Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Учебное пособие.pdf
11
12
1.2. Получение ДУ по общему решению – семейству кривых
( , )y x C
x
dy
( x,C )
dx
dy
dx
dy
dx
2
y Cx
2
dy
Сx
dx
2
/C y x
2dy y
dx x
0х
22
2
1
1
xy
a
2
2
20
x
yy
a
2
x
yy
a
2
2
x
хyy
a
Рассмотрим теперь задачу обратную интегрированию ДУ.
Пусть дано семейство функции, зависящее от одного параметра С:
, (4)
причем через каждую точку плоскости (или некоторой области на плоскости) проходит только одна кривая из этого семейства.
Для какого дифференциального уравнения это семейство функций является общим интегралом?
Из соотношения (4), дифференцируя по х, найдем
. (5)
Так как через каждую точку плоскости проходит только одна кривая семейства, то для каждой пары чисел х и у определяется единственное значение С
из уравнения (4). Подставляя это значение С в соотношение (5), найдем
как
функцию от х и у. Это и дает нам дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет вс як а я функция из семейства (4).
Следовательно, чтобы установить связь между х, у и
т. е. чтобы напи-
сать дифференциальное уравнение, общий интеграл которого определяется
формулой (4), нужно исключить С из соотношений (4) и (5).
П р и м е р 1 . Найти ДУ семейства парабол
Дифференцируя по х уравнение семейства, найдем
сюда значение
из уравнения семейства, получаем дифференциальное
уравнение данного семейства:
Это дифференциальное уравнение имеет смысл при
.
(рис. 4).
. Подставляя
, т. е. в любой
области, не содержащей точек на оси Оу.
Пример 2. Найти ДУ семейства гипербол
Дифференцируя это уравнение по х, получаем
Умножим обе части на х, тогда
13
, или
.
.
.
Подставляя в уравнение семейства найдем
2
' 1хуу у
2
y Cx
cos sin 1 0xy
cos sin 0y
y ctg
2
1
sin
1 y
2
y
cos
1y
sin
cos
22
10
11
xy y
yy
2
1y xy y
1,...,
( , , ) 0
n
x y C C
1
,...,
n
CC
.
Рисунок 4 - Семейство парабол
Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых,
отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.
Будем исходить из нормального уравнения прямой
, где а – параметр. (6)
Дифференцируя это выражение по х, получим
, следовательно
Подставив
и
,
в (6), получим
, или
.
, откуда
В общем случае, чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства
надо продифференцировать равенство (7) n раз, считая у функцией от x, а
затем из полученных уравнений и уравнения (7) исключить произвольные постоянные
, (7)
.
14
П р и м е р 4. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
2
12
( ) 0C x y C
( ):у у х
12
2( ) 0C y C y
2
2
2 2( ) 0y y C y
1
C
12
2( )C y C y
2
22
2 ( ) ( ) 0xy y C y C
2
С
2
2
/y C y y
"у ху20
Cx
ye
3
()y x C
3
y Cx
sin( )y x C
22
2x Cy y
23
y Cx x
2
()y C x C
sinCy Cx
2 x
y ax be
22
( ) 1x a by
ln y ax by
32
y ax bx cx
2
x ay by c
2ух
Оу
0y
yx
у 0
0 х
. (8)
Так как уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем
его два раза, считая
, (9)
. (10)
Исключаем
. Из уравнения (9) имеем
в (8), получим
. (11)
Исключаем
. Из уравнения (10) имеем
в (11), получим после упрощений дифференциальное уравнение
.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 17—29 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий. (Филлипов)
17.
. 18.
.
; подставляя это
; подставляя это
19.
21.
23.
25.
27.
29.
. 20.
. 22.
. 24.
. 26.
. 28.
.
30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, цен-
тры которых лежат на прямой
31.Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллель-
ной
, и касающихся одновременно прямых
32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся
одновременно прямых
вертях.
33. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, парал-
и
.
.
.
.
.
.
и
.
и расположенных в первой и третьей чет-
лельной Oy, и проходящих через начало координат.
34. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касаю-
щихся оси абсцисс.
15
№
Ответы
№
Ответы
17.
/xy y
ye
26.
2 2 3
()yy y y y
18.
2/3
3yy
27.
22
(ln 1) ( )y y y y xy y
19.
3xy y
28.
32
3 6 6 0x y x y xy y
20.
22
1yy
29.
22
3y y y
21.
2
x y xy yy
30.
2 2 2
( 2 ) ( 1) (2 1)y x y y
16
1.4. Изогональные и ортогональные траектории
( , , ) 0Ф x y C
( , , ) 0F x y y
12
1kk
1
, , 0F x y
y
1
( , , ) 0Ф x y C
у kх
у kх
уk
ху у
у
1
у
x
y
y
0уy х
22
x y C
( 0)С
(Пискунов)
Пусть имеем однопараметрическое семейство кривых
. (12)
Линии, пересекающие все кривые данного семейства (12) под постоянным углом, называются изогональными траекториями. Если этот угол прямой,
то траектории называются ортогональными траекториями.
Найдем уравнение ортогональных траекторий для семейства кривых (12).
Для этого вначале составим дифференциальное уравнение семейства кривых,
исключая из него постоянную С. В общем виде такое дифференциальное уравнение примет вид:
. (13)
Угловые коэффициенты ортогональных траекторий, как известно, связаны соотношением
. Откуда дифференциальное уравнение семейства
ортогональных траекторий примет вид:
. (14)
Наконец, интегрируя его, получим искомое семейство ортогональных
траекторий
.
(Краснов).
Пример 5.Найти ортогональные траектории семейства линий
.
1. Получим дифференциальное уравнение данного семейства линий. Для
этого дифференцируем по х обе части уравнения
. Имеем
. Подста-
вив выражение для параметра k в исходное уравнение получим дифференциальное уравнение семейства
2. Заменяя в нем
на
.
, получаем дифференциальное уравнение ор-
тогональных траекторий
уравнение ортогональных траекторий
траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 5).
, или
.
3. Интегрируя полученное ДУ с разделяющимися переменными, найдем
17
. Ортогональными
2
у ах
2y ax
2y
yx
2y
y
x
y
1
y
Рисунок 5
П р и м е р 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол
1. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для это-
го дифференцируем обе части данного уравнения по х:
раметр а, найдём
, или
- дифференциальное уравнение данного
семейства.
. Исключая па-
Рисунок 7
2. Заменяя в уравнении
на
, получим дифференциальное уравне-
18
ние ортогональных траекторий
12y
yx
2
dy x
dx y
2
2
2
x
уС
2
2
x
уС
0С
249.
2
2 0, 0y ax a
250.
n
y ax
, a-параметр
251.
x
y ae
,
сonst
252.
cosxy ae
253.
2 2 2
1
2
x y a
254.
2 2 2
x y a
255.
k k k
x y a
256.
22
2x y ay
257.
2 2 2
1
3
x y a
258.
(1 cos )a
259.
2
4( )y x a
.
№
Ответы
249.
22
2x y C
256.
22
x y Cx
250.
22
x ny C
257.
3
xy C
251.
2
2x y C
258.
(1 cos )C
, или
.
3. Интегрируя, найдем
или
нальным семейством является семейство эллипсов (рис. 7).
1.5. Задачи для са мостоятельного решения
Найти ортогональные траектории для данных семейств кривых:
,
. Ортого-
19
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Одно-
12
dy
f x f y
dx
2
f y 0
1
2
dy
f x dx
fy
1
2
dy
f x dx C
fy
M x dx N y dy
xdx ydy 0
1
xdx ydy C
22
1
xy
C
22
2
1
2C R
2 2 2
x y R
y f x
dy f x dx
y f x dx C
y f ( ax by c)
родные уравнения
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
, (15)
где правая часть есть произведение двух функций, одна из которых зависит
только от х, а другая - только от у. Преобразуем уравнение следующим обра-
зом, полагая, что
:
, (16)
Считая у известной функцией от х, равенство (16) можно рассматривать
как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут
отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по
х, найдем
. (17)
Выражение (17) называется общим интегралом уравнения (15).
Дифференциальное уравнение типа (16)
(18)
Называется уравнением с разделенными переменными.
Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Решение.
получим известное уравнение семейства концентрических окружностей
с центром в начале координат.
Очевидно, простейшим дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными является следующее
Его общим решением является неопределенный интеграл
К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение вида
;
или
20
. Вводя обозначение
.
.
, (19)
,