гральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциаль- ное уравнение (1) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости Оху.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в ко-

торых выполняется соотношение

, называется изоклиной данного

дифференциального уравнения.

При различных значениях k получаем различные изоклины. Уравнение

изоклины, соответствующей значению k, будет, очевидно,

. Построив

семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что зная изоклины можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости.

Пример 1. На рисунке 1 изображено поле направлений, определяемое

дифференциальным уравнением

(2)

Изоклинами данного дифференциального уравнения являются

или

Нулевая изоклина

. Это семейство прямых. Они построены на рис.1.

дает уравнение линий, на которых могут

находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.

0y

( , ) 0

df df df df

y y f x y

dx dy dx dy

 

    

2y x y





,y k const





2,x y k

2y x k

0k 

2yx

xOy



2yx

21yx

1k 

2 1,yx

1k 

k1

1k 

2 2 2 .y y x y

 

    

Рисунок 1 - Поле направлений для ДУ (2)

Для большей точности построения интегральных кривых находят также

геометрическое место точек перегиба, в которых силу уравнения (1) и приравнивают ее нулю:

Линия, определяемая этим уравнением и есть возможное геометрическое

место точек перегиба.

Пример 2. С помощью изоклин построить приближенно инте-

гральные кривые дифференциального уравнения

Решение. Для получения уравнения изоклин положим

или

Изоклинами являются параллельные прямые. При

ну производная

. Эта прямая делит плоскость

имеет один и тот же знак (рис. 2).

на две части, в каждой из которых

Интегральные кривые, пересекая прямую

. Для этого находят у" в

(3)

получим изокли-

, переходят из области

убывания функции у в область возрастания, и наоборот, а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, а именно точки минимума.

Возьмем еще две изоклины: Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения

с изоклинами венно. Найдем далее вторую производную

, образуют с осью Ох углы в 1350 и 450 соответст-

2y x y





22yx

0y

2k 

( , ) 2f x y x y

xOy

2yx

22yx

xOy

0y

0y

2 2ух

' 2 2.у у х х   

,yk





k const

Рисунок 2 - Интег ральные кривые ур авнени я

при

Прямая

, и в то же время интегральной линией, в чем можно убедиться под-

, на которой

, является изоклиной, получаемой

становкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей

плоскости клину. Изоклина кривых, расположена над изоклиной вые, проходящие ниже изоклины

Прямая (расположенной над прямой) в другой

вые не пересекают прямую

, то остальные интегральные кривые не пересекают эту изо-

, на которой находятся точки минимума интегральных

, а поэтому интегральные кри-

, не имеют точек экстремума.

делит плоскость

на две части, в одной из которых

, а значит, интегральные кривые вогнуты, а

и, значит, интегральные кривые выпуклы. Интегральные кри-

, значит, она не является геометриче-

ским местом точек перегиба. Интегральные кривые данного уравнения не имеют точек перегиба.

Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения (рис. 2).

Пример 3. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения

Решение. Положим

. Тогда уравнение изоклин будет

2 2 ,y x x k   

или

 

2 2 1 1 .y x x k x k       

1х 

22y x x k   

2 2,yx





2 2 2 2 2 2,x x x k x x       

22xk

0k 

2 2у х х  

- 2 2 у х х

хОу

' 0 у 

0 у

 

2 2 1 1y x x x     

1 х 

1 х 

 

1; 1

2 2у х х  

2 3у х х  

1k 

-2 1у х х

k - 1

у" у -2х 2 у-х +2х-2-2х 2 у - х



    

yx

хОу

yx

( y 0)





уx

( у" 0 )

у х 

f ( x,y ) y x 2x 2   

хОу

Изоклинами являются параболы с вертикальной осью симметрии Среди изоклин нет интегральных кривых. В самом деле, подставляя в данное

уравнение

или

, будем иметь

. Но это равенство ни при ка-

ком значении k не может выполняться тождественно относительно x.

Пусть

. Тогда в точках пересечения с изоклиной

интегральные кривые будут иметь горизонтальные касательные. Изоклина

разбивает плоскость

(решения у убывают), а в другой

на две части: в одной из них

(решения у возрастают). И так как

эта изоклина не является интегральной кривой, то на ней находятся точки экстремума интегральных кривых, именно на той части параболы

этой параболы, где щая через точку

, где

— точки максимума. Интегральная кривая, проходя-

, т.е. через вершину параболы

— точки минимума, а на другой части

, в этой

точке не имеет экстремума. В точках изоклин

касательные к интегральным кривым имеют угловые ко-

эффициенты, соответственно равные 1 и -1 (см. рис. 3).

Для исследования направления вогнутости интегральных кривых найдем вторую производную:

Она обращается в нуль только в точках, лежащих на параболе

точках плоскости тегральные кривые вогнуты вниз

вверх

. Точки пересечения интегральных кривых с параболой

, координаты которых удовлетворяют условию

, а в точках, где

являются точками перегиба этих кривых. Итак, парабола рическое место точек перегиба интегральных кривых.

, они вогнуты

есть геомет-

. В

, ин-

Правая часть исходного уравнения плоскости

удовлетворяет условиям теоремы существования и единствен-

ности, поэтому через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения.

во всех точках

Используя полученные сведения, строим приближенно семейство инте-

k0

у' у х 2х 2   

y y x





2( y y ) x 3



  







( y 1)y y x



  

yy x 0





xy 2y





xy y 0





y y ( x y )



  

y x e





10.

y( y x) 1





11.

y 3x

x 3y









12.







13.

x y y 1





14.

( x y )y 4x





21.

y x 1





22.

y x y





23.

y y x





гральных кривых данного уравнения (рис. 3).

Таким образом, надо проверять, является ли изоклина, для которой интегральной кривой ДУ или нет. Если нет, то эта изоклина определяет точки экстремума.

Рисунок. 3 - Интегральные кривые уравнения

Задачи для са мостоятельного решения

В задачах 1-14 с помощью изоклин начертить (приближенно) решение данных уравнений. (Филиппов)

Методом изоклин построить интегральные кривые следующих дифференциальных уравнений (Краснов):

24.

y ( x 2y 3 )



  

25.

y ( y 1)





26.

y ( y 1)x





y x y





28.

y cos( x y )





29.

y x 2x y



  

30.

y y x





31.









32.









33.

y 1 x





34.

y 2x y





35.

y x y





36.





37.





38.





39.





40.





1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ