Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ,
ФИЗИКИ, ТЕРМОДИНАМИКИ И ЭКОЛОГИИ
Учебное пособие
V S
dSnFdVFdiv
Воронеж 2019
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫCШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ,
ФИЗИКИ, ТЕРМОДИНАМИКИ И ЭКОЛОГИИ
Учебное пособие
Воронеж 2019
УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161(я7)
Р989
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра математического моделирования
Воронежского государственного университета
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Костин);
канд. физ.-мат. наук, доцент И. В. Колесникова
Ряжских, В. И.
Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями
Р989 к задачам механики, физики, термодинамики и экологии: учебное
пособие / В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко; ФГБОУ ВО
«Воронежский государственный технический университет». –
Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2019. – 181 с.
ISBN 978-5-7731-0779-8
В учебном пособии излагается теория дифференциальных уравнений с
приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Имеются задачи для самостоятельного решения.
Издание предназначено для студентов по направлению подготовки
бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и
обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов
переработки»), 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника» (профиль
«Промышленная теплоэнергетика»), специальностей 24.05.07 «Самолето- и
вертолетостроение», 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных
двигателей» очной и заочной форм обучения.
Ил. 14. Библиогр.: 12 назв.
УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161(я7)
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0779-8
2
© Ряжских В. И., Бырдин А. П.,
Сидоренко А. А., 2019
© ФГБОУ ВО «Воронежский
государственный технический
университет», 2019
ВВЕДЕНИЕ
:0
x
0
y
x
y
45306
3
Для того чтобы сделать ум проницательным,
необходимо упражнять его в исследовании
вещей, уже найденных другими…
Рене Декарт (1596-1650 г.)
“Правила для руководства ума”, правило X.
Дифференциальные уравнения являются важнейшим разделом курса
высшей математики, преподаваемым будущим инженерам, обучаемых в
технических вузах. Это положение данного раздела курса особенно
усиливается чрезвычайно большой ролью, которую дифференциальные
уравнения играют в математике и ее многочисленных физических и
технических приложениях. В этой связи в курсе дифференциальных уравнений
наряду с изучением теории и методов решения должно уделяться достаточное
внимание приложениям, чтобы показать эффективность их применения.
Каждая отрасль естествознания и техники, разрабатывая математические
модели процессов, занимается решением своих дифференциальных уравнений,
связанных с собственной проблематикой, в общем курсе дифференциальных
уравнений следует заниматься не только решением готовых уравнений, но и
уделять время составлению уравнений по условиям конкретных задач.
Дифференциальные уравнения, как и дифференциальное исчисление,
возникли в XVII веке. Исаак Ньютон рассматривал дифференциальные
уравнения в работе 1671 г. и решения уравнений получал с помощью
интегрирования и разложения в ряды. В этой работе, в частности, Ньютон
рассмотрел решение дифференциальных уравнений вида
2
yyxxxy
.0)0(,)1(31
Ньютон исследовал решение этого уравнения с помощью бесконечного
ряда. В качестве первого члена ряда выбиралось начальное значение при
.
Подставляя его в правую часть уравнения, получим 1
интегрировании дает
.
y , что при
Продолжая этот процесс, Ньютон получил приближенное решение
6543
2
xxy
xxxx
.
Можно показать, что полученное приближенное решение близко к
точному только при малых значениях x.
Свое изобретение дифференциальных уравнений Ньютон считал
настолько важным, что зашифровал в виде ипограммы, смысл которой ученые
передают так: “Законы природы выражаются дифференциальными
уравнениями”.
3
Второй изобретатель дифференциального исчисления Готфрид Вильгельм
)(x
y
n
Лейбниц (1636 – 1716) открыл дифференциальные уравнения около 1676 г.
Центральным пунктом размышлений Лейбница являлся поиск “универсального
метода”, который сводил умозаключения к вычислениям. Погружаясь в
размышления, Лейбниц перемещал по столу с помощью цепочки свои
карманные часы. Это привело его к задаче (1693 г.), называемой “обратная
задача о касательной”: найти кривую
по заданной постоянной длине
касательной “a”. Это привело Лейбница к получению дифференциального
уравнения первого порядка:
y
y
.
22
xa
Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям
выделяются работы Леонарда Эйлера (1707-1783) и Жозефа Луи Лагранжа
(1736-1813). Решения линейного однородного и неоднородного уравнений
го порядка с постоянными коэффициентами было найдено Эйлером в 1739г.
Метод вариации постоянных разработан Лагранжем в 1775 г. Однако Эйлер
использовал такой метод в различных задачах, начиная с 1739 г. В работах
Эйлера и Лагранжа на основе линейных дифференциальных уравнений была
развита теория малых колебаний. Вслед за Ньютоном, Лагранжем и Лапласом
(Пьер Симон Лаплас, 1749-1827), а позже Гауссом (Карл Фридрих Гаусс, 1749-
1827), были развиты методы возмущений, которые применялись для
вычисления возмущений планеты.
На протяжении XVIII века теория дифференциальных уравнений
позволила сделать решающие сдвиги в земной и небесной механике, теории
приливов, в метеорологии и в других областях науки.
Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинался с
работ Анри Пуанкаре (1857-1912). Созданная им “качественная теория
дифференциальных уравнений” вместе с теорией функций комплексных
переменных привела к основанию совершенно новых направлений развития
математики.
Значительный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений
внесли отечественные математики: А.Н. Ляпунов (1857-1918) – развитие теории
устойчивости движения, А.А. Андронов (1901-1952) – теория ветвления
решений, Л.С. Понтрягин – теория структурной устойчивости, Н.М. Крылов
(1879-1955) и Н.Н. Боголюбов – теория усреднения.
Однако успехи физики XX века показали ограниченность механического
детерменизма и недостаточность классической математики для описания
явлений в микромире. Создаваемая уже в конце XIX и XX веках новая
математика позволила объяснять экспериментальные результаты в физике
микромира на основе новых абстрактных математических теорий, в том числе
на базе современной теории дифференциальных уравнений.
4
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
)(taa
)(tvv
)(tss
dt
)(t
a
dt
C
0
t
)(t
a
)(x
f
),(ba
x
)(x
f
0
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, общего
и частного решений. Геометрический смысл решения
Многочисленные вопросы науки и техники требуют не только отыскания
скорости изменения величин по заданной физической или технической
характеристике процесса (т.е. отыскания производных), но и решения обратной
задачи – восстановление функции по ее заданной производной. Если задано,
например, ускорение движения
, то восстановить скорость движения
или уравнения движения
Именно, поскольку
уравнение
из которого определяется скорость движения с точностью до постоянной
- произвольная константа. Неопределенный интеграл в решении (1.2) можно
заменить определенным интегралом с переменным верхним пределом.
dv
a , где
- заданная функция времени, то получаем
tdv
, (1.1)
t
где
t и
Таким образом, задача отыскания первообразной для функции
заданной в интервале
- принадлежат области, в которой задана функция
, приводит к простейшему дифференциальному
можно с помощью интегрирования.
)()(ta
,)()(
Cdttatv (1.2)
t
,)()(
Cdttatv
0
.
,
уравнению
),(),( baxxfy
. (1.3)
Если
уравнения, как известно из курса математического анализа, дается формулой
где ),(,
Уравнение (1.3) представляет собой наипростейший тип
дифференциальных уравнений.
Для потребностей самой математики, а также ее приложений в
естественнонаучных и технических дисциплинах, приходится определять
непрерывная на этом интервале функция, то решение
x
,)(
x
0
baxx
, C - произвольная постоянная.
5
Cdxxfy
функцию
)(xyy
)1(n
x
)(x
y
xysin
dx
),(Cx
y
из более сложных соотношений, связывающих значения
независимой переменной x со значениями как самой неизвестной функции y,
так и ее производных ,..., yy
где ),...,,,(
)(n
yyyxF
- заданная функция
:
)(
n
yyyxF (1.4)
,0),...,,,(
- переменных. Такого рода
соотношения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Термин “обыкновенное” означает, что входящая в уравнение неизвестная
функция зависит только от одной независимой переменной x.
Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка
называется соотношение, связывающее независимую переменную
неизвестную функцию этой переменной )(xy и ее производную 1-го порядка
)(xy
.
Общий вид уравнения таков:
,0),,(
где ),,( yyxF
yyxF (1.5)
- заданная функция.
Решением дифференциального уравнения (1.5) назовем всякую
дифференцируемую функцию
, удовлетворяющую этому уравнению,
т.е. обращающую его в тождество по крайне мере в некотором промежутке
изменения x:
xxxF
.0))(),(,(
,
Например, одним из решений уравнения
при
x .
,
2
2
2
1 yy
является функция
Если уравнение (1.5) можно разрешить относительно производной, то оно
примет вид
).,( yxfy
(1.6)
Заменив производную отношением дифференциалов, уравнение (1.6)
можно записать в форме
dy
(1.7)
).,( yxf
Частным случаем уравнения (1.6) является простейшее
дифференциальное уравнение ).(xfy
Общим решением уравнения (1.6) или (1.7) называется дифференциру-
емая по x функция
, (1.8)
зависящая от числового параметра C (“произвольной постоянной”), если она
является решением дифференциального уравнения при любых допустимых
значениях этого параметра.
6
Решение, полученное из общего решения (1.8) при конкретном значении
0),,(Cyx
Ф
C
),(Cx
y
XOY
C
Cx
y
C
)0,0(
yx,
dx
dx
),(yx
f
dx
параметра C, называется частным решением дифференциального уравнения.
Соотношение вида
, (1.9)
определяющее общее решение как неявную функцию x и C, называется
общим интегралом уравнения (1.5) или (1.6).
Частным интегралом дифференциального уравнения (1.5) или (1.6)
называется соотношение вида (1.8) при фиксированном значении параметра
.
Если рассматривать x и y как прямоугольные координаты точки на
плоскости, то решению
уравнения (1.7) или (1.5) при
фиксированном значении постоянной C будет соответствовать некоторая
кривая на плоскости
, которая называется интегральной кривой
дифференциального уравнения (1.7) или (1.5). Придавая произвольной
постоянной
разрешенные значения, получим семейство (бесконечное
множество) интегральных кривых, каждой из которых соответствует
определенное значение постоянной C.
Например, дифференциальное уравнение 0
имеет общее решение
,
. Интегральными кривыми этого
yxy , как легко проверить,
уравнения являются прямые, проходящие через начало координат. Точка
является особой точкой дифференциального уравнения. В этой точке уравнение
не устанавливает никакого соотношения между
и y.
dy
Дифференциальное уравнение ),( yxf
устанавливает зависимость
между координатами точки, через которую проходит интегральная кривая, и
dy
угловым коэффициентом касательной
к графику этой кривой в той же
точке. Зная x и y можно вычислить
. Следовательно, можно вычислить
dy
. Сопоставляя каждой точке области, в которой определено
дифференциальное уравнение, вектор, направленный по касательной к графику
решения, мы тем самым определяем поле направлений. Интегральные кривые –
это линии, имеющие в каждой своей точке направление, определяемое
дифференциальным уравнением (направление поля). Схематически поле
направлений, задаваемое некоторым уравнением, показано на рис. 1.
С этой точки зрения решение дифференциального уравнения состоит в
нахождении кривой на заданному в каждой точке направлению. Как видим из
формулы (1.8), таких кривых на плоскости – семейство, получаемое при
изменении параметра C.
7
Чтобы выделить определенную кривую из этого семейства, необходимо
0
0
xydx
)0,0(
x
),(yx
x
потребовать, чтобы линия проходила через некоторую заданную точку
).,(
yx
Рис. 1. Поле направлений, задаваемое дифференциальным уравнением
Пример. Вернемся к уже рассмотренному выше дифференциальному
dy
уравнению, записав его в виде
. Построим поле направлений,
определяемое этим уравнением. В каждой точке, отличной от точки
угловой коэффициент касательной к некоторой интегральной кривой равен
y
отношению
. То есть угловой коэффициент касательной совпадает с угловым
коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же точку
. На рис. 2 показано поле направлений, задаваемое этим дифференциальным
уравнением.
,
Рис. 2. Поле направлений, определяемое уравнением
y
y
8
1.2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого
dx
)(x
y
0
0
0
000
.2)0(
y
0
0
0h
)(x
y
0
0
)(x
y
0
порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
1. Одной из важнейших задач в теории дифференциальных уравнений и в
практических приложениях теории, является так называемая задача Коши. Для
уравнения (1.7)
dy
),( yxf
задача Коши ставится следующим образом.
Задачей Коши (или начальной задачей) для дифференциального
уравнения 1–го порядка называется задача нахождения решения
этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию
),( yxfy
где
x и 0y - заданные числа.
,
)( yxy
, (1.10)
Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, что ищется
интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через
заданную точку плоскости ),(
yxM .
Например, функция
yy
при начальном условии
x
ey 2 является частным решением уравнения
Из курса высшей математики, изучаемого в 1-ом семестре, нам известно,
что в алгебре большую роль играют теоремы о числе решений алгебраических
уравнений. Так, в случае линейных систем уравнений, определитель которых не
равен нулю, система имеет единственное решение. Известна также основная
теоремы алгебры, утверждающая что многочлен n-й степени всегда имеет
ровно n корней на множестве комплексных чисел (считая корни с их
кратностями). В теории дифференциальных уравнений также важнейшим
является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное
уравнение. Выше мы убедились, что дифференциальное уравнение имеет
бесконечное множество решений. Поэтому ставится вопрос не о числе
решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного
уравнения, как можно выделить интересующее нас решение и единственно ли
решение, описываемое интегральной кривой, проходящей через точку ),(
yx
области.
Будем говорить, что задача Коши с начальными условиями (1.10) имеет
единственное решение, если существует такое число
, что в интервале
hxx
0
определено решение
такое, что
)( yx
и не
существует решения, определенное в этом интервале и не совпадающее с
решением
точки
xx
(рис. 3).
хотя бы в одной точке интервала hxx
0
, отличной от
9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]