Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
подставим (6.6) в уравнение (6.2) учитывая равенство
030
0
0
0
020
0
0000201
0
0
0
0
0)0
(
O
1
0
4
4
4
4
1
1
4
(6.5)
где
a и
3
10
1
32
0
22
1
2
1
0
2
))((3))()((
OuuuOuu
32
Получим
0)()(
Полагая в (6.6)
12010200
имеем уравнение для первого члена разложения
0
uu
. (6.8)
23
Ouuuuu
Его решение, как известно, имеет вид
)cos(sincos)(
aCCu , (6.9)
– произвольные постоянные.
Учитывая (6.8), уравнение (6.7) принимает форму
23
0)()(
Разделим на , а затем положим
Ouuu
01201
. Учтя, что )()(
.
2
1
. (6.7)
2
).(3))()(())((3
OuuuOuOuu
21
OO
и что
, получим уравнения для функции
0
u
3
uuu
. (6.10)
01201
Отметим, что и уравнение (6.7) и уравнение (6.10) можно получить из
(6.7), если приравнять нулю коэффициенты при последовательных степенях .
Подставим в уравнение (6.10) )(
u в виде (6.9) и принимая во
внимание элементарное равенство
cos
3
1
3
3cos
,cos
перепишем (6.10) в виде
3
1201
3
0
1
)cos(
00
3
0
aauu
)33cos(
. (6.11)
00
Решения соответствующего уравнению (6.11) однородного уравнения
имеет вид
где
a и
),cos(
одн
– произвольные постоянные.
au
(6.12)
101)(1
В силу линейности уравнения (6.11) частное решение этого
неоднородного уравнения можно записать в виде суммы двух частных
решений, соответствующих каждому из слагаемых в правой части
3
)cos(
1201
3
0
160
auu
, (6.13)
00
4
1
000
0
1
0
0
0
0
10100
0
0
0
101
0
0
...
)33cos(
1201
3
0
auu
. (6.14)
00
Оба этих уравнения имеют правую часть специального вида. Поэтому
частные решения моделируются, а затем применяется метод неопределенных
коэффициентов как это показано в курсе дифференциальных уравнений. Для
уравнения (6.13) корни характеристического уравнения равны
i , поэтому
0
частное решение записывается в виде
)1(
))sin()cos((
BAu .
Подставляя в уравнение (6.13) и применяя метод неопределенных
коэффициентов для отыскания А и В, получим
3
a
3
)sin(
)1(
u . (6.15)
1
0
8
00
Аналогично для уравнения (6.14) получим частное решение в виде
3
a
0
2
)19(4
)33cos(
00
)2(
u . (6.16)
1
Складывая общее решение однородного уравнения (6.12) и частные
решения (6.15) и (6.16) получим общее решение уравнения (6.11) в виде
3
0
2
19
).33cos(
00
3
3
)cos()(
0011
0
8
0
1
)sin(
aaau (6.17)
00
4
Подставляя
u и 1u из (6.9) и (6.17) в разложении (6.6) для общего
решения уравнения (6.3) получаем следующее разложение первого порядка
где
(1u , ) =
3
a
0
2
19
3
a
3
)sin(
aa – произвольные постоянные. Хотя мы получили четыре
0
8
,,,
1
+ )33cos(
00
4
aa
00
)cos(()cos(
)+… , (6.18)
постоянных, но оказывается, что они связаны между собой и для их
нахождения вполне достаточно двух начальных условий. Действительно,
подставляя разложение (6.18) в условия (6.4), получаем
3
sin
a
0
2
19
3
0
4
3
a
0
0
2
9
0
...)3cos
0
.
)3sin
0
1
cos(cos
1
aau .
sin(sin
001
0
aau
01
11000
4
3
a
3
1
0
8
0
Приравнивая члены при одинаковых степенях в левой и правой частях
161
этих равенств, получим
)
0
0
02120
120
0
120
120
0
0
12101
020
110
0
030
Введя оба равенства (6.19) в квадрат и складывая, имеем
Из этих же равенств можно найти и параметр
Возведя в квадрат равенства (6.20) и сложив их, получим
а также
,sin;cos
a
=
.
01
a
sin
au
1
cos
1
3
a
0
a
1
4
2
3cos
2
0
000
1
3
8
2
auu ,
u
1
uu
0
9
)19(
0
a
1
a
3sin
0
3
0
2
19
aa
3
0
4
9
arccosarcsin
0
2
0
u
1
4
3
0
sin
0
2/1
2
2
2
(6.19
0
,3cos
0
3
0
0
2
2
0
)( uua .
3sin
. (6.20)
1
212
:
0
u
3sin
2
0
0
0
2/1
2
uu
1
2
0
,
19
0
.
)1
a
1
u и 1u .
1
arccos
cos
a
0
2
(4
9
0
Таким образом, все постоянные выражены через две заданные
Преобразуем выражение для решения уравнения Дюффинга, сложив два
первых члена в (6.18). Используя известную тригонометрическую формулу,
имеем
a
0
0
0
a
1
0
a
1
0
),cos()cos()cos(
где
212
sinsin
a
tg
0
0
a
0
aa
1
1
coscos
0
О
).(,
),(,))cos(2(
oaaaaaaa
Подставляя полученные выражения для амплитуды а и фазы , и
отбрасывая члены высшего порядка малости по , получим решение
уравнения Дюффинга в виде
,...))33cos()sin(()cos(),(
BAaau (6.21)
162
где обозначено
0
0
030
)1(
O
t
)
sin(
t
n
2
1
21n
n
2
1
m
12
n
21n
k
21n
3
,
BA
8
0
1
.
2
(4
9
)1
Итак, из (6.21) следует, что в первом приближении искомое решение
записывается в виде )cos(
au . А первая поправка к этому решению
есть
3
)3cos()sin(
BaAa .
Поправочный член будет мал, как это заранее предполагается, только
тогда, когда
мало по сравнению с единицей. Если же величина
имеет
порядок О(1), то поправочный член, содержащий этот множитель, может
оказаться даже больше главного члена разложения. Поэтому прямое
разложение применимо только для таких времен, при которых выполняется
, т.е. для )(
O .
1
Таким образом, можно утверждать, что подобные разложения являются
неравномерными по t, т.к. при больших временах они становятся
непригодными. Члены вида
называют вековыми или секулярными
членами – термин, возникший в астрономии при описании движения планет.
7. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
7.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения.
Типы уравнений первого порядка
Соотношение, связывающее независимые переменные
xxx ,...,,
,
изменяющиеся в некоторой области D n-мерного пространства, функцию
),...,,(
xxxu и ее частные производные по переменным
xxx ,...,,
до
порядка m включительно, называется уравнением с частными производными
- го порядка.
Уравнение в частных производных первого порядка имеет следующий
вид
где Ф - известная функция
u
21
uxxxФ , (7.1)
n
x
1
аргументов, заданная в некоторой области,
u
0,...,,,,...,,
x
n
u
),...,,(
xxxu - искомая функция, ),...,2,1( nk
x
- частные производные от
функции u по независимым переменным. Требуется чтобы хотя бы одна из
этих производных обязательно входила в соотношение (7.1).
Решением уравнения (7.1) называется функция
),,...,,(
xxxuu
определенная и непрерывная вместе с частными производными в некоторой
163
области изменения
n
2
1
n
2
1
21n
Ф
1
n
k
u
1
nkk
1
n
1
n
1
n
n
1
u
2211n
n
2
1
1
n
xxx ,...,,
и обращающая уравнение (7.1) в этой области в
тождество. При этом предполагается, что значения
определена функция ),...,,(
xxxu , и значения, принимаемые этой функцией и
xxx ,...,,
, при которых
ее частными производными, лежат в области определения функции Ф.
В общем случае уравнение (7.1) является нелинейным уравнением с
частными производными первого порядка. Если функция
линейна
относительно всех частных производных, то уравнение называется
квазилинейным
u
).,,...,(),,...,(...),,...,(
uxxa
x
nkxxaa
11
, уравнение называется
uxxb
(7.2)
n
В том случае, когда коэффициенты
функции
u
11
uxxa
x
, т.е. ),...,1(),...,(
nnn
a в уравнении (7.2) не зависят от
полулинейным
u
xxa
11
x
xxa
Если в уравнении (7.3) правая часть линейно зависит от ),...,(
u
).,,...,(),...,(...),...,(
nnn
x
11
uxxb
(7.3)
n
xxu , то
уравнение называется линейным и имеет вид
u
xxa
11 nn
x
xxa
u
).,...,(),...,(),...,(...),...,(
xxbuxxb
nnn
x
12111
(7.4)
В том случае, когда в уравнениях (7.2)-(7.4) правые части равны нулю, то
уравнения называются однородными.
Уравнение (7.2), а также (7.3) и (7.4) можно записать в виде скалярного
произведения вектора
и градиента функции
aaA ,...,
u
uu ,...,grad
x
1
u
x
n
где - оператор Гамильтона
i
i
x
x
i
n
,....
x
iii ,...,,
- единичные ортогональные векторы.
Используя введенные обозначения, уравнение (7.2) можно записать в
виде
).,,...,(
uxxbuA
Построение решения уравнений в частных производных первого порядка
может быть проведено методами, развитыми в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, представленными в предыдущих главах
пособия. В дальнейшем ограничимся рассмотрением уравнений, содержащих
два или три независимых переменных.
164
Рассмотрим пример иллюстрирующий характер общего решения
x
x
x
,),(uvyx
z
x
v
dx
)(y
C
y
)(y
C
),(yx
z
),(yx
P
),(yx
Q
уравнения в частных производных
z
xz
.22yx
Это уравнение 1-го порядка в частных производных, не содержащее
z
производную
. Считая переменную y фиксированной, рассматриваем его
y
как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и линейное
1
z
2
.
xyz
Решение ищем в виде
где y - фиксировано. Используя метод Бернулли, получим следующую
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
du
dx
dv
.
dx
Частное решение второго уравнения системы имеет вид
2
,
xyv
v
x
. Подставив
это решение в первое уравнение, получим
du
22
),(,
yCxyuy
где
Общее решение зависит от произвольной функции
- произвольная функция переменной
)(),( yxyxCyxz .
. Таким образом, имеем
22
, т.е. содержит
еще большую степень произвола, чем в случае обыкновенного
дифференциального уравнения.
7.2. Понятие характеристики уравнения в частных производных.
Общее решение уравнений
Интегрирование квазилинейных и линейных уравнений в частных
производных первого порядка сводится к интегрированию систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим сначала
простейший случай однородных линейных уравнений вида
z
(7.5)
yxQ
,0),(),(
y
и
не обращаются в
где
z
yxP
x
- искомая функция, функции
нуль одновременно и непрерывно дифференцируемы на некотором открытом
165
множестве D пространства переменных
.,y
x
)
(x
x
)
(y
y
D
d
d
yx,
.),(Cyx
),(yx
dx
),(yx
P
),(yx
Q
),(yx
z
Ф
Ф
),(yx
Cyx),(
Пусть кривая, заданная параметрическими уравнениями
лежит в области
касательный вектор
в каждой точке кривой был коллинеарен вектору
Параметрическое уравнение этой кривой получается из системы уравнений
( - параметр). Выберем эту кривую так, чтобы ее
dy
rd
d
dx
dx
d
yxP
,
d
dy
),(),,( yxQ
. (7.6)
,
),(),,( yxQyxP .
Вместо системы уравнений (7.6) обычно записывается одно уравнение в
симметричной относительно x и y форме
dx
yxP
Система уравнений (7.6) называется характеристической системой
уравнения (7.5), интегральные кривые уравнения (7.7) (т.е. фазовые траектории
системы (7.6) на плоскости
частных производных (7.5).
Покажем, что из решения уравнения (7.7) можно получить решение
уравнения (7.5). Действительно, пусть интеграл уравнения (7.7) найден
Тогда полный дифференциал функции
) называются характеристиками уравнения в
dy
(7.7)
.
),(),( yxQ
равен нулю:
Заменив
, получим:
Сравнивая (7.5) и (7.9) видим, что
уравнения (7.5). Покажем, что функция
где
уравнения (7.5). Действительно,
где
Теорема (об общем решении уравнения 7.1). Пусть
произвольная дифференцируемая по x и y функция,
соответствующего ему дифференциального уравнения (7.5). Тогда функция
- произвольная дифференцируемая функция, является решением
P
- произвольная по аргументу
и dy в (7.8) пропорциональными им функциями
x
z
x
z
Q
y
ФP
dy
yxd
yxP
x
dx
x
ФQ
y
yxQ
y
),( yxФz
, (7.10)
y
.
. (7.8)
0),(
. (7.9)
0),(),(
является решением
PФ
Q
x
y
,0
- интеграл
),( yxФ
и
-
166
),(yxФz
является общим решением уравнения (7.1), т.е. содержит любое
),(yx
z
),(yx
),(yx
),(yx
),(yx
),(QP
C
z
C
0
ydy
xdx
OZ
),,(zyxuu
решение
Действительно, т.к. функции
(7.5), то
т.е. равенства (7.8) выполняются тождественно в любой точке области D.
Будем рассматривать уравнения (7.11) как систему однородных
уравнений относительно неизвестных P и Q с коэффициентами – частными
производными функций
решение
этого уравнения.
и
yxP
x
yxQ
y
. Следовательно, определитель этой системы равен нулю:
x
и
yxP
J
yxQ
y
. Эта система имеет ненулевое
yx
yx
удовлетворяют уравнению
,0),(),(
(7.11)
,0),(),(
.0),(
Но этот определитель является определителем Якоби функций
Поскольку якобиан функций равен нулю, то эти функции зависимы, т.е.
),(),( yxfyx
.
Это означает, что (7.10) является общим решением данного уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения
z
y
x
Решение. Это уравнение является линейным однородным уравнением
типа (7.5). Как и уравнение (7.5) оно имеет очевидное решение
- постоянная. Найдем неочевидное решение. Составим уравнение
характеристик
dx
Находим его интеграл
Общее решение уравнения
dy
или
y
,
x
z
x
y
.0
.22Cyx
22
)(
yxФz
.
и
, где
.
представляет собой семейство поверхностей вращения с осью
2. Рассмотрим линейное однородное уравнение для функции трех
переменных
167
.
u
RQP,,
1
1
2
2
1
2
2
1
zdzx
z
z
),(yxzz
zyxP
x
u
zyxQ
y
u
(7.12)
zyxR
,0),,(),,(),,(
z
где функции
одновременно не обращается в нуль. Запишем
соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений в
симметрической форме, определяющую характеристики уравнения (7.12):
dx
dy
zyxP
zyxQ
dz
(7.13)
.
),,(),,(),,( zyxR
Решение этой системы двух уравнений представляется двумя
независимыми интегралами
Тогда функции ),,(
),,( Czyx
zyxu
и ),,(
, .),,(
Czyx
(7.14)
zyxu
являются решениями уравнения
(7.12).
Общим решением уравнения (7.12) является произвольная
дифференцируемая функция двух переменных
),,(),,,(
zyxzyxФu
. (7.15)
Пример. Найти общее решение уравнения
u
x
x
u
y
y
u
z
.0
z
Решение. Составим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx
x
dy
y
dz
или ,
,
z
dx
dy
y
dz
.
z
Интегрируя эти уравнения, получим
x
, C
C
y
.
21
Общее решение заданного дифференциального уравнения в частных
производных
y
x
Фu ,
z
z
представляет собой совокупность всех однородных дифференцируемых
функций трех переменных нулевой степени однородности.
3. Рассмотрим построение решения неоднородного квазилинейного
уравнения
z
zyxP
x
z
(7.16)
zyxQ
y
).,,(),,(),,( zyxR
Покажем, что интегрирование таких уравнений можно свести к решению
линейных однородных уравнений вида (7.12).
Пусть функция
является решением уравнения (7.16),
168
0),,(zyx
V
- какое либо алгебраическое уравнение, решением которого
),(yxzz
),,(zyx
V
z
z
z
z
),,(zyx
V
2
1
1
1
2
2
ba,
1dzbdya
.,bzdyadz
dx
2
1
0),
(
bzyazxФ
2
1
является функция
. Относительно функции
предполагается,
V
что 0
. Используя правило дифференцирования неявно заданной функции,
получим
V
z
x
Подставляя эти выражения в уравнение (7.16) и умножив обе части на
x
,
V
z
y
V
y
.
V
V
, имеем
V
zyxP
Выше было показано, что функция
однородного уравнения (7.17), определяется выражением
x
V
zyxQ
y
V
(7.17)
zyxR
- решение линейного
),,(),,,(
zyxzyxФV
, (7.18)
.0),,(),,(),,(
z
где (7.18) – общий интеграл уравнения (7.16),
),,( Czyx
- независимые решения системы
dx
,
dy
),,( Czyx
dz
zyxP
Рассмотрим примеры нахождения общих решений линейных и
квазилинейных неоднородных уравнений.
Пример. Найти общее решение линейного уравнения
z
a
x
где
- постоянные.
Решение. Составим уравнения характеристик
zyxQ
z
,
b
1
y
dx
или
Интегрируя, получим
Общее решение уравнения в частных производных
, CbzyCazx
.
,
.
),,(),,(),,( zyxR
представляет уравнение цилиндрических поверхностей с направлением
образующих заданным вектором
Образующие этих цилиндрических поверхностей – прямые, уравнения
которых
1,,ba .
, CbzyCazx
169
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]