Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Учебное пособие.pdf
где a, b, c – постоянные. Для этого вводится новая функция
z ax by c
dz d( ax by c )
a by ,
dx dx
za
y,
b
z a bf( z ).
y 2x y
z 2x y, z 2 y , y z 2.
dz dz 2tdt
z 2 z , dx, dx, t z , x C,
t2
z 2 z 2
4
4
2 dt x C, 2t 4ln|t 2| x C, 2 2x y ln( 2x y 2) x C.
t2
4
2 2x y ln( 2x y 2) x 2 4ln5.
y
y f ,
x
y
tx
y tx, y t x t,
dt dx
t x t f ( t ),
f (t ) t x
y
xy y x
x
уy
y
хx
y
tx
dt dx y
t x t t t , , 2 t ln| x| C, 2 ln| x| C
xx
t
. Поскольку
с разделяющимися переменными:
Пример. Найти частное решение уравнения
щее условию у(4) = 1.
Решение. Пусть
Решим уравнение для z:
При х = 4, у = 1 получаем: 6 – 4 ln 5 = 4 + C, откуда С = 2 – 4 ln5. Следовательно, частное решение имеет вид:
2.2. Однородные уравнения
и для z получаем уравнение
, удовлетворяю-
Уравнение, которое можно записать в форме
(20)
называется однородным дифференциальным уравнением. Оно тоже может быть
сведено к уравнению с разделяющимися переменными для функции
этом
Пример. Найти общий интеграл уравнения
Разделим обе части равенства на х:
Тогда
и уравнение для t примет вид:
уравнение с разделяющимися переменными.
.
и сделаем замену:
общий инте-
. При
.
грал уравнения.
К однородному уравнению, также можно привести уравнение вида
21
1 1 1
ax by c
yf
a x b y c
(21)
11
ab
ab
0
х x x ,
0
у y y
11
dy ax by
f
dx a x b y
11
ab
0,
ab
ax by t.
2x y 4
y
y2
0
0
x1
2x y 4 0
y2
y 2 0
x x 1
y y 2
dy dy
dx dx
dy 2x y
dx y
y
tx
2
2
2 t 2 t t t 2 t dx
t x t , t x t , dt ,
t t t t t 2 x
1 2 1 dx 2 1
dt , ln|t 2| ln|t 1| ln| x| ln|C| .
3 t 2 t 1 x 3 3
2
3
( y 2x ) C
x( x y 1) x 1
xy y 0
при условии
. При этом производится параллельный перенос в
плоскости (х, у) такой, чтобы начало координат совместилось с точкой (x0; y0)
пересечения прямых ax + by + c = 0 и a1x + b1y + c1 = 0. Тогда в новых коорди-
натах
уравнение будет выглядеть так:
-
однородное уравнение.
В случае если в исходном уравнении (21) определитель
то переменные могут быть разделены подстановкой
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Решим систему уравнений
новых переменных (с учетом того, что
. Замена
приводит к уравнению
После упрощения и обратной замены получаем общее решение в виде:
2.3. Задания для решения в аудитории
. Тогда
) получаем уравнение
.
, и в
1. Найти общий интеграл:
а).
22
2
x y y 0
2
xyy 1 x
x xy y( y xy ) 0
22
( xy x )dx ( x y y )dy 0,y(0 ) 1
xy y 2y(ln y lnx )
б).
в).
г).
2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию:
а).
3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а).
23
y
y2
x
22
xy y ( 2x xy )y'
yy
y sin
xx
y
xy yln
x
y(1) 1
( xy x )dy ydx 0
y(1) 1
б).
в).
г).
4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
начальному условию:
а).
,
б).
,
24
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение
y P( x )y Q( x ),
y P( x )y 0
dy
P( x )dx;
y
ln y P( x )dx ln C ;
y
ln P( x )dx;
C
P( x )dx
y Ce
y x u x v x
y uv
dv du
y u v
dx dx
dv du
u v P( x )uv Q( x )
dx dx
Бернулли
3.1. Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
(22)
при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется
линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть
Q(x) не равна нулю, то - линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
. (23)
Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не
представляет сложностей (с разделяющимися переменными).
Общее решение:
. (24)
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются в
основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в
виде произведения двух функций
или сокращенно
. (25)
При этом
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
- дифференцирование по частям.
,
25
dv du
u v P( x )u Q( x )
dx dx
. (26)
du
P( x )u 0
dx
1
du du
P( x )dx; P( x )dx; ln u P( x )dx lnC ;
uu
P( x )dx
1
u C e
dv
u Q( x )
dx
Q( x )
dv dx
u
2
Q( x )
v dx C
u
P( x )dx P( x )dx
12
1
1
y uv C e Q( x )e dx C
C
P( x )dx P( x )dx
2
y e Q( x )e dx C
y P( x )y Q( x )
y P( x )y 0
P( x )dx
1
y C e
11
C C x
Поскольку первоначальная функция представлена в виде произведения
двух, то выбор одной из функций-сомножителей в известной степени произвольный.
Выберем функцию u такой, чтобы
. (27)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем
. (28)
Поскольку скобка равна нулю, из выражения (26) получим
;
;
. (29)
Подставляя полученные значения, получаем:
,
или окончательно:
, (30)
С2 - произвольный коэффициент.
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного
дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Метод Лагранжа
(Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, президент Берлинской АН, почетный член Петербуржской АН (1776)).
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных
уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
Первый шаг – решение соответствующего однородного уравнения
Второй шаг – полагаем
некоторой функцией от х.
26
;
.
Тогда по правилам дифференцирования получаем:
P x dx P x dx
1
1
dC x
dy
y e C x e P x
dx dx
P( x )dx P( x )dx P( x )dx
1
11
dC ( x )
e C ( x )P( x )e P( x )C ( x )e Q( x)
dx
P x dx
1
dC x
e Q x
dx
P x dx
1
dC x Q x e dx
P( x )dx
1
C Q( x )e dx C
P( x )dx P( x )dx
y e Q( x )e dx C
3
dy 2
y ( x 1)
dx x 1
y uv
dy dv d u
uv
dx dx dx
dy
dx
3
2
( 1)
1
dv du
u v uv x
dx dx x
3
2
1
1
dv du
u v v x
dx x dx
2
0
1
dv
v
dx x
2
1
dv dx
vx
ln 2ln 1vx
2
( 1)vx
23
( 1) ( 1)
du
xx
dx
1
du
xdx
2
( 1)
2
x
uC
4
2
( 1)
y uv ( 1)
2
x
Cx
.
Подставляя полученное соотношение в исходное уравнение получим
. (31)
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с ре-
зультатом расчета по методу Бернулли.
Прим е р . Решить уравнение
метод Бернулли
Полагаем
Подставляя выражение
, тогда
исходное уравнение, будем иметь
,
,
. (32)
. (33)
Для определения v получим уравнение
откуда
, или
уравнение (33), получаем для определения u уравнение
откуда
.
Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид
, т. е.
. Подставляя выражение функции v в
, или
.
27
,
метод Лагранжа
2
1
dy dx
yx
1
ln 2ln 1 lny x C
2
1
1y C x
23
1
C x 1 x 1
2
1
x
C x 1 dx x C
2
4
2
22
x1
x 2x 1 1 1
y C x 1 C x 1
2 2 2 2
00
( ; )xy
0
1x
0
3y
0
0x
4
2
(0 1)
3 (0 1)
2
C
5
2
C
4
2
( 1) 5
( 1)
22
x
yx
00
;xy
0
1х
0
1x
2
()
1
Pxx
dy
ay b
dx
dy ay b dx
dy
dx
ay b
1
1
ln ay b x C
a
1
ln ay b ( ax aC )
1
ax aC
ay b e
1
1
ax aC
b
ye
aa
для однородного уравнения имеем:
;
;
.
Варьируя переменную С1 получим
;
, откуда
,
что совпадает с решением по методу Бернулли.
Полученное семейство является о б щ и м решением. Каково бы ни было
начальное условие
, где
, всегда можно так подобрать С, чтобы
соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию
найдется следующим образом:
,
. Следовательно,
при
,
искомое частное решение таково:
ное условие (
) выбрать так, что
, то мы не найдем частного реше-
. Однако, если началь-
ния, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при
функция
разрывна и, следовательно, условия теоремы существо-
вания решения не соблюдены.
З а м е ч а н и е . В приложениях часто встречаются линейные уравнения с
постоянными коэффициентами
(34)
где а и b—постоянные.
Его можно решить как линейное или путём разделения переменных:
,
,
,
,
28
,
или окончательно
ax
b
y Ce
a
1
1
aC
Ce
a
,
n
y Py Q y
12
F
n
vv
12
n
dv
m v v
dt
1
1
nn
y
PQ
yy
1
1
1
n
n
zy
y
1
1
n
n
ny
z n y y
y
1
n
yz
yn
z
Pz Q
n1
z 1 n P z 1 n Q
2
xy y xy lnx.
2
y 1 1
lnx.
y x y
2
1y
z ; z .
yy
11
z z lnx; z z lnx
xx
dz dx
zx
1
z C x
1
C x ln x
2
1
lnx ln x
C dx C
x2
2
ln x
z C x
2
, где
. (35)
Это и есть общее решение уравнения (34).
3.2. Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
(36)
где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не
равное 1.
К этому уравнению приводит задача о движении тела, если сопротивле-
ние среды F зависит от скорости так:
тогда
.
. Уравнение движения будет
Для решения разделим исходное уравнение (36) на yn
. (37)
Используем подстановку
, тогда
;
.
В этом случае уравнение Бернулли (37) приводится к линейному
Пример. Решить уравнение
Разделим уравнение на xy2:
Полагаем
По методу Лагранжа имеем:
;
;
;
.
.
;
Произведя обратную подстановку, получаем:
, откуда
.
29
2
1 ln x
x C .
y2
2
xy 4y x y.
x y .
1 dy 4
y x.
dx x
y
1
z y; z y ; y 2 yz ;
2y
1 4 dz 2z x
2 yz z x; ;
x dx x 2
y
dz 2z dz 2z dz 2dx
0; ; ;
dx x dx x z x
2
1
dz dx
2 C ; ln z 2ln x lnC; z Cx ;
zx
2
dz dC( x )
2xC( x ) x ;
dx dx
2
2
dC( x ) 2x C( x ) x
2xC( x ) x ;
dx x 2
2
dC( x ) 1 1
; C( x ) lnx C ;
dx 2x 2
2
2
1
z x C lnx ;
2
2
4
2
1
y x C lnx ;
2
y u x v x
v(x)
Пример. Решить уравнение
Разделим обе части уравнения на
Полагаем
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рас-
смотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное не-
однородное уравнение, с учетом того, что:
Получаем:
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
З а м е ч а н и е . Аналогично тому, как это делалось для линейных уравне-
ний, можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в виде
произведения двух функций:
где
—какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетворяющая уравне-
,
30