Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы тензорного анализа.pdf
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
МОСКВА 2001
Электростальский политехнический
институт (филиал)
Кафедра высшей математики и информатики
Б. Е. ГОПЕНГАУЗ
Курс лекций
для студентов специальности 1106
Рекомендовано редакционно-издательским
советом института в качестве учебного пособия
(МИСиС), 2001
УДК 512.942
Г66
Г66 Б.Е. Гопенгауз. Основы тензорного анализа – М: МИСиС,
2001. – 165с.
Рассмотрены следующие вопросы курса «Основы тензорного анализа».
1. Тензорное исчисление и некоторые его приложения;
2. Теория поля (векторный анализ), в том числе в криволинейных
координатах;
3. Тензорное поле и его дифференцирование.
Подробно изложен программный материал по приведенным выше
разделам курса, предложены решения типовых задач, а также упражнения для
самостоятельного решения с ответами.
Предназначено для студентов специальности 1106.
Московский государственный
институт стали и сплавов
(Технологический университет)
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................................................................. 4
1. Тензорное исчисление .............................................................................. 5
1.1. Преобразование базисов и координат ............................................. 5
1.2. Понятие тензора .............................................................................. 12
1.3.Основные свойства тензоров. Операции над тензорами .............. 19
1.4. Метрический тензор ....................................................................... 29
1.5. Приведение тензора к главным осям ............................................ 37
1.6. Векторные операции в тензорных обозначениях ........................ 46
1.7. Некоторые приложения тензорного исчисления ......................... 52
2. Основы теории поля (векторный анализ) ............................................. 59
2.1. Векторная функция скалярного аргумента .................................. 59
2.2. Скалярное поле и его характеристики .......................................... 66
2.3. Интегралы по поверхности первого рода ..................................... 75
2.4. Интегралы по поверхности второго рода (по координатам) ...... 81
2.5. Векторное поле и его характеристики ............................................... 89
2.6. Оператор Гамильтона и его применения .................................... 106
2.7. Некоторые типы векторных полей .............................................. 110
3. Теория поля в криволинейных координатах ................................... 120
3.1. Криволинейные координаты в пространстве ........................... 120
3.2. Ортогональные криволинейные координаты ............................. 127
3.3. Основные операции векторного анализа в
ортогональных криволинейных координатах .......................... 131
3.4. Оператор Лапласа в ортогональных системах
координат ...................................................................................... 139
3.5. Понятие тензорного поля ............................................................. 141
3.6. Символы Кристоффеля и их свойства .................................... 145
3.7. Дифференцирование тензоров .................................................... 150
ОТВЕТЫ .................................................................................................... 158
Раздел 1 .............................................................................................. 158
Раздел 2 .............................................................................................. 162
Раздел 3 .............................................................................................. 164
ЛИТЕРАТУРА ...........................................................................................
167
4
П Р Е Д И С Л О В И Е
Настоящее пособие посвящено изложению важного для
практического применения теоретического материала. Применение
тензорного исчисления полезно во всех случаях, когда используется
координатный метод для математического изучения геометрических
или физических объектов. Основная идея тензорного исчисления –
выделение тех свойств изучаемых объектов, которые не зависят от
выбора системы координат.
Тензорное исчисление (тензорный анализ) имеет многочисленные применения в геометрии, механике, физике, теории
упругости, кристаллографии, механике сплошной среды и других
науках. В настоящем пособии эти приложения тензорного анализа
не рассматриваются подробно именно в связи с тем, что они будут изучаться в прикладных дисциплинах (например, в курсе
"Механика сплошной среды").
Тензорное исчисление использует аппарат линейной алгебры, некоторые понятия которой кратко напоминаются в подразделе
1.1. Настоящий курс лекций можно рассматривать как продолжение
пособия автора по линейной алгебре [10].
По тензорному анализу имеется довольно обширная литература (некоторые наименования приведены в списке литературы). К сожалению, эта литература в настоящее время мало доступна студентам.
Настоящий курс лекций призван заполнить образовавшийся пробел.
Наличие упражнений в конце каждого подраздела позволяет использовать его также и в качестве задачника по данному важному курсу.
5
1. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
L
k21
xxx
,..
.,,
0...
2211
=λ++λ+λ
xk
xxx
0...
21
=λ==λ=
λ
k
n
n
L
n
L
n
n
e,,e,e
21
...
i
e
i
x
i
e
x
1.1. Преобразование базисов и координат
1.1.1. Линейное пространство. Напомним некоторые по-
нятия, подробно изученные в "Курсе лекций" [10, c. 40-41]. При этом
для удобства дальнейшего изложения некоторые обозначения будут
изменены.
Множество L называется линейным (векторным) простран-
ством, если для всех элементов этого множества (векторов) определены операции сложения и умножения на число (действительное; в
этом случае
чисел). При этом введённые операции должны подчиняться аксио-
мам линейного пространства [10, c.43].
Векторы
из соотношения
– линейное пространство над полем действительных
называются линейно независимыми, если
следует, что
; в противном случае хотя бы
один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных.
Размерностью линейного пространства называется макси-
мально возможное количество линейно независимых векторов пространства. Линейное пространство размерности
пространством и обозначим
совокупность
линейно независимых векторов этого пространства.
Базис, состоящий из векторов
разумевая, что индекс
изменяется от 1 до n.
Координатами вектора
циенты разложения
по базису:
. Базисом пространства
, будем обозначать
в базисе
1
2
2
1
n
xxx eeex
+++= ...
n
назовём n-мерным
называется
, под-
называются коэффи-
(1.1)
6
i
i
n
i
i
i
xx eex
==
∑
=1
C
( )
i
j
a=A
( )
i
j
b=B
,n
kji
k
n
k
kji
k
i
j
babac
∑
=
==
1
i
k
x
i
e
=
n
x
x
x
2
1
X
=
n
e
e
e
2
1
E
I
i
e
i
e
′
jjii
p ee=
′
Координаты вектора в отличие от предыдущего пособия автора [10, c. 43] теперь будут нумероваться индексами вверху (смысл
таких обозначений станет понятен в дальнейшем).
Используем соглашение о суммировании (правило Эйнштейна):
если в сумме индекс суммирования встречается как среди
нижних индексов, так и среди верхних, знак суммы можно
опустить.
Тогда формула (1.1) примет вид:
. (1.2)
Примем ещё одно соглашение: элементы матрицы будем
обозначать буквой с двумя индексами, из которых верхний означает
номер строки, а нижний – номер столбца. Например элемент матри-
, равной произведению квадратных матриц
цы
порядка
запишем в виде:
Индексы
мирования
и j пробегают все значения от 1 до n. Индекс сум-
называется немым индексом и не входит в результат.
Сопоставим каждому вектору
нат вектора, а базису
– столбец, состоящий из базисных векторов:
;
Далее единичную матрицу будем обозначать
ранее.
. (1.3)
матрицу – столбец из коорди-
. (1.4)
и
, а не E, как
1.1.2. Преобразование базисов. Перейдём от "старого"
базиса
к "новому" базису
c помощью соотношения:
, (1.5)
7
которое показывает, что в матрице перехода
( )
i
j
p=P
i
e
i
e
′
i
e
′
i
′
′
′
=
′
n
x
x
x
2
1
X
′
′
′
=
′
n
e
e
e
E
2
1
x
i
i
x e
′′
EPE
T
=
′
T
P
i
e
( )
EPE′=
−1
T
( )
TT
T
ABAB =
IPP =
−1
IPP =
− TT1
)(
( ) ( )
T
1
1
T −
−
= PP
( )
EPE′=
−T1
( )
i
j
q==−QP
1
от базиса
к
базису
образуют
координаты нового базисного вектора
-й столбец. В дальнейшем штрихами будут обозначаться
по старому базису
координаты геометрических объектов в новом базисе. Например,
;
;
=
. (1.6)
Запишем переход к новому базису в матричной форме:
где символом
обозначена транспонированная матрица. Решая
, (1.7)
матричное уравнение (1.7) (метод решения представлен в пособии
[10, с. 22]), получим формулы обратного перехода от базиса
зису
в матричной форме
. (1.8)
′
к ба-
e
i
Применяя известное свойство операции транспонирования
матриц
к соотношению
получаем
мулы перехода от нового базиса к старому в координатной форме
, откуда следует, что
Учитывая это, (1.8) перепишем в виде:
Обозначим
. Из равенства (1.10) получаем фор-
,
(1.9)
.
. (1.10)
8
jjii
q ee′=
Q
i
e
′
i
e
i
j
kji
k
qp δ=
i
j
δ
=
≠
=δ
ji
ji
i
j
если
если ,1,0
i
j
δ
n
uuu ,,,
21
i
j
j
i
u
u
δ=
∂
∂
i
j
δ
ijikkj
ij
k
ikj
kkjj
k
i
ki
aaaaaaaa =δ=δ=δ=δ ;;;
i
j
ji
ji
δ=δ=δ
i
j
δ
1
...
...
21
21
=δ
p
p
iii
jjj
. (1.11)
Из соотношений (1.10) и (1.11) видно, что матрица
роль матрицы перехода от базиса
к базису
. Использование это-
го факта упрощает вывод многих последующих формул.
Из соотношения (1.9) следует полезная формула
– символ Кронекера, определяемый равенствами:
где
, (1.12)
Приведём несколько примеров применения символа Кроне-
кера
.
1. Если
– независимые переменные, то
.
2. При использовании соглашения о суммировании по i
i
n
=δ
i
3. Использование
в операциях подстановки (замена одно-
играет
го индекса другим):
.
В тензорном исчислении используются также некоторые модификации символа Кронекера.
. Аналогично символу Кроне-
кера
По определению,
вводится обобщённый символ Кронекера:
– если верхние индексы различны и нижние индексы получаются из
верхних с помощью чётного количества транспозиций (перестановок соседних индексов), то по определению
;
9
– если верхние индексы различны и нижние индексы получаются из
1
...
...
21
21
−=δ
p
p
iii
jjj
0
...
...
21
21
=δ
p
p
iii
jjj
ki
lj
δ
2=n
1,1
,0,0
,0,0
21
12
12
21
21
21
12
12
11
22
21
22
12
22
22
11
21
11
12
11
22
21
22
12
22
22
11
21
11
12
11
11
−=δ=δ=δ=δ
=δ=δ=δ=δ=δ=δ
=δ=δ=δ=δ=δ=δ
XPX′=
ji
j
i
xpx′=
ji
j
i
xqx =
′
=
′
− ;1
XPX
y
x
( )
xyAA =:
xy A=
верхних с помощью нечётного количества транспозиций, то
,
в остальных случаях
П р и м е р 1.1. Вычислим все значения
в случае
В силу определения обобщенного символа Кронекера, приведённого
выше, получаем:
1.1.3. Преобразование координат вектора.
При пере-
ходе от нового базиса к старому координаты вектора преобразуются
по закону, который может быть записан в матричной форме [10,
с.11]
, (1.13)
откуда следует его координатная форма
. (1.14)
Для обратного перехода от старого базиса к новому получаем
соответствующие формулы:
. (1.15).
.
1.1.4. Преобразование матрицы линейного преобра-
зования.
ставляет собой векторную функцию
обладающую свойством линейности:
Линейное преобразование (линейный оператор) A пред-
векторного аргумента
или
, (1.16)
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xxxxxx
AccAAAA =+=+ ,
2121
( )
i
j
a=A
XAY =
ji
j
i
xay =
i
e
′
( )
i
j
a′=′A
APPA
1−
=
′
mjkmi
k
i
j
paqa =
′
)( xf=ϕ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
xx
yxyx
cfcffff =+=+ ;
x
i
e
i
i
x e
=x
)( xf
( )
( )
( )
i
i
ii
xafxxff ===
ii
ee
x
( )
ii
fa e
=
x
)(xf
i
a
где с – скаляр.
Пусть
– матрица линейного преобразования A. То-
гда, как известно, линейное преобразование может быть представлено в виде матричного соотношения
, (1.17)
, (1.18)
или в координатной форме
В новом базисе
вует новая матрица
линейному преобразованию A соответст-
. Как известно [см. 10, с.68],
. (1.20)
,
откуда следует формула преобразования элементов матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису:
1.1.5. Линейная функция и линейная форма.
рим скалярную функцию векторного аргумента
. (1.21)
Рассмот-
, линейную
по этому аргументу:
Разложим вектор
сти функции
по базису
:
(1.22)
. В силу линейно-
где
. Выражение в правой части (1.23) представляет собой
линейный многочлен относительно координат вектора
ется линейной формой. Таким образом, линейной функции
вится в соответствие последовательность
ветствующей линейной формы, зависящая от выбора базиса.
, (1.23)
и называ-
ста-
коэффициентов соот-