Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
уравнение (5.23)
212
1
2
1
n
i
)(x
Y
2
1
1
2
212
1
n
Линейность оператора L означает, что выполняются два свойства:
однородность -
аддитивность
-мерные векторы.
Эти свойства легко проверяются для оператора (5.26). Действительно,
FYL][
. (5.28)
][][ YLYL
, где - произвольная постоянная;
][][][
YLYLYYL
, где
, YY
- дифференцируемые
dx
Yd
dx
)(
)(
YYd
21
dY
CYA
dx
YYA
21
AY
dY
dx
,)(
AY
1
1
2
dx
dY
AY
.)(
2
Из этих свойств вытекает:
m
ii
ni
m
i
YLYL
i
1
i
, где
- произвольные постоянные.
2. Свойства решений линейной однородной системы
Основной проблемой при решении неоднородных систем (5.22) является
построение решений соответствующей однородной системы (5.24). Ниже
будет показано, что интегрирование неоднородной системы сводится к
интегрированию однородной. В этом разделе займемся изучением однородной
системы линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Если
системы (5.27) (или (5.25)), то
является решением линейной однородной
)(xcY
является решением этой системы
(c- произвольная постоянная).
Доказательство. Поскольку
оператора L имеем:
Теорема 2. Сумма
][][ YcLcYL
YY
двух решений
][YL
по условию, то в силу линейности
Y
и
Y
однородной линейной
системы уравнений (5.27) является решением этой системы.
Доказательство. Так как по условию
][][][
YLYLYYL
, где использовано свойство аддитивности
][1YL
,
][2YL
, то
оператора L.
k
Yc
С л е д с т в и е теорем 1 и 2. Линейная комбинация
YY ,...,
системы (5.27) с произвольными постоянными коэффициентами
1
1
k
cc ,...,
является решением этой линейной однородной системы.
k
i
1
решений
i
i
При решении однородного линейного дифференциального уравнения
-го порядка мы использовали комплексные решения для построения его
130
действительных решений. Аналогичная ситуация складывается и при решении
2
1
1
2
1
212
1
1
1
2
11
21
12
22
)
линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Приведенная
ниже теорема позволяет отыскать действительные решения системы из
известных комплексных решений.
Теорема 3. Если линейная однородная система (5.24) с
действительными коэффициентами
iYYY
, то действительная
Y и мнимая 2Y части в отдельности
yyyY
121111 n
)(xa
имеет комплексное решение
ij
),...,,colon(
),...,,colon(
,
yyyY
222122 n
является решениями этой системы.
Доказательство. Поскольку
оператора L, имеем:
iYYL
YiLYLiYYL
, то используя линейность
][][][
. Так как два комплексных
][
выражения равны между собой тогда и только тогда, когда равны
соответственно их вещественные и мнимые части, то видим:
][2YL
. Таким образом,
Y
и
Y являются решениями системы.
YL
][
Пример. Дана однородная система линейных уравнений:
dy
1
.,
y
dx
dy
2
dx
2
y
1
,
Нетрудно проверить, что функции
xixy sincos1
,
xixy cossin2
являются решением этой системы. Проверка же показывает, что функции
xy cos
,
xy sin
, а также функции
xy sin
,
xy cos
являются
решениями этой системы.
Допустим, что мы нашли n частных решений однородной системы
(5.24). Основной вопрос заключается в следующем: при каком условии
линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными
коэффициентами
cc ,...,
даст общее решение однородной системы?
1
n
Для ответа на поставленный вопрос введем понятие о линейной
независимости систем функций.
Рассмотрим m систем функций:
,,
,2,1
yyy
;11211
n
;
yyy
2,22,21
n
(5.29
.
yyy
mnmm
Эти системы функций называются линейно независимыми в интервале
),( ba
, если не существует чисел
при которых для всего интервала
,...,,
21
131
не равных нулю одновременно,
m
),( ba
выполнялись бы соотношения:
),(ba
),(ba
),(ba
n
yyy
mm
yyy
mm
2211
yyy
mnmnn
,0
1212111
,0
2222121
(5.30)
.0
В сокращенной и векторной формах условия (5.30) имеют
соответственно вид:
m
где,
i
yyyY
21 knkkk
iki
1
2211
).,...,,colon(
nky
),...,2,1(,0
(5.31)
,
YYY
mm
Иными словами, система функций (5.29) является линейно независимой,
если ни одна строка (5.30) не является при
),( bax
линейной комбинацией
остальных строк этой системы. В противном случае системы (5.29)
называются линейно зависимыми в
В частности, две системы функций
линейно независимыми в
, если не справедливо соотношение вида
).,( ba
yyy
yyy
,...,,
и
n
11111
,...,,
будут
n
22221
21
y
22
y
12
y
y
11
y
2
n
y
1
n
)(
bxa
.
Из (5.30) видно, что если одна из систем функций в (5.29) состоит из
функций, тождественно равных нулю в интервале
функций линейно зависимы в
.
, то эти системы
Пример. Система функций
3
xxx
;,,
eyeyey
3
23
xxx
;2,2,2
eyeyey
линейно зависимы в
11
21
3
);(
.
12
3
3
13
3
22
Другая система функций
11
2
является линейно независимой в
1312
2221
2
;
.
23
2
xx
;,0,
eyyey
2
xx
;,,0
eyeyy
Таким образом, если рассматривать элементы строки системы (5.29) как
составляющие некоторого вектора в n- мерном пространстве (см. формулу
(5.31) и ниже), то определение линейной независимости системы функций
(5.29) является определением линейной независимости системы m векторов.
Рассмотрим необходимое условие линейной зависимости
систем
функций
132
),(ba
),(ba
),(ba
),(ba
,,
,2,1
yyy
;11211
n
;
yyy
2,22,21
n
(5.32)
.
yyy
nnnn
Иными словами, рассматриваем необходимое условие линейной
).,...,2,1(),,,colon(
зависимости системы n-мерных векторов
21
knkkk
nkyyyY
Введем в рассмотрение определитель Вронского (вронскиан) для
системы функций (5.32)
yyy
n
11211
yyy
xW
)(
21
n
22221
. (5.33)
yyy
nnnn
Теорема 4. Если n систем функций (5.32) линейно зависимы в
интервале
, то
0)(xW
в
.
Доказательство. Поскольку система функций (5.32) по условию
линейно зависима, то по определению линейной зависимости имеем
соотношение (5.30)
n
,);,...,2,1(,0
iki
1
i
bxanky
(5.34)
где не все коэффициенты
равны нулю. Рассматривая систему равенств
i
(5.34) как однородную линейную систему алгебраических уравнений
относительно
,...,,
21
, видим, что она имеет ненулевое решение. Но из
n
алгебры известно, что в этом случае определитель этой системы должен быть
равным нулю. Определителем этой алгебраической системы уравнений
является вронскиан (5.33). Так что
точках интервала
.
)(xW
должен обращаться в нуль во всех
Рассмотрим далее важное для теории линейных систем необходимое и
достаточное условие линейной независимости n решений однородной
линейной системы n уравнений.
Пусть каждая из систем функций совокупности (5.32), т. е. все
),...,2,1(),...,,colon(
21
knkkk
nkyyyY
, является решением системы линейных
однородных дифференциальных уравнений (5.23).
Теорема 5. Если n решений (5.32) однородной системы (5.24) линейно
независимые в интервале
коэффициенты
)( xa
, то их вронскиан
ij
, в котором определены и непрерывны
)(xW
не обращается в нуль ни в одной
точке этого интервала.
0)(
Доказательство. Предположим обратное: пусть
xW
0
, где
133
bxa
i
1
),(ba
),(ba
),(ba
n
),(ba
0
где обозначено
нашему предположению
ненулевое решение
. Составим систему алгебраических уравнений
n
1
i
1
xyy
00
ikik
0
,
cc
2 nn
1
0
iki
)()(
. Определитель этой системы – есть
0)(
xW
0
. Поэтому система (5.35) должна иметь
2
n
0
ikik
00
.,...,
cccc
Построим теперь функции
,),...,2,1(,0)(
nkyc
(5.35)
nkycxy
),...,2,1(,)(
. (5.36)
)(0xW
. По
Совокупность этих функций является решением системы
дифференциальных уравнений (5.24), поскольку является линейной
0
комбинацией решений (см. следствие теорем 1 и 2). Поскольку все
c
i
удовлетворяют алгебраической системе уравнений (5.35), то ясно, что решение
(5.36) имеет нулевые начальные значения в точке
xx
:
0
0...,,0,0
21
yyy
n
при
xx
.
0
Но тогда решение (5.36) будет являться нулевым
0)(...,,0)(,0)(
xyxyxy
21
n
в силу единственности решения задачи Коши. Поэтому получается тождества
n
где не все
c
в интервале
0
i
0
равны нулю. Это означает, что решения (5.32) линейно зависимы
i
iki
1
. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно,
,,),...,2,1(0)(
bxankxyc
вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке.
Таким образом, из доказанных теорем 4 и 5 следует: для того, чтобы n
решений системы линейных однородных уравнений (5.24) были линейно
независимы в интервале
, необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан
не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.
Для установления линейной независимости n решений системы (5.24)
достаточно убедиться в том, что )(xW отличен от нуля хотя бы в одной точке
.
Введем понятие фундаментальной системы решений линейной
однородной системы n дифференциальных уравнений.
Совокупность
решений
yyyxY
21 knkkk
),...,2,1( nk
),...,,colon()(
однородной системы (5.24), определенных и линейно независимых в интервале
называется фундаментальной системой решений в этом интервале.
Из необходимого и достаточного условия линейной независимости n
134
решений однородной линейной системы n дифференциальных уравнений,
),(ba
),(ba
dx
n
),(ba
приведенного выше, следует: система n решений будет фундаментальной
системой решений в интервале
тогда и только тогда, когда
определитель Вронского этих решений не равен нулю хотя бы в одной точке
интервала
.
Матрица вида
yyy
xФ
)(
21
n
11211
yyy
n
22221
(5.37)
yyy
nnnn
столбцы которой сформированы из координатных функций линейно
независимых векторов
)(xY
k
),...,2,1( nk
- решений однородной системы,
называется фундаментальной матрицей этой системы. Очевидно, что
).()(det xWxФ
Можно показать, что фундаментальная матрица (5.37) является
решением матричного дифференциального уравнения
)(
xdФ
)()(
xФxA
, (5.38)
где производная матрицы равна по определению матрице, элементы которой
являются производными от соответствующих элементов исходной матрицы.
Отметим: правило дифференцирования суммы и произведения
сохраняются и для матриц; однако при дифференцировании произведения
матриц необходимо сохранять порядок сомножителей -
)()()()())()(( xBxAxBxAxBxA
.
Общее решение однородной линейной системы дифференциальных
уравнений.
Как и в случае однородного линейного дифференциального уравнения
-го порядка, знание фундаментальной системы решений позволяет построить
общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений.
Теорема 6 (об общем решении). Если система функций
yyy
n
,11211
yyy
,
n
2,22,21
(5.39)
yyy
nnnn
,,
,2,1
является фундаментальной системой решений однородной линейной системы
дифференциальных уравнений (5.24) в интервале
135
, то функции
или в сокращенной форме
),(ba
)(x
W
1
2
1
(где
CCC ,...,,
произвольные постоянные) дают общее решение системы
21
n
(5.24) в области
n
i
,)(
yCyCyCxy
12121111
nn
,)(
yCyCyCxy
2211
ikik
1
22222112
nn
(5.40)
,)(
yCyCyCxy
nnnnnn
nkxyCxy
),,...,2,1(),()(
(5.41)
k
),...,2,1(, nkybxa
. (5.42)
Замечание. В векторной форме теорема формулируется так: если
система вектор - функций решений
21 knkkk
является фундаментальной системой решений в интервале
уравнения
n
)(
i
1
yCxy
дает общее решение этого уравнения в области
im
im
m
YxAY )(
, то вектор-функция
),...,2,1(, nmybxa
.
yyyxY
однородного
21 n
),...,,colon()(
yyyxY
),...,2,1( nk
, где
),...,,colon()(
Доказательство. Совокупность функций (5.39) является решением
системы (5.24) при всех значениях постоянных
CCC ,...,,
, поскольку
21
n
представляет собой линейную комбинацию решений системы.
Система (5.40) представляет собой линейную алгебраическую систему
.,...,,
уравнений относительно
(5.33), который не равен нулю при любых
CCC
21 n
Ее определителем является вронскиан
),( bax
, так как совокупность
функций (5.39) является по условию фундаментальной системой решений.
В соответствии с определением общего решения нормальной системой
дифференциальных уравнений, учитывая вышеприведенные рассуждения,
можно сделать вывод: совокупность функций (5.40) является общим решением
системы (5.24) в области изменения переменных (5.42).
Покажем, что формула (5.40) содержит все решения системы (5.24). Для
этого следует доказать, что при любых начальных условиях, наложенных на
функции
где
0 n
можно единственным образом найти значения постоянных
yy ,...,
1
)0(
n
)0(
,
yy
1
)0(
yyyx
2
)0(
),...,,,(
- произвольная фиксированная точка области (5.42),
)0(
,...,
2
yyyy
)0(
nn
при
xx
, (5.43)
0
)0(
)0(
1
,...,,
2
)0(
CCC
n
таких, что полученное частное решение системы (5.24) с начальными
условиями (5.43) будет включаться в решение (5.40) при
136
2
)0(
1
1
2
)0(
,...,,
CCCCCC
Действительно, полагая в (5.40)
)0(
1
)0(
2
)0(
.
nn
xx
, учитывая (5.43) получим
0
,)()()(
yCyCyCy
0102120111
nn
yCyCyCy
,)()()(
0202220211
nn
(5.44)
)0(
).()(
где
xyy
Полученная система линейных неоднородных уравнений
00
ijij
относительно неизвестных
ее определитель равен
(5.39) при
xx
, которой отличен от нуля. Поэтому
0
)0(
1
0
1
)0(
1
0
1
CCC ,...,,
имеет единственное решение, поскольку
21
)(0xW
- вронскиану фундаментальной системы функций
)0(
)0(
yyxCC
n
)0(
2
)0(
).,...,,(
nnn
)0(
2
yCyCyCy
0
1
,)()()(
0022011
nnnnnn
)0(
)0(
),...,,...,,(),,...,,(
yyxCCyyxCC
nn
(5.45)
Подставляя эти значения постоянных в общее решение (5.44) найдем
решение задачи Коши (5.24), (5.43).
Таким образом, чтобы линейная комбинация n решений однородной
линейной системы (5.24) с произвольными постоянными
CCC ,...,,
давала
21
n
общее решение этой системы, необходимо и достаточно, чтобы эти
решения были линейно независимы, т.е. чтобы они составляли
фундаментальную систему решений.
З а м е ч а н и е. Общее решение линейной однородной системы
дифференциальных уравнений можно выразить через фундаментальную
матрицу (5.37). Формулу (5.44) можно записать в виде
,)()( CxФxY
(5.46)
где
21
фундаментальная матрица (5.37),
))(),...,(),(colon()(
xyxyxyxYn
,
)(xy
- функции из (5.44),
k
),...,,colon(
CCCC
21 n
- постоянный вектор с
)(xФ
-
произвольными координатами.
Если положить в (5.46)
поскольку матрица )(
xФ не вырождена, имеем
0
xx
, получим
0
1
xYxФC
CxФxY )()(
. Отсюда,
00
)()(
. Подставляя C
00
в формулу (5.46), получаем
)()()()(
xYxФxФxY
. (5.47)
00
Полученная формула дает решение начальной задачи (5.24), (5.43), т.е.
решение задачи Коши для линейной однородной системы дифференциальных
уравнений.
Матрица
1
)()(),(
0
xФxФxxK
(5.48)
0
называется матрицей Коши. Используются также другие названия этой
137
матрицы – импульсная матрица, а также матрицант.
111
1
221
x
2
1
221
1
221
1
121
1
2
1
221
2
1
121
1
112
222
211
212
1
221
1
22112
221
1
221
2
1
1
2
1
2
2
2
Таким образом решение задачи Коши (5.24), (5.43) можно записать с
помощью этой матрицы в виде
)(),()(
xYxxKxY
. (5.49)
00
Пример. Найти общее решение линейной однородной системы
dy
dx
dz
dx
2
232
,)1()(
zxxxyxx
.)1()1(
zxxyx
Решение. Из вида системы ясно, что одно из его решений представляет
собой многочлен. Поскольку в правой части уравнений системы коэффициент
при функции
)(xy
, то частное решение ищем в виде
)(xz
имеет степень на единицу большую, чем коэффициент при
2
,)(
xcxbaxy
)(
xbaxz
.
Подставляя
)(1xy
и
коэффициенты при одинаковых степенях
)(1xz
в уравнения заданной системы и приравняв
, получим уравнения для
определения коэффициентов:
,0
Уравнения удовлетворяются, если
Полагая
bc
,02
caca
,1
cba
находим одно решение системы:
121
2
,1
xy
,0
babc
,
ab
ab
,0
.1xz
baa
cba
,0
baab
.0
.
Второе решение системы будем искать в виде
x
,)(
exBAy
x
exBAz )(
.
Подставим эти функции в уравнения системы, разделим обе части
x
уравнений на
e
, затем приравняем коэффициенты в правой и левой частях
полученных уравнений при одинаковых степенях x. Получим уравнения:
,
ABA
0 BABA
Уравнения удовлетворяются, если
,
BABA
;
BAB
AB
BAAB
,
;0
0 AB
0
,
,
1
BA
.
.02B
BABAB
;
Поэтому, второе решение системы имеет вид
x
,
xey
x
ez
.
Проверим линейную независимость решений. Вычислим определитель
Вронского
2
1
)(
xW
x
xex
ex
e
x
Таким образом, общее решение системы имеет вид
138
x
0
.
2212211
x
21221
1
dx
1
L
,)1(
x
.
eCxCzCzCz
xeCxCyCyCy
3. Свойства решений неоднородной линейной системы
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим далее неоднородную линейную систему (5.23)
dy
dx
n
k
i
1
k
iki
),...,2,1(),()(
nkxfyxa
,
которую в векторной и операторной формах мы записывали следующим
образом
dY
.][,)( FYLFYxA
Установим наиболее важные свойства решений линейной неоднородной
системы.
m
Теорема 7 (принцип суперпозиции). Пусть
постоянные числа,
уравнения
i
1
)(
i
)()( xFYxAY
. Тогда вектор-функция
iii
i
m
i
1
)(
i
))(),...,(colon()(
xfxfxF
n
ii
, и пусть
xYxY
)()(
xFxF
),()(
где
ii
)(xY
- решение
i
-
i
является решением уравнения (5.23).
Доказательство вытекает из линейности оператора
(5.23).
Действительно,
m
i
FYxA
.)()(][
i
11 11
ii
YL
Таким образом,
m
d
dx
i
)(xY
ii
является решением уравнения (5.23).
m
i
m
YxAY
i
dY
i
iii
dx
Физический смысл принципа суперпозиции заключается в следующем.
Пусть имеется физическая или техническая система, внутренние свойства
которой описываются линейным оператором L. Пусть на вход такой системы
подается сигнал
k
m
i
1
m
i
1
xFxF
)()(
, то на выходе из устройства будет наблюдаться сигнал
ii
xYxY
)()(
(рис. 12).
ii
k
),...,2,1()( mkxY
. Если на вход такой системы подать сигнал
),...,2,1()( mkxF
, а на выходе фиксируется сигнал
139
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]