Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
21
Т е о р е м а. Каждый тензор типа (2, 0) или (0, 2)однозначно
{ }
ji
aA =
( )
( )
ijjijiijjiji
aacaab −=+=
2
1
;
2
1
{ }
ji
bB =
{ }
ji
cC =
jiijjiij
ccbb −== ,
jijiji
cba +=
C
CBA +=
( )
qp,
( )
sr,
( )
sqrp ++ ,
A
⊗
BAC ⊗=
{ } { }
ki
yx == yx
и
{ }
ki
yx=⊗ yx
{ } { }
ki
yx и
nnnn
n
n
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
21
22212
12111
представим в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим тензор
(2, 0). Определим:
и образуем тензоры
этом
зор, а
типа
ждая компонента первого тензора умножается на каждую компоненту второго тензора. Произведение тензоров
символом
случае суммы двух тензоров. Действительно, учитывая закон изменения компонент каждого сомножителя, нетрудно проверить, по какому закону преобразуются компоненты полученного произведения
при изменении базиса.
рами типа (0, 1). Их внешнее произведение (диада)
– антисимметричный и при этом
1.3.3.Произведение тензоров. Произведением тензоров
и
Корректность этого определения можно обосновать, как и в
П р и м е р 1.4. Векторы
. Отсюда видно, что тензор B – симметричный тен-
называется тензор типа
:
и
.
. Тогда
.
; при этом ка-
и Bбудем обозначать
являются тензо-
типа
; при
представляет собой тензор типа (0, 2), что нетрудно проверить с по-
мощью закона преобразования компонент тензоров
Представим компоненты этого тензора в виде матрицы
,
.
. (1.27)
22
{ }
ik
xy=⊗ xy
xyyx
⊗≠⊗
zyx
⊗⊗
{ }
{ }
k
i
j
bBaA == и
{ }
i
kj
cC =
kij
i
kj
bac =
( )
( )
.
;)(
CBCACBA
CBACBA
⊗+⊗=⊗+
⊗⊗=⊗⊗
( )
qp,
1 ,1 ≥≥ qp
{ }
i
kj
a
,ji и
k
n
knkk
i
ki
baaaa =+++=
2
2
1
1
{ }
i
kj
a
: и ki
∑
=
==
n
i
j
i
ij
i
ij
caa
1
Отметим, что компоненты тензора
матрицу, транспонированную по отношению к матрице (1.27). Это
показывает, что
,
т.е. произведение тензоров некоммутативно (сомножители нельзя
менять местами).
Аналогично, внешнее произведение трёх векторов (триада)
,
представляет собой тензор типа (0, 3) и т.д. при любом количестве
векторов.
Пример 1.5. Произведение тензоров
образуют
представляет собой тензор
типа (2,1); при этом
.
Выполняются следующие законы сложения и умножения
тензоров:
1.3.4. Свёртка тензоров. Операция свёртывания тензо-
ров применяется к тензорам типа
при
, т.е. если
имеется хотя бы один ковариантный и хотя бы один контравариантный индекс, и заключается в суммировании по паре индексов, принимающих одинаковые значения, из которых один расположен свер-
ху, а другой – снизу. Например, тензор
дексам
для этого их нужно сделать равными:
можно свернуть по ин-
.
Тензор
можно свернуть также по индексам
.
23
В результате свёртывания тензора типа
( )
qp,
( )
1,1 −− qp
( )
pp,
{ }
i
j
a
n
n
i
i
aaaa +++=
2
2
1
1
( )
i
j
a=A
{ }
q
p
ii
jj
aA
1
1
=
( )
qp,
nm и
( )
q
pmn
q
pnm
ii
jjjj
ii
jjjj
aa
1
1
1
1
2
1
+
nm и
nm и
( )
nmA,
тензор типа
. Этот факт довольно очевиден, так как в
получается
процессе свёртывания образуется пара немых индексов, в итоге количество индексов сверху и снизу уменьшается на единицу.
Операцию свёртывания тензора можно повторить два раза,
если у него количество верхних и нижних индексов не менее двух, и
т.д. Если эту операцию применить к тензору типа
p раз под-
ряд (полная свёртка тензора), получим тензор типа (0, 0), т.е. ска-
ляр. Он представляет собой инвариант данного тензора – величину,
не зависящую от выбора базиса. Например, при свёртывании тензора
линейного преобразования A получаем инвариант
,
т.е. сумму элементов, расположенных на главной диагонали матрицы
, называемую следом матрицы A.
Операция свёртывания часто применяется при умножении
тензоров по индексам, взятым в разных сомножителях.
1.3.5. Симметрирование и альтернирование.
Операция симметрирования. Пусть
типа
. Переставим у каждой компоненты тензора нижние ин-
дексы с номерами
нентами
Операция построения тензора
симметрирования тензора А по нижним индексам с номерами
. Полученный тензор является симметричным по этой паре ин-
дексов.
Аналогично определяется операция симметрирования тен-
зора А по верхним индексам с номерами
обозначается символом
– тензор
и построим новый тензор
с компо-
( )
nmA,
называется операцией
( )
nmA,
. Полученный тензор
.
24
{ }
q
p
ii
jj
aA
1
1
=
( )
qp,
nm и
( )
q
pmn
q
pnm
ii
jjjj
ii
jjjj
aa
1
1
1
1
2
1
−
[ ]
nmA,
nm и
nm и
[ ]
nm
A
,
k
}{
i
A
i
B
Операция альтернирования. Пусть
типа
. Переставим у каждой компоненты тензора нижние ин-
дексы с номерами
и построим новый тензор
– тензор
с компо-
[ ]
nmA,
нентами
.
Операция построения тензора
называется операцией
альтернирования тензора А по нижним индексам с номерами
. Полученный тензор является кососимметричным по этой па-
ре индексов.
Аналогично определяется операция альтернирования тензо-
ра А по верхним индексам с номерами
обозначается символом
.
. Полученный тензор
Определённые выше операции симметрирования и альтерни-
рования могут быть обобщены для группы, состоящей из
индек-
сов (только нижних или только верхних); см. [4];[12].
1.3.6. Обратный тензорный признак.
Произведение
двух тензоров представляет собой новый тензор. Зачастую приходится решать обратную задачу – устанавливать принадлежность одного из сомножителей к тензорам, если другой сомножитель и произведение являются тензорами. Имеет место так называемый обрат-
ный тензорный признак:
Если в результате перемножения и свёртывания компонент
тензоров с величинами, занумерованными некоторым количеством
верхних и нижних индексов в каждой координатной системе, получены компоненты некоторого тензора, то занумерованные величины
представляют собой компоненты некоторого тензора.
Не приводя полного доказательства этого утверждения, рассмотрим важные для приложений частные случаи, относящиеся к
тензорам 1-го и 2-го ранга.
1. Тензоры 1-го ранга. Пусть
– система функций. Если
– тензор типа (0, 1),
i
– инвариант для любого
BA
i
25
тензора
}{iA
i
B
i
i
BA
( )
i
B
}{iB
i
i
BA
i
A
}{
i
A
c
ki
ki
BAc
}{
i
A
c
ki
ki
BAc
,
kimkl
iml
mkmli
lki
ki
ki
ki
ki
BAppcBpApcBAcBAc
′′
=
′′
==
′′′
( )
0=−
′′′
mkl
imlki
ki
ppccBA
mlmkliki
cppc =
′
c
{ }
ji
mlk
a
ki и
{ }
j
ml
b
yx⊗
, т.е.
i
не зависит от выбора системы координат, то
BA
i
– компоненты тензора типа (1, 0).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу инвариантности величины
, имеем
Из последнего соотношения видно, что
типа (1, 0).
Аналогично, если
ант, то
образуют тензор типа (0, 1).
2. Тензоры 2-го ранга. Пусть
– система функций. Если
ki
и
}{iB
, то
образуют тензор типа (2, 0).
ki
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу инвариантности величин
Из последнего соотношения видно, что
зор типа (2, 0).
i
i
′′
i
i
′′
k
′
==
i
k
=−
,0
iki
i
′
,
=
iik
′
BpABpABABA
kki
k
.
pBBpBBA =
iki
образуют тензор
– тензор типа (1, 0), а
и
– тензоры типа (0, 1),
}{iB
– инвари-
– инвариант для любых тензоров
,
.
образуют тен-
ki
У п р а ж н е н и я
1. Используя определение свертки тензора убедится, что в ре-
зультате свёртывания тензора
зор типа (1, 2), например
2. Убедиться в том, что
па (0, 2).
по индексам
получится тен-
.
представляет собой тензор ти-
26
kij
i
kj
bac =
}{
i
j
aA =
}{
l
k
bB =
j
{ } { }
l
k
i
j
bBaA == и
lki
j
ba
lj и
i
k
jki
j
cba =
{ }
i
k
cC =
BAC =
i
}{
l
j
dD =
ijl
i
lii
j
l
j
abbad ==
ABD =
{ }
i
j
aA =
{ }
i
j
bB =
{ }
i
j
cC =
=
742
362
501
A
=
254
863
105
B
=
623
740
253
C
3. Убедиться в том, что величины
преобразуются при изменении базиса как компоненты тензора типа
(2, 1).
4. Свернуть произведение двух тензоров
из Примера 1.5
и
по
индексам
и l и по индексам i и k.
Р е ш е н и е
Произведение двух тензоров
представляет собой тензор типа (2, 2) с компонентами
полученный тензор по индексам
:
типа (1,1)
. Свернём
.
Получим новый тензор
типа (1, 1). При этом для
матриц из компонент этих тензоров выполняется соотношение:
,
что следует из правила умножения матриц.
Аналогично, свёртывая произведение заданных тензоров по
индексам
и k, получим тензор
с компонентами
.
При этом для матриц из компонент этих тензоров имеем соотношение
.
5. Образовать скаляры путём свёртывания тензоров
,
, если
,
,
,
.
27
6. Найти векторы, образованные свёртыванием тензора
{ }
ji
k
aA =
( )
,,
ji
i
jj
abb == где b
( )
ji
j
ii
acc == где ,c
=
076043
21
A
{ }
ji
k
aA =
( )
( )
4;2==ibb
{ } { }
kji
nml
ji
lk
bBaA =
= ,
{ }
ji
lk
aA =
=
400430
23
211210
01
A
}{
ki
aA =
i
i
b eb
=
( )
3;2;1,
431
143
201
=
= b A
b⊗A
ki
ki
cba
}{
ki
aA =
( ) ( )
( ) ( )
.6;5;4,3;2;1,
101
020
321
==
= cb
A
{ } { }
{ }
i
ii
j
cCbBaA === ,,
:
и
, если
.
7. Найти свёртку произведения тензора
го в Упражнении 6 и вектора
8. Сколькими способами можно выполнить полную свёртку
каждого из тензоров
9. Выполнить полную свёртку тензора
бами, если
10. Умножить тензор
произведение двумя способами, если
Записать матрицу компонент тензора
11. Вычислить свёртку
с векторами
ii
, если
cb == cb
и
, из заданно-
.
?
двумя спосо-
.
на вектор
и свернуть
.
.
произведения тензора
12. Тензоры
заданы матрицами
28
ji
j
ba
ijij
cba
{ }
ji
lk
aA =
−−−−
=
00
43
00
21
430021
00
A
ji
li
a
ji
jk
a
ji
ik
a
ji
lj
a
ji
ji
a
ji
ij
a
}{kiaA =
i
i
b eb
=
i
i
c ec=
ki
ki
cba
= CBA
Вычислить свёртки
1)
; 2)
ca
; 3)
iij
321
432
111
( ) ( )
−=−=
.
3;18;23,3;2;1,
.
13. Тензор
Вычислить свёртки:
1)
; 2)
14. Заданы тензор
казать, что скаляр
задан матрицей
; 3)
; 4)
; 5)
и векторы
является инвариантом.
; 6)
.
.
и
. До-
29
1.4. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР
n
x
y
),yxyx
( или
( )
y,x
( ) ( )
x,yy,x
=
( ) ( )
x
( )
xxx
,|| =
( )
yx
^
,
x
y
( )
( )
||||
,
cos
^
,
yx
yx
yx
=
x
y
( )
0=y,x
x
y
( )
yxyxyxyx
−−=−=ρ ,||),(
n
E
x
y
e
( )
y,x
( )
y,x
ji
ji
yxg
),(
jiji
g ee=
1.4.1. Тензоры в евклидовом пространстве. Напомним
определение евклидова пространства – это действительное
линейное пространство, в котором введено скалярное произведение
и
двух векторов
новные свойства скалярного произведения сводятся к следующему:
1) скалярное произведение
линейной функцией (
, обозначаемое
является симметричной би-
) (см. пункт 1.2.2);
[10, с. 48-49]. Ос-
-мерное
2)
С помощью скалярного произведения в евклидовом про-
странстве вводятся метрические соотношения:
– длина вектора
– угол
ляется по формуле:
В частности, векторы
если
формулой
евклидово пространство
ство [10, с. 49-50].
Разложим векторы
ное произведение
нейную функцию, ему соответствует симметричная билинейная
форма (1.25):
между векторами
. Если определить расстояние между векторами
и
превращается в метрическое простран-
и
представляет собой симметричную били-
;
и
, косинус угла опреде-
.
называются ортогональными,
по базису
. Поскольку скаляр-
i
.
0,0,,0
==≥ xxxx,x если только этомпри
и
,
=
, где
. (1.28)
30
),(
jiji
g ee=
( )
nnnn
n
n
n
ggg
ggg
ggg
G
21
22221
11211
21
,,, =eee
n
eee,,,
21
( )
0,,,
21
=
n
G eee
n
eee,,,
21
( )
0,,,
21
>
n
G eee
n
eee,,,
21
( )
=
n
G eee,,,
21
n
V
{ }
( ){ }
kiki
g ee,=
ji
ji
yxg
{ }
ki
g
x
i
k
ki
xxg =
i
x
x
( )
( )
( )
xeeeee
,,,
i
k
ki
k
kii
xxx ===
Величины
образуют определитель Грама
. (1.29)
Основные свойства определителя Грама.
1. Если векторы
линейно зависимы, то
.
2. Если векторы
линейно независимы, то
.
где
3. Если векторы
– объём n-мерного параллелепипеда.
попарно ортогональны, то
2222
,
||||||
21
V=eee
nn
Доказательство этих свойств можно найти например, в учебнике [1].
1.4.2. Метрический тензор. Тензор вида
называется метрическим ковариантным. Так как
– симмет-
ричная билинейная форма, метрический тензор является симметричным тензором типа (2, 0).
Свёртка метрического тензора
с вектором
i
=
, т.е.
x e
i
свёртка произведения этих тензоров, определяется по формуле:
Величины
, определённые в (1.30), называются ковари-
антными координатами вектора
. (1.30)
.Смысл этого названия будет ус-
тановлен позже. Из формулы (1.30) получаем:
. (1.31)