е н и е
Для радиуса-вектора точки
локального базиса в цилиндриче-
,