Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
ln
,
0
xvdx
u
,
0
x
xdxv
y
0C
x
xxu
x
1
ln
Cx
x
xxu
1
ln
Cx
x
0y
C
OY
BM
OA
M
yx,
M
y
BM
OB
YX,
v
vuvu
x
vu
x
22
.
x
Накладываем условие равенства нулю второго слагаемого в левой части
уравнения. Получаем совокупность связанных дифференциальных уравнений:
v
vu
x
,0
22
vuvu
(*)
ln
x
.
x
Решаем первое уравнение. Имеем:
dv
,
dv
1
,lnln,
vxv
1
,
где в качестве решения уравнения с разделяющимися переменными взяли
частное решение при
(см. п. 2.4). Подставляя во второе уравнение
совокупности (*) xv 1, получаем:
du
ln1
u
x
du
2
,
dx
x
x
ln
dx
,
u
ln1
x
.
dx
2222
Интеграл в правой части равенства вычисляем методом интегрирования
по частям
.VdUUVUdV
Имеем:
dx
x
VdxxdV
1
x
x
dx
x
2
x
1ln1
,
uC
1lnln
x
C
xx
x
.
2
ln
xdxx
Таким образом, имеем
,ln
dUxU
2
,
Общее решение уравнения имеет вид:
C
y
1
).,(,
К нему следует присовокупить частное решение
формально можно получить из общего решения при
.
4. Рассмотрим задачу о построении линии по ее геометрическим
свойствам, сводящуюся к дифференциальному уравнению Бернулли.
Найти линии, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси
равен квадрату ординаты точки касания.
По условию задачи (см. рис. 7)
через
, где
- произвольная точка искомой линии. Тогда
. Обозначим координаты точки
2
.
, которое
,
.
Отрезок
найдем из уравнения касательной )( xXyyY
40
, где
-
координаты текущей точки касательной с угловым коэффициентом, равным .y
,
0X
xyx
2v
x
x
x
x
x
x
x
C
xCC
x
0C
1y
0y
0y
1y
)()(xqx
p
y
B
Положив в уравнении касательной
найдем yxyYOA
. Таким
образом, дифференциальное уравнение задачи имеет вид:
2
или
yyxy
y
y
2
.
Найдем решение полученного уравнения Бернулли, используя метод
сведения к линейному уравнению. Используя подстановку (2.61) для
21
Полагая yyzzy
, , получим линейное уравнение
zz1
.
A
M
1 1
0
y
x
.
Рис. 7. Полоса единственности решения линейного уравнения
Воспользуемся формулой (2.52), выражающей общее решение линейного
уравнения. В нашем случае
xp
)( ,
1
1
xq
)( . Поэтому
1
xdxxp ln)(
,
)(exp
dxxp
;
1
)(exp)( Cxxdx
или
Заменяя
1
yz , получим:
1
1
y
),(
Cx
Искомые линии – гиперболы. При
того, решением является также прямая
dxdxxpxq
x
y
1 .
получаем прямую
. Очевидно, что прямые
.
. Кроме
и
обладают требуемым свойством (это видно и без построения
дифференциального уравнения). Отметим, наконец, что полученное уравнение
Бернулли можно было решить с помощью разделения переменных, так как
.
41
1. .
x
lnxC
2
,0),(),
(
dyyxQdxyx
P
),(yx
U
).,(),(),(yxdUdyyxQdxyx
P
),(yx
P
),(yx
Q
y
yx
4
y
Задачи для самостоятельного решения
Ответ: .0,ln
4
1
yxCxy
2
2
2. .0)(
2
dydxxyy Ответ: .0,1
1
x
yxCe
y
3. xyyxy
4. .
33
22
xyyyx
2
x
. Ответ:
x
Ответ: .
y
2
xCey
21
.1
1
5. .2
6.
7. .13
8. Ответ:
1
2
25
yxyyx
Ответ:
.sin
xyyy
Ответ: .cossin
32
xyyy Ответ: .2
.23yxxyy
5
x
y
2 x
3 x
Cx
3
2
2
Cexy
Cexy
.
Cexxy
2
22
x
1
.
2.6. Уравнение в полных дифференциалах
Мы познакомились в предыдущих параграфах с некоторыми видами
дифференциальных уравнений 1-го порядка, допускающих интегрирование в
квадратурах. Ниже рассматривается новый тип уравнений, занимающий особое
место в теории дифференциальных уравнений. Важность этого типа уравнений
связана с тем, что к нему сводятся не только некоторые из ранее изученных
уравнений, но и многие другие уравнения. Особенно важна связь таких
уравнений с теорией потенциала, без которой невозможно построить
термодинамику, электродинамику, гидродинамику и ряд других физических и
прикладных дисциплин.
1. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
(2.62)
левая часть которого представляет собой полный дифференциал функции
, т.е.
(2.63)
Относительно функций
и
предполагается, что они
непрерывны по обеим переменным в некоторой односвязной области плоскости
(т.е. области без “дырок”) и ни в одной точке этой области не обращаются
одновременно в нуль.
42
Поскольку полный дифференциал функции двух переменных
),(yx
U
.0),(yxdU
.),(Cyx
U
.
0
ydy
xdx
записывается через частные производные
U
dU
, (2.64)
dx
x
U
dy
y
то уравнение в полных дифференциалах (2.62), (2.63) можно переписать в виде
),(),(
yxU
dx
x
yxU
.0
dy
y
(2.65)
Таким образом, решение этого уравнения сводится к нахождению
функции
по ее полному дифференциалу. Уравнение (2.65) можно,
очевидно, записать так:
(2.66)
Поэтому его общий интеграл имеет вид
(2.67)
Очевидно, что особых решений уравнение в полных дифференциалах не
имеет.
В простейших случаях, когда заранее известно, что левая часть
уравнения вида (2.62) представляет собой полный дифференциал, можно
воспользоваться методом подведения под дифференциал.
Суть этого метода проиллюстрируем на примерах.
Пример. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Легко видеть, что
xdx
выражение имеем для второго слагаемого:
22
d
yx
2
Пример. Найти общий интеграл уравнения .0)()(
Решение. Сгруппируем члены, входящие в уравнение так, чтобы каждая
группа являлась полным дифференциалом:
2
x
d
2
)(
Отсюда, заменяя сумму дифференциалов на дифференциал суммы,
имеем:
d
yx
2
22
d
dx
22
22
y
dxyd
2
),(,0
yxUxy
dydy
CCyx
ydyxdyydxdxx
2
y
2
2
,0)(
.0
x
x
ddx
2
. Отсюда получаем:
. Аналогичное
22
).0(,0
2222
yx
xy
.
dyyxdxyx
43
Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных
),(yx
U
),(yx
Pи ),(yx
Q
x
bxa
dyc
dyyxQdxyxP),(),
(
x
.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdU
x
дифференциалах и выражение
22
2)(
Cyyx
есть его общий интеграл.
Приведенные примеры показывают недостатки метода: даже когда
известно, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах,
подобрать соответствующие группы, которые являются полными
дифференциалами, не всегда просто. Тем более, что до сих пор мы не привели
критерия, по которому можно распознать этот тип уравнения.
Поэтому возникают вопросы: как узнать по виду уравнения в форме
(2.62), является ли оно уравнением в полных дифференциалах? В случае если
уравнение является таковым, как построить функцию
и, следовательно,
общий интеграл этого уравнения?
2. Признак уравнения в полных дифференциалах и построение общего
интеграла.
Теорема. Пусть функции
непрерывны и имеют
непрерывные частные производные
P
y
,
. Тогда необходимым и достаточным условием того,
чтобы дифференциальное выражение
и
Q
внутри некоторой области
было полным
дифференциалом, является равенство частных производных
yxP ),(
y
yxQ
),(
. (2.68)
Доказательство. Докажем необходимость условия (2.68). Пусть
дифференциальное выражение является полным дифференциалом, то есть
справедливо равенство
Но тогда отсюда и формулы (2.64) следует, что
yxP
U
x
yxQ
U
(2.69)
.),(,),(
y
Дифференцируя первое из равенств (2.69) по y, а второе по x, получим:
22
P
y
U
yx
Q
x
U
.,
xy
По предположению
P
y
и
Q
непрерывны, а значит будут непрерывны и
смешанные производные. По теореме матанализа о смешанных производных
они должны быть равны
44
22
),(yxUU
)(y
C
)(y
C
0
x
)(y
C
)(y
C
U
yx
U
,
xy
что влечет равенство (2.68).
Докажем, достаточность условия. Пусть условие (2.68) выполнено.
Докажем, что можно построить такую функцию
, полный
дифференциал которой удовлетворяет равенству (2.63). Если такая функция
существует, то из (2.63) и (2.64) вытекают равенства (2.69).
Из первого равенства в формулах (2.69) следует, что
x
. (2.70)
yCdxyxPyxU
)(),(),(
Здесь
x
0
- произвольная дифференцируемая функция от y, поскольку
при интегрировании по x, y рассматривается как постоянная величина. При
любом выборе дифференцируемой функции
и нижнего предела интеграла
U
x справедливо ).,( yxP
Таким образом, функция (2.70) удовлетворяет первому из условий (2.69).
Покажем, что функцию
можно выбрать так, чтобы удовлетворялось
и второе равенство в (2.69), то есть выполнялось
U
x
yy
x
0
(2.71)
).,()(),(
yxQyCdxyxP
Вычислим производную и учтем, что по нашему предположению
справедливо равенство (2.68). Имеем:
x
x
),(
yxP
y
x
)(
yCdx
x
00
),(
yxQ
x
0
Сравнивая
).(),(),()(
yCyxQyxQyCdx
последнее равенство с (2.71), видим: для того, чтобы выполнялось требование
U
y
, надо, чтобы функция
),( yxQ
удовлетворяла дифференциальному
уравнению
)(
ydC
.
dy
Отсюда получаем:
y
y
0
45
),(
yxQ
0
, (2.72)
dycdyyxQyC
)(),()(
00
где выбрано решение уравнения, которое при
0
Qdy
Pdx
),(yx
U
x
x
x
0
0
),(yx
P
0
Подставляя (2.72) в (2.70), получаем:
x
y
yy
обращается в нуль.
x
y
00
dyyxQdxyxPyxU
0
(2.73)
.),(),(),(
Таким образом доказано, что при выполнении условия (2.68)
дифференциальное выражение
найдена функция
полный дифференциал которой равен этому
является полным дифференциалом и
выражению.
Из (2.67) получаем, что общий интеграл уравнения в полных
дифференциалах имеет вид:
x
x
y
y
0
00
(2.74)
CdyyxQdxyxP
.),(),(
Следовательно, общий интеграл выражается в квадратурах.
Пример. Найти общий интеграл уравнения
2
32
yxy
y
.
62
2
xxyy
Решение. Это уравнение не является ни уравнением с разделяющимися
переменными, ни однородным, ни линейным. Запишем его в симметрической
форме:
22
0)26()32(
dyyxyxdxyxy
и проверим выполнимость условия (2.68). Имеем:
Так как
P
yy
Q
P
Q
=
y
, то данное уравнение является дифференциальным
2
2
,62)32(
yxyxy
.62)26(
yxyxyx
уравнением в полных дифференциалах. Найдем его общий интеграл по
формуле (2.74), положив :0
x
или, вычислив интеграл .3
yx
2
y
Cdyydxyxy
00
222
Cyxyyx
,)2()32(
З а м е ч а н и е. Формула (2.74) не имеет симметричной формы: в первом
интеграле стоит функция
, а во втором - функция ),(
yxQ , зависящая от
46
одной переменной. Это связано с тем, что при выводе формулы исходным
x
),(yx
U
0
0
2
0
0
0
0C
U
пунктом являлось условие
P
. Если же начать получение выражения для
U
из условия
Q
, то, рассуждая также, как при выводе (2.74),
y
получили бы общий интеграл уравнения (2.62), (2.63) в виде:
x
y
0
x
y
00
(2.75)
CdyyxQdxyxP
.),(),(
Разумеется, для записи общего интеграла уравнения в полных
дифференциалах можно пользоваться любой из этих формул.
Пример. Найти общий интеграл уравнения
xydx
2
x
2
1
ydy
y
.0,0
Решение. Поскольку
2
P
,)(
xxy
yy
Q
x
2
xx
1
y
,
x
то, в соответствии с условием (2.68), данное уравнение является уравнением в
полных дифференциалах. Применяя формулу (2.75), положив 1,0
yx .
Получим:
y
x
2
1
ln
.
1
y
Cdy
,
x
x
0
2
222
yx
2
ln
y
y
1
C
,
2
yx
или Cy
x
xdx
0
Использование формулы (2.74) привело бы также к этому выражению.
3. Рассмотрим решение задачи Коши для уравнения в полных
дифференциалах. Можно, поступая по общему правилу, найти значения
постоянной C исходя из общего интеграла в форме (2.74) или (2.75), используя
заданные начальные условия (напомним, что в этих формулах числа
x и 0y -
произвольны, выбираются из соображений удобства).
Однако, можно получит решение задачи Коши с начальными данными
, yyxx
непосредственно, положив в формуле (2.74) (или (2.75))
x
x
y
dyyxQdxyxP
0
y
00
(2.76)
,0),(),(
:
47
или
),(yx
U
0
0
000
0
0
0
0
0
0
).(xyy
0
0
0
0
x
)(yxx
0
0
)(),(xfyx
P
0),(),(
dyyxQdxyx
P
bxa
dyc
),(yx
P, ),(yx
Q
x
x
),(yx
P
),(yx
Q
0
0
Покажем это. Обозначим левую часть в (2.76) через
x
0
x
y
y
00
dyyxQdxyxP
(2.77)
.0),(),(
y
y
00
dyyxQdxyxPyxU
0
.),(),(),(
yxQ . Пусть, например, 0),(
yxQ .
Очевидно, что 0),(
точке ),(
yxM
U
x
равны соответственно ),(
x
x
yxU , но хотя бы одна из частных производных в
M
U
y
не равна нулю, так эти производные
)(),(
M
00
yxP и ),(
Тогда, по теореме существования неявной функции, уравнение (2.76)
определяет y как функцию от x:
условию .)(
функцию от y,
yxy
В случае, когда 0),(
, удовлетворяющую условию .)(
И эта функция удовлетворяет
yxP (2.76) определяет
xyx
как
4. Уравнение с разделяющимися переменными – частный случай
уравнения в полных дифференциалах.
Запишем уравнение (2.1) в симметрической форме
1
)(
y
)( dy
dxxf
.0
В этом случае
,
1
),(yyxQ
. Поэтому:
)(
P
y
Q
.0
x
Общий интеграл уравнения запишем по формуле (2.74):
x
y
dy
C
.
dxxf
)(
x
y
00
y
)(
Этот же результат получается и непосредственно интегрированием
уравнения с разделенными переменными, если в формуле (2.6) неопределенные
интегралы заменить определенными с переменными верхними пределами.
5. Рассмотрим вопрос о единственности решения уравнения в полных
дифференциалах.
Теорема. Дифференциальное уравнение
условии, что в области
P
1)
,
y
и
,
Q
непрерывны; 2)
выполняются требования:
P
Q
=
y
; 3)
и
при
не
обращаются одновременно в нуль, во первых - имеет общий интеграл,
выражаемый в квадратурах, во вторых – начальным условием
)( yxy
, где
48
),(
000
000
),(yx
P
),(yx
Q
0C
0
0
0),
(yxU
),(yx
U
x
0
0
0
0
U
0),
(yxU
)(x
y
0
0
0
0
0
0
000
).(y
x
000
0
0
0
0
.0)1()sin
(
dyxdxxy
.
cos)1(Cxy
x
0)2()2(
dyyxdxy
x
2
4
3
yxM - любая точка указанной области, определяется единственное
решение.
Доказательство. Первая часть теоремы доказана в п. 2 настоящего
раздела и там же это решение было фактически построено в квадратурах в виде
(2.74) или (2.75).
Докажем вторую часть утверждения - через любую начальную точку
),(
yxM , принадлежащую указанной в теореме области проходит
единственная интегральная кривая, если в этой точке не обращаются в нуль обе
функции
и
.
Полагая в выражении общего интеграла (2.74)
интеграл, удовлетворяющий начальному условию
где
определяется формулой (2.73). Из этой формулы следует P
U
Q
. Пусть 0),(
y
U
M
y
0
yxQ
00
yxQ . Поскольку 0),(
, то выполняются условия теоремы о неявной функции.
0),(
yxU ,
Поэтому можно утверждать, что уравнение
единственное решение
В случае если 0),(
можно показать, что через точку ),(
интегральная кривая вида
Точка ),(
yxM в которой 0),(
, удовлетворяющее условие .)(
yxQ , но 0),(
yxP аналогично предыдущему
yxM проходит единственная
yxP и 0),(
особой точкой.
Задачи для самостоятельного решения
, получим частный
, yyxx
U
U
и
непрерывны,
y
определяет
yx
yxQ является
,
,
Проинтегрировать уравнения:
1.
2.
3.
4. .0)()(
5.
6.
22
32
x
dy
dx
3
y
3
xy
4
y
dyyxdxyx Ответ: .
Ответ:
.0
Ответ: .
. Ответ: .
222
22
. Ответ: .33
0)36()32(
dyyxyxdxyxy
Ответ: .)(
.0)1(2
dyyxdxyxx
49
22
Cyyx
22
Cyxyx
24
x
xy
y
2
C
222
Cxyyxxy
2322
Cyxx
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]