Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
)1(
2
1
1
1
)1(
1
)2(
1
)2(
1
)1(
2
)2(
1
)1(
0
2
)2(
2
2
2
0
)2(
)2(
0
.0
Следовательно, из искомых постоянных две произвольны, например,
)1(
будет
)2(
.
C
2
)2(
,
)2(
2
)1(
2
2
)1(
CC
CC
, поэтому из этой системы для остальных
1
21
1
.
Отсюда общее решение исходной системы будет
xx
xeCeCy
21
221
xx
.)(
xeCeCCz
3. Если среди корней характеристического уравнения (5.63) есть
ii
комплексное спряженные пары
,
1
, то этим
mmmmmm
корням будут соответствовать частные решения
)(
i
m
m
,,
причем
)(
)1()1(
mm
)(i
определяются из систем (5.63). Можно показать, что
m
i
m
m
)2()2(
eyey
mm
действительные и мнимые части также являются решениями системы (5.57).
Таким образом, можно записать два частных решения:
где
m
,,,
)2()1(
.,
mm
m
m
mmmm
m
)2()1()2()1(
- действительные коэффициенты, связанные с
)2()1()1(
sincos
xxey
mmmm
)2()2(
sincos
xxey
,
mmmm
Следовательно, можно составить фундаментальную систему решений
только из действительных решений.
Пример 3. Дана система дифференциальных уравнений
Найдем ее общее решение.
Решение. Характеристическое уравнение для этой системы имеет вид
корни этого уравнения
Подставляя эти корни в (5.63), получим
dy
1
dx
dy
2
dx
17
0
52
7
или
21
150
yy
21
.52
yy
21
2
.6,6
ii
,03712
)1(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
Соответствующее частное решение
)1(
)6(
)1(
2
i
j
)1(
.1,1
i
)(xy
будет
eiyey
)1(;
xixi
)6(
.
Для
i 6
, получим соответственно
)2(
1
)2(
1
Поскольку из четырех получившихся функций в общее решение для
,
должны войти лишь два линейно независимых решения с
произвольными постоянными
следующим образом
)1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
2
для
)2(
1
)2(
6
x
x
6
)2(
, yy
)2(
будет
);sin(cos
xixey
66
xx
66
xx
)2(
2
)6(
CC
;1,1
i
)2(
2
,,
преобразуем получившиеся решения
eiyey
)6(
xixi
.)1(;
илиxixeiy
);sin(cos)1(
;sincos
xiexey
66
xx
),sincos
xiexey
66
xx
);sin(cos)sin(cos
xxiexxey
).sin(cos)sin(cos
xxiexxey
Поэтому составляя общее решение из действительных и мнимых частей
этих решений для ).(xy
i
j
найдем
6
11
6
12
6
xx
2
xeCxeCy
2
Известно, что линейное однородное дифференциальное уравнение n-го
порядка
n
2
dx
yd
n
2
xa
dx
n
yd
n
1
n
n
1
dx
yd
n
2
n
1
xa
эквивалентно линейной, однородной системе
dy
0
y
dx
dy
1
dx
1
y
2
dy
1
n
dx
.sincos
6
xx
).sin(cos)sin(cos
xxeCxxeCy
dy
xa
)(...)()(
dx
ya
(5.65)
01
(5.66)
....
yayaya
111100
nn
151
Будем считать все
k
k
k
k
.constak
Характеристическая матрица для (5.66) в этом случае будет иметь вид
001
010
aaa
110
n
или
1
n
n
1
n
0...)det(
aaa
.
01
Если же вычеркнуть из матрицы первый столбец и последнюю строку,
получим определитель равный +I или –I. Следовательно, характеристический
многочлен, если имеет корень
S
элементарный делитель
)(
k
кратности
k
. Поэтому корню
S , то матрица имеет
будут соответствовать
S линейно независимых решений вида
10
S
1
k
1
S
x
kk
.)...(
exCxCC
(5.67)
Таким образом, методы решения систем типа (5.58) могут быть
использованы для решения линейных дифференциальных уравнений n-го
порядка, разрешенных относительно производных.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
,033
yyyy
.,,,
Обозначим
yyyyyyyyyy
221100
Тогда
dy
0
,
y
1
,
y
2
(5.68)
.33
yyy
210
dx
dy
1
dx
dy
2
dx
Характеристическое уравнение системы (5.68) имеет вид
01
10
331
013)3(
или
,0
т.е
3
0)1(
.
3
S
, то, учитывая (5.67),
2
Поскольку корень
11
имеет кратность
получим общее решение (5.68), а следовательно, и исходного уравнения
третьего порядка в виде
2
210
x
).()(
xyexCxCC
152
Для нахождения общего решения нормальных систем дифференциальных
dx
n
n
2
1
уравнений вида
dy
1
dx
dy
dx
2
11
12
),...,,,(
yyxf
n
),...,,,(
yyxf
n
(5.69)
dy
n
dx
1
)...,,,(
yyxf
nn
применяется также метод последовательного исключения неизвестных
функций, то есть сведение системы (5.69) к уравнению вида (5.65). Для этого,
дифференцируя первое уравнение из (5.69) по x, получим
2
dx
yd
1
2
f
x
Используя тот факт, что
2
dx
Определим
Подставим
x из первого уравнения системы (5.69)
y в (5.70) и, таким образом, исключим эту неизвестную
yd
2
dy
1
dy
f
11
dx
y
1
k
,
f
k
f
x
найдем
f
11
f
y
1
f
11
dx
y
2
f
1
1
y
n
yyyyxgy
nn
....
f
(5.70)
n
),,...,,,(
1121
dy
dy
f
12
y
n
n
....
dx
функцию из (5.70). Продолжая эту процедуру, можно получить уравнение n-го
порядка для одной неизвестной функции.
Пример 5. Найти общее решение
dy
.,
z
y
0..,
.
Решение.
dx
2
yd
2
dz
yyет
dx
dx
dz
dx
Характеристическое уравнение имеет вид
или
2
)(
2,1
21
ikk
,;01
ixix
eCeCxy
),sin(cos)sin(cos)(
xixCxixCxy
тогда общее решение можно
записать
153
,sincos)(
mg
F
BO
sin
mg
l
AOB
dt
dt
l
xCxCxy
21
.sincos)(
xCxCxz
12
5.6. Физические задачи, приводящие к уравнениям 2-го порядка
и системам дифференциальных уравнений
1. Уравнение колебаний математического маятника.
Пусть шарик массы m закреплен на конце B невесомого стержня, длина
которого l. Стержень шарнирно закреплен в точке O так, что колебания
маятника происходят в одной плоскости. На шарик действуют две силы: сила
тяжести, направленная вертикально вниз,
; направленная по радиусу
сила реакции стержня T (рис. 13).
O
l
T
B
Рис. 13
Обозначим
a - проекцию ускорения на направление касательной к
траектории маятника. Возвращая в положение равновесия, сила – проекция
силы тяжести на то же направление, равна -
.
По второму закону Ньютона
sinmgma
. (5.71)
s
При малых углах отклонения
sin (по теореме синусов для
), где s - смещение маятника, измеряемое длиной дуги. Поскольку
2
a
где
sd
, то уравнение (5.71) можно записать в виде
2
2
sd
2
g
2
. Уравнение (5.72) является уравнением движения математического
2
0
s
, (5.72)
154
маятника. Решением уравнения (5.72) является функция tsts
0
0
1
2
1
1212121
2
1
1
dt
1
1
2
1
1
cos)(
s - начальное отклонение, начальная скорость равна нулю. Отметим, что это
уравнение можно получить из уравнения Лагранжа, излагаемого в курсе
теоретической механики.
Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия
колебания маятника будут почти гармоническими с частотой , не зависящей
от массы груза.
2. Уравнения упругого связанных маятников.
Рассмотрим связанные маятники одинаковой массы m, скрепленные
пружиной жесткостью k. Пусть в некоторый момент времени стержни
маятников составляют с вертикалью малые углы
и
, а смещения масс от
,
положения равновесия равны
l l
m m
O 2O
x 2x
s 2s
В этот момент растяжение пружины равно
Со стороны пружины на стержни подвеса маятников действуют силы
s и 2s (рис. 14).
Рис. 14
)()(sinsin
sslllxxx
.
упругости
Относительно осей, проходящих через точки подвеса
F и 2F , такие, что
)(
sskxkFF
.
1221
O и 2O , силы
создают вращательные моменты, противоположные по знаку, но одинаковые по
модулю
2
12
)()(
sslklsskM
.
12
Запишем уравнение колебаний маятника (5.72) в виде
2
ml
sd
2
lmg
. (5.73)
155
Добавим найденные вращательные моменты с учетом соответствующих
1
2
201
20100201
1
2
2
201
021
знаков в правую часть уравнения (5.73), записанного для каждого маятника.
Получим следующую систему уравнений
2
sd
1
2
dt
2
sd
2
2
dt
g
s
1
l
g
s
2
l
2
k
m
),(
ss
12
(5.74)
2
k
m
).(
ss
12
Заменим систему (5.74) более удобной для решения, введя функции
sss
,
21)(
sss
.
21)(
Складывая и вычитая уравнения в системе (5.74) получим
2
sd
dt
2
dt
2
sd
2
g
)(
l
s
,0
)(
(5.75)
2
)(
2
g
l
k
m
s
.0
)(
Каждое из уравнений в (5.75) имеет вид (5.72), решение которого
известно.
Если начальные смещения маятников
0
s и
0
s , а начальные скорости
равны нулю, то решения уравнений (5.74) имеют вид
0
(5.76)
,cos)(,cos)(
twststwsts
где
0
q
w
l
Возвращаясь к переменным
0
1
)(
ts
1
)(
ts
2
Из вида решений (5.77) вытекают следующие выводы.
2
0
1
, ssssss
q
,
w
21
l
s и 2s , из (5.76) получим:
0
ss
2
cos
1
0
ss
2
cos
0
1
tw
0
1
tw
1
Если начальные смещения одинаковы
0
,
2
2
k
.
m
0
ss
2
2
0
ss
2
tw
2
tw
2
0
q
колеблются с одинаковой частотой
w и постоянной амплитудой
l
,cos
(5.77)
.cos
sss , то маятники
0
wtststs cos)()(
.
156
Если начальные отклонения противоположны
201
201
202
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
0
sss , то колебания
0
будут проходить с постоянной амплитудой, но с большей частотой
2
2
w
q
2
k
,cos)(
l
,
m
twsts
.cos)(
twsts
Если в начальный момент времени только один маятник смещен из
положения равновесия 0,
0
0
0
sss , то получим
s
0
)(
ts
1
После преобразования получим
cos)(
ww
sts
01
Так как разность
cos
t
ww
ww
1212
существенно меньше суммы частот
221
s
0
)(),cos(cos
tstwtw
ww
sin)(,
stst
02
t
21
sin
).cos(cos
twtw
ww
1212
.
t
ww
, то
первые члены в решениях меняются со временем гораздо медленнее, чем
cos
ww
12
t
и t
sin
ww
12
. Поэтому можно считать, что колебания
маятников гармонические, но амплитуды, колебаний не постоянны, а медленно
изменяются.
Задачи для самостоятельного решения
Решить системы уравнений:
dy
1.
dx
dz
dx
zy
Ответ:
.2,4zy
3
x
3
x
),(
xCCey
21
).(
xCCCez
221
2.
3.
dy
dx
dz
dx
dy
dx
dz
dx
,2
zy
Ответ:
.43
zy
zy
Ответ:
.2,2zy
eCz
1
2
x
2
t
157
2
xx
,
eCeCy
21
3
C
2
2
xx
.
e
),sincos(
xCxCey
21
).cossin(
xCxCez
21
4.
4
)(y
f
y
0
)(y
f
5.
6.
7.
dy
dx
dz
dx
dy
dx
dz
dx
dy
dx
dz
dx
dy
dx
dz
dx
zy
Ответ:
.,2zy
,
z
Ответ:
.
y
zy
Ответ:
..2zy
zy
Ответ:
.,zyx
,sincos
1
2
21
2
x
2
xCxCy
21
2121
xx
,
eCeCy
21
xx
.
eCeCz
21
,sin2cos2
2
x
1
1
xCxCy
21
2
1
4
xxeCCy
2
xxCeCz
2121
,
.1
.sin)(cos)(
xCCxCCz
.sin)(cos)(
xCCxCCz
dy
8.
dx
dz
dx
,sin2
xzy
Ответ:
.cos24
xzy
,sin2
21
xxCCy
.cos2sin3)12(2
21
xxxCCz
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1. Простейшие асимптотические методы решения
дифференциальных уравнений
Во многих задачах механики колебания консервативных систем с одной
степенью свободы описываются дифференциальными уравнениями вида
0)(
где y – перемещение,
восстанавливающая сила,
0
– некоторая нелинейная функция от y –
– ускорение. Точками над буквой обозначены
производные по времени t. Пусть
yfy
, (6.1)
yy
определяет положение равновесия
системы. Тогда 0)(
yf . Предположим, что функцию
0
158
в окрестности
точки
0
0
32020
1
!1n
)()(yfy
f
)(y
f
3
1
0
X
T
321
120
3
221
0
),(
u
1
0
где
y можно разложить в ряд Тейлора
n
yfd )(
dy
0
.
n
k
n
Если считать, что восстанавливающая сила является нечетной функцией
смещения от равновесия
3
)()()()( yykyykyykyf ,
(т.е. пружина ведет себя одинаково при
растяжении и сжатии), и ограничиться в разложении функции
двумя
членами, то уравнение (6.1) примет вид
3
xkxkx
, (6.2)
где
0
yyx
. Уравнение (6.2) обычно называют уравнением Дюффинга.
Введем характерные масштабы задачи – линейный X и временной T, и
перейдем к безразмерным переменным
x
u ,
t
.
Используем правило дифференцирование сложной функции для перехода
к новым переменным
2
d
dt
d
dt
1
d
d
d
,
d
Td
1
Tdt
d
.
222
d
Тогда уравнение (6.2) преобразуется к виду
322
0
uXTkuTku
.
Введем обозначения
2
Tk
,
XTk
22
, где
и - безразмерные
0
параметры, - характеризует степень нелинейности системы, точка над буквой
обозначает дифференцирование по .
Тогда уравнение преобразуется к виду
0
0
32
uuu
. (6.3)
В качестве начальных условий примем
)0( uu
0
,
Прямое разложение. Неравномерность разложения.
Решение уравнения Дюффинга (6.3) отыскиваем в виде ряда по степеням
параметра , который считаем малым
Ограничившись в решении членом правого порядка малости
= )()()(
159
)0( uu
. (6.4)
1
)()()(),(
uuuu . (6.5)
2
Ouu , (6.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]