Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие

dx

du

1







1





Cxuln

arcsin



2



eCxe

x

0x

х

у





,0),(),

(





dyyxQdxyx

P

),(yx

P

),(yx

Q



x

t

yxz32





)(x

y

)(y

x

ux

y



xdu

udx

dy





uy

x



ydu

udy

dx





x  ;

1 u

2

du

21

u

Последнее получим при условии 01

dx



.

x

2

 ux . Интегрированием

находим

хСхС

 и обозначая ,

11



или

y



22



. Заменяя u на

).ln(arcsin Cx

Положим теперь

уравнению при произвольном у. Из второго равенств а имеем

lnlnarcsin Cxu  , 0

1

СС

C ;

получим

и

.lnarcsin

xCu  Учитывая, что

1

, где

ln

y

, получим общий интеграл

2

01

 u

. Но

не удовлетворяет

2

у

,

01



2

. Проверка показывает, что эти функции являются решениями уравнения.

3. Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка в

симметрической форме имеет вид

(2.18)

где

и

- однородные функции, одной и той же степени

Cx

однородности:

n

 , ),(),( yxQttytxQ

),(),( yxPttytxP

n

 . (2.19)

Если в определении однородных функций в качестве параметра взять

1



, то получим более наглядные соотношения:

y

~





n



),( ,

PxyxP





x







),( . (2.20)

y

~





n

QxyxQ





x





Число n в равенствах (2.19) или (2.20) называется степенью (или

порядком) однородности.

Например, функция

22

43 yxyxz  - однородная функция 2-ой степени однородности.

- однородная 1-го порядка,

Симметрическая форма дифференциального уравнения имеет то преимущество перед уравнением вида (2.1), что в качестве искомой функции можно выбирать либо

, либо

, в зависимости от удобства.

Однородное дифференциальное уравнение (2.18)-(2.19) сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

,

, (2.21)

или подстановкой

,

20

. (2.22)

Построим общий интеграл однородного уравнения, записанного в

0))(,(),

(



xdu

udx

uxxQdxuxxP

ux

y











x

Ce

x

0



0





симметрической форме. Сделаем замену искомой функции yпо формуле (2.21). Будем иметь

.

Поскольку

то, подставляя



, имеем

n

PxyxP

 

;

,1),(



x



nn

n



y





y





QxyxQ

 

,

,1),(



x



0))(,1(),1(  xduudxuQxdxuPx

или

duuxQdxuuQuP

 



x



Уравнение (2.23) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем:

),1(

dx







x



 





.0

x

duuQ





uuQuP

),1(),1(

uuQuP



 



Интегрируя (2.25), находим:

),1(

ln



x



duuQ



),1(),1(

uuQuP

CC

11

.0,ln



)23.2(,0),1(),1(),1(

)24.2(.0

)25.2(,0

)26.2(,0),1(),1(

Отсюда получим общее решение уравнения (2.25), выражающее x как функцию от u:

Введя обозначение

y

и заменяя

u 

, получим общий интеграл уравнения (2.18) в виде:

Разделяя переменные в уравнении (2.23) мы потеряли решения вида

uu

, где

u - корень уравнения (2.26). Подставляя эти значения в формулу

(2.21) найдем, что

Cx 









)(



u





exp



),1(

duuQ









 

 

),1(),1(

uuQuP



),1(

duuQ

uuQuP

y

 

x



. (2.27)

0

xxuy (2.28)

,

),1(),1(

21

).(,

CC

1

являются решениями однородного уравнения, соответствующие интегральные

OY

)0(

0





y

x

dx

xu

y



,0)(cos)cos

(





udx

xdu

uxdxuxu

x



kx

y



)0(x

)(k



кривые – полупрямые, примыкающие к началу координат. Эти решения могут входить в совокупность, определяемую общим интегралом уравнения, но могут быть и особыми решениями. Особыми решениями могут быть также полуоси оси

:

. Других особых решений это уравнение иметь

не может.

Пример. Найти решения дифференциального уравнения

y



 dy

yx

 

 

x



y

xdx

x

.0coscos 

Решение. Это уравнение является однородным, т.к. коэффициентами при

и dy являются функции одной степени однородности:

y



;coscos



x



y



.coscos



x



Введем замену

tytx

ty

tx

ty

tx





yxt

 





xt

 

. Имеем

или

dx

.0cos  udu

Интегрируя, получим: .sinln Cux  Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид:

y

x 

.sinln C

4. Рассмотрим геометрическое свойство интегральных кривых

однородного уравнения.

Поле направлений, определяемое однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, а следовательно, и интегральные кривые этого уравнения обладают одним интересным свойством. Запишем однородное уравнение в виде

y





,





x





и отметим, что функция )( xy





y



сохраняет постоянное значение во всех точках любой полупрямой конечно, функция

, выходящей из начала координат, если,

существует при данном значении k. Поэтому все такие

лучи являются изоклинами уравнения (2.13).

Выберем какую-нибудь интегральную кривую, не совпадающую с такими лучами. Если увеличить или уменьшить радиусы-векторы во всех точках интегральной кривой в одно и то же число раз, то получим кривую, у которой направление касательных во всех точках будет таким же, что и в соответствующих точках взятой первоначально интегральной кривой. Поэтому

22

полученные таким образом линии будут также являться интегральными

),(yx

),(YX

.,kyYkx

X



Ce

x

)0,0(



k

)0,0(

OX

XOY







ОТМ

OM

TO



кривыми уравнения.

Указанное преобразование радиусов-векторов называется преобразованием подобия с центром подобия в начале координат. Оно означает замену текущих координат

линии текущими координатами

новой линии по формулам

(2.29)

Таким образом, однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка обладает следующим свойством: всякая кривая, полученная из интегральной

кривой однородного уравнения преобразованием подобия с центром подобия в начале координат, тоже является интегральной кривой.

Верно и обратное утверждение: все интегральные кривые, входящие в общий интеграл

y













x







,

и не являющиеся лучами, выходящими из начала координат, могут быть получены при помощи преобразования подобия (2.29) из одной такой

интегральной кривой.

Из приведенного свойства интегральных кривых однородного уравнения следует:

1) если интегральная кривая, отличная от луча, выходящего из точки

и, следовательно, заключенная на некотором интервале изменения x

между двумя полупрямыми )2,1(

kxuy

, примыкает к точке

, то и все

интегральные кривые, заключенные между этими лучами, примыкают к точке

;

2) если некоторая линия является интегральной кривой, то и

симметричная относительно

линия является интегральной кривой;

3) если одна из интегральных кривых замкнута, то и все интегральные

кривые замкнуты.

5. Рассмотрим физическую задачу, приводящую к однородному дифференциальному уравнению: найти форму зеркала, собирающего параллельные лучи в одну точку.

Выберем за ось

прямую, параллельную лучам, за начало координат – точку пересечения всех лучей после отражения и проведем сечение поверхности зеркала плоскостью

. На этой плоскости будем искать

кривую, обладающую указанным свойством (рис. 5).

Из геометрической оптики известно, что для идеальной зеркальной

поверхности (что мы и предполагаем) углы падения и отражения равны: Поэтому треугольник

равнобедренный, следовательно

. Если

.

23

точка M имеет координаты

yx,

T





YX,

0Y, OTX





LM

TM

LM

TM

OM

TO



),(ydu

udy

dxuyx



1

u

, то

находится из уравнения касательной

22

yxOM  . Координата точки

)( xXyyY

,

где

- текущие координаты. Полагая

Рис. 5.

y

 M L

y   x

T 0 P x

- луч света, падающий на кривую L и попадающий после отражения в точку O ; лучом

MO и касательной к зеркалу

и касательной

Следовательно, .x

TO 

 Подставляя найденные величины в равенство

, получим:

x

)( xOTyy

,

xOT  .

y

- касательная к кривой в точке M;  - угол между ;  - угол между отраженным от зеркала лучом

y



y

, получаем дифференциальное уравнение – математическую модель

задачи:

Запишем это уравнение в симметрической форме:

Легко видеть, что полученное уравнение является однородным. Применив

подстановку переменными:

Разделяем переменные и интегрируем. Получим:

du

2

y



y

22

yxx



.

22

.0)(

 dyyxxydx (2.30)

получаем уравнение с разделяющимися

2

,0)1()(

 dyuuyyduudyy

.012 dyuydu

dy





y

,

C



1

2

;

0,lnln1ln

 CCyuu

24

2

u

C

OX

x

.0)()

(





dyxydxy

x

0,0



y

x

0,0



y

x

. (2.31)

Cyuu  1

Для того чтобы разрешить последнее равенство относительно

воспользуемся элементарным приемом:

2

1

2

uu



1

,



Cy

1

uu



22

uuuu



1

.



Cy

)1)(1(

Откуда

1

uu

12 . (2.32)

Cy

Складывая (2.31) и (2.32), находим:

2

Cyu

Cy

1

2222

;12;12;

 yCCxyCCuy

2

y 

C

12

x

.

2

1

Обозначив p



, получим окончательно уравнение линии:

p

2



2

xpy (2.33)

 



.





2



Таким образом, решением уравнения (2.30) служит парабола (2.33), ось

симметрии которой – ось

, а фокус лежит в начале координат. Ось искомой параболы параллельна пучку световых лучей, а фокус параболы лежит в оптическом фокусе.

Вращая эту параболу вокруг оси

, найдем искомую зеркальную

поверхность – параболоид вращения.

Очевидно, что если источник света поместить в фокусе параболы, то

световые лучи после отражения пойдут параллельным пучком.

Задачи для самостоятельного решения

1.

2



y





2

yx

eyxy

. Ответ: cxe

yx

 ln .

,

22

yxy



2.

y



3.

y



4.

y 

x

если

5. .02

6. .0)(

22

2



. Ответ: xyxyCxsigx

Ответ:



. Ответ: ,1 Cx

 





y



 или ,Cxy 



x



arctg  .



; ,Cxy  если



 yxyyx Ответ: .02



 dyyxxdxy Ответ: .

25

y

xy

Cey 

ln yxC

22

 ,,lnarcsin .

22

.

 yCxx

7. .)(

x

2

1



2

1



2

1



dx

1

2



dx

2

1



ux

y



)uyx



2

1

 Ответ:



2222

yxyyxxyxyx 

1

arcsinln

y

xC 

22

.

yx

8. .0)2(  ydxdyxxy Ответ:

x

y

.ln Cy



2.3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящие к однородному

Интегрируемыми в квадратурах будут приводящиеся к однородным (либо непосредственно к уравнениям с разделяющимися переменными) уравнения вида:

dy

dx

 



f

 





cybxa

111



. (2.34)





cybxa



222

1. Уравнение (2.34) будет являться уравнением с разделяющимися

переменными в следующих случаях:

1) 0

2) 0

aa ,

bb ,

dy

dx

 

f



 



cyb



11

cyb



22

~







);(

yf

1



3) 0

ba и

dy

dx

u





f 





v





 

f



 

cxa



11

cxa



22

,

)()(

vfuf

21

dy

u



4) 0

ba и



f 





v





,

)()(

vfuf

21

dy

2. Уравнение (2.34) будет являться однородным, если 0

dy

dx

 



f

 



ybxa

11



ybxa

22

Обратившись к результатам п. 2.2 видим, что подстановка

приводит уравнение (2.35) к уравнению с разделяющимися

переменными.

3. Рассмотрим общий случай приведения уравнения (2.34) к однородному

уравнению. Пусть хотя бы одно из чисел



~





 

);(

xf

2

cxafcybf



cybfcxaf

 .

);()(

222111

)()(

222111

cc :



. (2.35)



 

(или

, cc отлично от нуля и не равен

нулю определитель

26

ba







X

x







Y

y





,

YX,

yx,

0

212

2

1



2

1





1

2





dxdzdx

0),(),(





dyyxQdxyx

P

11

ba

22

. (2.36)

0



Выполним линейную замену обеих переменных

,

. (2.37)

Тогда уравнение (2.34) примет вид:

dY

dX

 



f

 







cbaYbXa

11111

(2.38)



.





cbaYbXa

22222



Чтобы преобразовать уравнение (2.38) в однородное потребуем, чтобы свободные члены в числителе и знаменателе аргумента функции, стоящей в правой части уравнения, обращались в нуль:



cba





 



,0

111

cba

222

(2.39)



.0

Неоднородная система линейных уравнений (2.39), при условии (2.36),

однозначно определяет неизвестные параметры переменных

получаем однородное дифференциальное уравнение 1-го

. Таким образом, в новых

порядка:

dY

dX

 



f

 

 

Интегрируя уравнение (2.40) и возвращаясь к переменным



YbXa

11



(2.40)

.



YbXa

22



по

формулам (2.37), получим общий интеграл уравнения (2.34).

4. Остановимся теперь на случае, когда условие (2.36) не выполняется.

Если определитель

, элементы его строк пропорциональны:

a

b

1

,

k



b

поэтому

kaa

,

kbb

. Применяя подстановку zybxa

, получаем:

dy

,

kzybxa

ba 

11

.

Таким образом, приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

dz

dx

 

fb



1

 



cz



1



ckz





2

.

a



1

5. Имеется еще один тип дифференциального уравнения 1-го порядка, приводимое к уравнению с разделяющимися переменными – обобщенное однородное уравнение. Это уравнение вида

,

где коэффициентные функции удовлетворяют условиям:



 





mk



),,(),(

yxPtyttxP



1



kmk

).,(),(

yxQtyttxQ

27

Не останавливаясь на методе интегрирования таких уравнений, отсылаем







X

x







Y

y







3xX

1





y

Y

uX

Y



).2exp(

arctgu

C

uX





yx,









),(yx

f

читателей к пособию (А.М. Самойленко [7]).



Пример. Решить уравнение





2



y

 

Решение. Выполним замену переменных

нахождения  и  получаем систему

y



yx



.



2



,

. Для

2



1



01



.2



. Уравнение для новых переменных

Получаем

  

,

является однородным дифференциальным уравнением вида

2

Y

2



.

2

)(

YX

du

X



dX

2



uu



2

)1(



u

Положим

X

dX

, тогда

du

dY



dX

2

u

 , .0

2

)1(2u



Отсюда получаем

CXarctguu lnln2ln  ,

Возвращаясь к переменным

, имеем:



2exp1



arctgCy

 

1



y



,



3



x



или

1

y





2exp)1( C



arctgy 

 



.



3

x





2.4. Линейное уравнение

1. Введем понятие линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Уравнение вида

)()( xqyxpy

(2.41)

называется линейным. Оно содержит искомую функцию y и ее производную

y

в первой степени. Если разрешить это уравнение относительно производной,

то получим уравнение

).()( xqyxpy

Полученное уравнение является уравнением вида (2.1), в котором

функция

линейна по y, с коэффициентами, вообще говоря, зависящими

от x. В частном случае p и q могут быть постоянными величинами.

28

Всюду далее будем предполагать, что функции

)(x

p

)(x

q

),(ba





ba,

)(x

q

),(ba

x









0)(x

q

1

0



0



)(x

q

),(ba

0

),(ba

x



0

)(x

p

)(x

q

)(xyy



0



0



0

),(ba

0

,



ybx

a

XOY

),(ba

OX

0y )(bxa



OX

0)(





ydxxp

dy

и

непрерывны

во всем интервале

Если в уравнении (2.41) функция

(

).

тождественно равна нулю при всех

, то уравнение примет вид

0)(

yxpy (2.42)

и называется однородным. Его левая часть является однородной линейной функцией от y и y. Уравнение (2.41), в котором

называется

неоднородным линейным уравнением.

Более общее уравнение

в котором 1)(

xp , также называется линейным. Если )(0xp , )(1xp ,

непрерывны в интервале

, то уравнение (2.43), делением обеих частей на )(

)()()(

, причем )(

xp не обращается в нуль при всех

xqyxpyxp

, (2.43)

xp , приводится к

виду (2.41).

2. Из сформулированной в п. 1 теоремы Пикара о достаточном условии существования и единственности решения задачи Коши, вытекает, что в предположении непрерывности функций

и

уравнение (2.41) имеет

единственное решение при

xx

, где в качестве

, удовлетворяющее начальному условию

x можно брать любое число из интервала

yy

, а

y можно выбирать произвольно.

Это означает, что через любую точку )(

yxM полосы

0,00

проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (2.41).

Отсюда следует, что вся указанная полоса на плоскости

заполнена непересекающимися гладкими интегральными кривыми линейного уравнения. При этом каждая интегральная кривая определена во всем интервале

и

представляет собой график частного решения (рис. 6). Интегральные кривые однородного уравнения (2.42) не могут пересекать ось поскольку

пересечение интегральной кривой оси

является решением уравнения (2.42), то

означало бы нарушение

. Действительно,

единственности решения уравнения (через точку пересечения проходили бы две интегральные кривые).

3. Рассмотрим построения общего решения однородного уравнения, соответствующего неоднородному линейному уравнению. Записав уравнение (2.42) в симметрическом виде

,

получаем уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

29