Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
являются характеристиками данного уравнения.
Пример. Найти общее решение неоднородного уравнения с
переменными коэффициентами
xy
z
.
axz
y
z
2
y
x
Решение. Составим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для характеристик данного уравнения
dx
y
dy
2
xy
dz
.
axz
Выделим два уравнения
dx
y
dy
2
xy
dy
,
xy
dz
.
axz
Преобразуя, получим
ydyxdx
dy
dz
.,0
az
y
Проинтегрировав, находим интегралы системы (уравнения
характеристик)
1
a
22
1
yCyx
z
или
C
2
.,
22
Cyx
z
ay
C
.,
21
Таким образом, общий интеграл заданного уравнения имеет вид
yxФ
z
22
ay
.0,
Отсюда получим
a
22
)(
yxfyz
,
где f - произвольная дифференцируемая функция.
Задачи для самостоятельного решения
Найти общее решение уравнений
1.
2.
yx
zx
z
3.
xy
x
x
z
4.
x
y
x
z
x
u
x
z
z
)(
y
z
y
1
xyy
,0)2(
y
u
zy
y
0,
,2yz
u
z
z
22
yxФ .
0
,
y
,
Ф или
x
1
z
2
xy
,02)()(
z
x
2
yxyfz .
fu
yx
,
z
z
2
z
y
zyx
)2(
.
1
.
xyx
2
170
7.3. Задача Коши для уравнений с частными производными первого
0),,(zyx
Ф
2
1
0
0
kyzx
,
1
1x
ky
z
Cyxlnln
ln
C
xy
1x
kyyФ)
(
kxy
z
порядка. Решение задачи Коши
Из предыдущего материала следует, что как и в случае обыкновенных
дифференциальных уравнений, уравнения с частными производными первого
порядка имеют бесконечное множество решений, поскольку в общем решении
присутствует произвольная функция. Ввиду большой степени произвола в
общем решении в приложениях дифференциальных уравнений по
преимуществу интересуются не общими, а частными решениями,
удовлетворяющими некоторым начальным данным, однозначно выделяющим
решение из бесконечной совокупности.
Задачу Коши рассмотрим для случая, когда заданная дифференциальным
уравнением искомая функция, зависит только от двух переменных
z
zyxF
x
z
.0,,,,
y
Общим интегралом этого уравнения является семейство функций
(Ф - произвольная дифференцируемая функция).
Задача Коши состоит в требовании отыскания в этом семействе
поверхности, которая проходит через заданную кривую, определяемую
уравнениями
zyxfzyxf
,0),,(,0),,(
т.е. через кривую, являющуюся линией пересечения этих двух поверхностей.
Это требование и является заданием начальных условий Коши. В частности,
начальные условия Коши можно задать в виде требования, чтобы искомая
поверхность содержала заданную плоскую кривую
)(,
yzxx
.
Пример. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
z
x
x
z
y
0
y
и условию
прямую
).
(т.е. в сечении плоскостью
Решение. Составим уравнение характеристик
dx
Общее решение уравнения )( yxФz
dy
x
,
y
,
. При
Решение, удовлетворяющее начальному условию
параболоид.
171
эта поверхность дает
.
получаем
- гиперболический
.
Задачи для самостоятельного решения
xz2
.
1y
xyz2
1x
.0
x
czb
czb
x
x
Найти решения уравнений, удовлетворяющее условиям
1.
z
x
x
z
y
,0
y
при
Ответ:
.
xy
y
z
y
,02
y
z
,02
y
2
yz при
2
yz при
. Ответ:
eyz .
Ответ: .lnln
222 x
z
,0
y
2
y
2
2
2
2
2
222222222
xcbzxbyca .
2
2
222222222
xcbzxbyca .
2.
x
x
z
z
3.
y
x
z
4.
а) 1,
x
y
x
ax (т.е. поверхность проходит через эллипс).
Ответ: 0
б) 1,
ax (т.е. поверхность проходит через гиперболоид).
Ответ: 0
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача № 1
Найти общее решение уравнения
1.
2 xyyxy
2
2
4
2.
2
( yyxxy
)
2
2222
yzxyxy
3. 0
5. 0
7.
2
2
2
22
4
2
2
yxyx 4.
2
yxyyx 6. 0
2
32
yxyyx
8. 02
9. xyyxy ' 10.
11. yyxyx
13.
y
32 12.
y
x
14. yyxyx
x
y
22
172
2
22
' yxyxy
y
x
ey
y
xtgyyx
yxxyy
yxyyx
2
44
22
y
'
22
15.
x
0
0
x
1)1
(y
x
1
1)0
(y
x
sin
3
0)0
(y
1)0
(y
2)1
(y
x
2
0)1
(y
22
yxyx
5
y
2
xyx
6
16. 10103
y
2
y
2
y
x
17. 0)
2
2
2(
2
yxxyyxy 18.
19. xyyxy ' 20.
yx
21.
23. 0)
25.
y
2
y
2
22. yyxyx
yx
2
2
2(
yxyx
2
xyx
2
2
yxxyyxy 24.
22
' yxyxy
y
24
yx
yx
xeyyx
xy
22
22
Задача № 2
Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному
условию
1. 1
y ,
)( yxy
21
x
y
2
.
xy
2. x
y
2
3.
4.
5.
6.
7. x
8. xyyyx ln2
9. 32
y sin
2
3
xyy
ctg
2
yxy
2
xyyyx
,
2
xyyy
,
y
2
xyyx ,
,
3
y
, 1
32
)1(
xx
,
,
,
.
y .
2
.
.
.
1
)( y .
1
)1( y .
.
10.
22 yxxyy
33
, 2)0( y .
173
11. xxxyy sin2ctg
x
2
2
x
3)0
(y
x
1)1
(y
1)0
(y
2
x
3)1
(y
xxx
1)1
(y
x
1
0)1
(y
1
x
2
x
1)1
(y
x
6
3
3)0
(y
x
, 0
y .
2
y
12. xx
y 2
y
13. x
y sin
14. xxyy 2sincos
y
15. ,
y
x
16. )14(4
17.
18.
19.
x
y
y
y
2
3
x
exyy ,
44 xxyy
y
2
ln
2
,
,
,
x
3
,
21
,
x
,
3
)1( y .
1
)( y .
.
.
.
1
)0( y .
.
.
20. x
yx 3
,
.
y
2
2
21.
y ,
y
3
)1(
x
1
)0( y .
y
22.
y
x
2
23.
24.
25.
y
y
2
,
2
3
xy
,
xy
2
x
xxyy
x
2
)1(2
3
,
,
.
5
)1( y .
2
)0( y .
.
Задача № 3
Найти общее решение дифференциального уравнения
1. yxyx
2
)21(
2. 0
yyy
2
)(
y
3. )1( yyyy
4. 0
y
174
1
x
x
1
sin
x
5. xyxy
7. xy
y 2
x
2
2
3
sinctg2
6. )1(
y
y
xx
8. 1tg
yxy
2
9.
11. yyy
2)(1 12.
13. 1
15. yxxy
( 16. 02
yxyx 14. xxyy 2sintg
2
17. xyy
2
19.
21. 0
y
1
y
)(5)1( yyy
10.
23
2)1
18. yyyyy
2
y
2
xyyx 22.
20. 0
0)(
2
)(
yyy
tg
)(
yyx
x
y
y
2
23.
25. 1ln
)(32 yyy
24. xctgxyy sin
xyx
Задача № 4
Найти общее решение дифференциального уравнения
1. xxxyy 2sin2cos9
2
)(12 yyy
32
122 xyxyx
22
1
x
2.
3.
2
(96
4
exyyy
)1
x
8
exyyy
)32(6416
4. xxyyy cos3sin103
23
5. )(23
6.
7. )1
8.
9018
9. xxxyy 2sin32cos4
10. )3sin3(cos
534 xx
11. xxyy 3sin33cos2
x
eyyy
(2110
eyyy
xxeyyy
2
exyyy
)1420(34
2
9
x
(
x
2
2
x
x
)23
x
7
exxyyy
175
12.
2
13. )cos3sin2(2 xx
14. x
x
eyy
136
x
exyy
)13(4
x
2
eyyy cos
15.
16. )43(23 x
17. )32
eyy
18. xyyy 3cos252
19. )cos3sin5(84 xx
20.
21.
22.
103
23. xxyy cos1152
24. x
44
25. xyy 2cos74
x
(2
xyy 2sin6
x
eyyy
2
x
eyyy
x
eyyy
xeyyy
x
2
eyyy 3sin
xx
x
cos454
x
2
)712(65
x
2
exyyy
Задача № 5
Методом исключения найти общее решение системы дифференциальных
уравнений
1.
3.
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
,38
yx
2.
.2
yx
,32
yx
4.
.45
yx
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
yx
.3,3yx
,2
yx
.63
yx
176
5.
dx
dt
dy
dt
,45
yx
6.
.54
yx
dx
dt
dy
dt
,2
yx
.34
yx
7.
9.
11.
13.
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
yx
8.
.,4yx
,4
yx
10.
.32
yx
,2
yx
12.
.43
yx
yx
14.
.,8yx
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
,23
yx
.82
yx
,37
yx
.5
yx
,
yx
.4
yx
,32
yx
.
x
15.
17.
19.
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
,
yx
16.
.44
yx
,6
yx
18.
.23
yx
,2
yx
20.
.43
yx
177
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
,2
yx
.23
yx
,2
yx
.36
yx
,24
yx
.64
yx
21.
dx
dt
dy
dt
,45
yx
22.
.54
yx
dx
dt
dy
dt
yx
.,8yx
23.
25.
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
,4
yx
24.
.32
yx
,2
yx
.63
yx
dx
dt
dy
dt
,23
yx
.82
yx
178
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шипачев В. С. Высшая математика / В. С. Шипачев. М.: Наука,
2000.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление /
Н. С. Пискунов. М.: Наука, 1978. Т. 1.
3. Бугров Я. С. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции
комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. М.: Наука,
1989. 448 с.
4. Карташев А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и
основы вариационного исчисления / А. П. Карташев, Б. А. Рождественский. –
М.: Наука , 1976. 256 с.
5. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – М.: Наука , 1969. 424 с.
6. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова - М.: Высш. шк., 1986. Ч. 2. –
415 c.
7. Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии /
Г. Ю. Резниченко. – М.: Институт компьютерных исследований, 2003. 184 с.
8. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи /
А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – Киев: Вища школа,
1984. 408 с.
9. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ. – М.: Мир, 1984.
535 с.
10. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике / Цзун-дао Ли. – М.:
Мир, 1965. 296 с.
11. Вержбицкий В. М. Численные методы / В. М. Вержбцкий. – М.:
Высш. шк., 2001. 382 с.
12. Амосов А. А. Вычислительные методы для инженеров / А. А. Амосов,
Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова – М: Высш. шк., 1994. 544 с.
179
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]