Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
где y искомая функция, а
)(x
p, )(x
q
)(x
f
),(ba
,0)
(x
f
,0)
(x
f
1
221
1
1
221
1
1
221
1
1
1
1
2
),(ba
x
221
1
1
221
1
1
2
122
1
1
2
),(ba
x
),(ba
x
2
1
1
2
1
2
и
непрерывные функции на
некотором интервале
, называется линейным дифференциальным
уравнением второго порядка.
Если
уравнением. Если же
то уравнение (4.1) называется линейным однородным
то уравнение (4.1) называется линейным
неоднородным уравнением.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка. Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных
уравнений.
Теорема 1. Если функции )(
то функция )()(
xy и )(2xy решения уравнения
,0)()(
yxqyxpy (4.2)
xyCxyCy
при любых значениях постоянных
C и 2C
также является решением, уравнения (4.2).
Итак, функция вида )()(
постоянными
C , и 2C является решением уравнения (4.2). Естественно
xyCxyCy
с произвольными
возникает вопрос, не является ли это решение общим решением уравнения
(4.2). Покажем, что при некоторых условиях функция )()(
xyCxyCy
является общим решением уравнения (4.2). Предварительно введем понятия
линейной зависимости и линейной независимости функций )(
Функции )(
существуют такие числа
что для любого
Очевидно, что если функции )(
пропорциональны. Действительно, если ,0)()(
xy то const
,0)(
Функции )(
не существует таких чисел
что для любого
равенство (4.3) выполняется сразу для всех
Очевидно, что если функции )(
отношение const
1
xy и )(2xy называются линейно зависимыми на (а,b), если
и ,
из которых хотя бы одно отлично от нуля,
имеет место равенство
0)()(
xyxy
. (4.3)
xy и )(2xy линейно зависимы, то они
xyxy
xy
)(
1
xy
)(
. Верно и обратное.
xy и )(2xy называются линейно независимыми на (а,b), если
и ,
из которых хоть одно отлично от нуля,
имеет место равенство (4.3). Другими словами,
, если только 0
xy и )(2xy линейно независимы, то их
xy
)(
xy
)(
, т. е. они не пропорциональны. Так, например,
xy и )(2xy .
причем 0
и
.
функции
2
)( xxy и
3
)( xxy линейно независимы на любом интервале
100
xy
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
221
1
1
221
1
1
1
)(
(а,b), поскольку const
1
линейно зависимы на любом промежутке, так как const
1
xxy
)(
, а функции
xy
)(
1
xy
)(
2
4)( xxy и
4
2
)( xxy
.
Предположим теперь, что функции )(
xy и )(2xy являются решениями
уравнения (4.2). Вопрос о том, являются ли они линейно зависимыми или
линейно независимыми, решают с помощью определителя Вронского:
yy
21
yy
21
.
yyyy
(4.4)
1221
Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, опре-
деленной на (а, b), и обозначается ),(
Теорема 2. Если функции )(
xy и )(2xy линейно зависимы на (а,b), то
yyW или просто W(x).
определитель Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале.
Теорема 3. Если решения )(
xy и )(2xy уравнения (4.2) линейно
независимы на (а,b), то определитель Вронского, составленный из них,
отличен от нуля на этом интервале.
Итак, установлено, что если функции )(
xy и )(2xy являются на (а,b)
решениями линейного однородного уравнения (4.2), то составленный из них
определитель Вронского на (а,b) либо равен нулю ( )(
зависимы), либо отличен от нуля ( )(
xy и )(2xy линейно независимы).
xy и )(2xy линейно
Установим теперь, при каких условиях функция )()(
xyCxyCy
является общим решением линейного однородного уравнения (4.2).
Теорема 4. Если функции )(
xy и )(2xy
линейно независимые на (а,b)
решения уравнения (4.2), то функция
)()(
xyCxyCy
(4.5)
где
C и 2C
произвольные постоянные, является общим решением
уравнения (4.2).
Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения
(4.2) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить
выражение (4.2) с произвольными постоянными
C и 2C .
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка. Рассмотрим теперь основные свойства решений линейного
неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (4.1):
).()()( xfyxqyxpy
Имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Общее решение уравнения (4.1) есть сумма любого его
частного решения и общего решения соответствующего однородного
уравнения.
Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного
101
уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного
221
1
221
1
1
2222111
1
1
221
1
221
1
2222111
1
111
1
222
2
221
1
1
221
1
1
1
2
2
1
2
1
)(x
f
1
уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. В общем
случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как
можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации
произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего
однородного уравнения.
Пусть )()(
xyCxyCY
общее решение однородного уравнения
(4.2). Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4.1) в виде
),()()()(
xyxCxyxCy
(4.6)
рассматривая
C и 2C как некоторые искомые функции от х. Про-
дифференцируем последнее равенство
)()()()()()()()(
xyxCxyxCxyxСxyxCy
. (4.7)
Подберем функции )(
xC и )(2xC так, чтобы выполнялось равенство
0)()()()(
xyxCxyxC . (4.8)
Тогда равенство (4.7) принимает вид
).()()()(
xyxCxyxСy
Дифференцируя это равенство, найдем у":
).()()()()()()()(
xyxCxyxCxyxСxyxCy
Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1) и группируя
слагаемые, получаем
)()()()()()(
xyxqxyxpxyxC
)()()()()()(
xyxqxyxpxyxC
).()()()())((
xfxyxCxyxxC
Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как )(
xy и )(2xy
решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство принимает вид
)()()()()(
xfxyxCxyxC
. (4.9)
Таким образом, функция (4.6) является решением уравнения (4.1), если
функции )(
xC и )(2xC удовлетворяют уравнениям (4.8) и (4.9). Объединяя
их, получаем систему уравнений
,0)()()()(
(4.10)
),()()()()(
xfxyxCxyxC
xyxy )(),(
xyxy
и
в которой )(
xС
и )(
xС
неизвестны, а ),(),(
xyxCxyxС
2211
2211
известны. Так как определителем этой системы является определитель
Вронского
)()(
xyxy
21
)(
xW
составленный из линейно независимых решений )(
,
)()(
xyxy
21
xy и )(2xy однородного
уравнения (4.2), то он по теореме 5 не равен нулю, а значит, система (4.10)
102
имеет единственное решение относительно )(
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
xС
и )(
xС
. Решая эту
систему, получаем ),()(
известные функции, откуда, интегрируя, найдем )(
полученные выражения для )(
xxС
),()(
xxС
где )(
x
и )(
xC и )(2xC . Подставляя
xC и )(2xC в равенство (4.6), получаем искомое
частное решение уравнения (4.1).
Пример. Найти частное решение уравнения у" у = х.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения
0
yy имеет вид
)( . Поэтому частное решение
xx
eCeCxY
неоднородного уравнения будем искать в виде
~
Система (4.10) для нахождения )(
Складывая эти уравнения, найдем
получаем .)1(
)(
1
1
x
exxС
xС
и )(
21
21
)()()(
xx
exCexС
xx
1
xx
exCexCxy
. (4.11)
xС
в данном случае имеет вид
,0)()(
.)()(
xexCexC
1
)(
x
xexС
. Отсюда, интегрируя,
x
Произвольную постоянную не пишем, так как ищем какое-нибудь
частное решение. Подставляя выражение )(
1
найдем
)(
2
x
xexС
, откуда, интегрируя, получаем .)1(
Подставляя найденные выражения )(
xС
в первое из уравнений системы,
1
)(
2
x
exxС
xC и )(2xC в равенство (4.11),
получаем частное решение y~ данного неоднородного уравнения:
~
2
1
xx
eexy )1(
1
2
xx
.)1(
xeex
Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения и зная
общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании
теоремы 5 можно записать общее решение данного неоднородного уравнения:
~
где
C и 2C произвольные постоянные.
xx
,)()(
eCeCxxYxyy
4.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим важный частный случай линейных дифференциальных
уравнений второго порядка случай, когда функции р(х) и q(x) являются
постоянными величинами. Такие уравнения называются линейными
103
уравнениями с постоянными коэффициентами.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
0
2
k
k
1
1
2
2
1
012
k
k
2
1
1
2
212
1
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное однородное
уравнение второго порядка
qyypy (4.12)
,0
где р и q действительные числа.
Теорема 6. 1) если число k действительный корень уравнения
,02 qpkk (4.13)
то функция
2) если числа
уравнения (4.13), то функции xey
kx
ey является решением уравнения (4.12).
ik
и )0(
и xey
ik комплексные корни
x
cos
являются
решениями уравнения (4.12).
Уравнение (4.13) называется характеристическим уравнением данного
уравнения (4.12).
Характеристическое уравнение (4.13) является квадратным уравнением и,
следовательно, имеет два корня. Обозначим их
k и 2k .
Теорема 7. 1) если корни характеристического уравнения
действительные и различные (
xkxk
имеет вид ;
21
eCeCy
kk
), то общее решение уравнения (4.12)
2) если корни характеристического уравнения действительные и равные
(
k =2k ), то общее решение имеет вид ;
xeCeCy
3) если корни характеристического уравнения комплексные (
ik
0 ,
), то общее решение имеет вид ).sincos(
x
x
sin
xkxk
11
ik
,
xCxCey
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
корни
k = 1, 2k = 2 действительные и различные. Соответствующие частные
решения уравнения
xx
2
eCeCy
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
корни 1
kk действительные и равные. Соответствующие частные
решения уравнения
02
yyy .
2
x
ey
,
. Общее решение уравнения имеет вид
x
ey
,
xxx
.
)(
xCCexeCeCy
xey2
02
yyy .
2
x
xey
. Общее решение уравнения имеет вид
104
; его
; его
Пример 3. Найти общее решение уравнения
0134
k
k
1
2
1
2
2
1
)(x
f
xsin
xcos
n
n
nnnn
111
0
n
n
n
2
1
1
2
BAxy
~
~,~
~
12xBAxA
0134
yyy .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
корни ,32
уравнения ,3cos
2
x
ik
32
2
x
xey
.
ik
комплексные. Соответствующие частные решения
x
xey
)3sin3cos(
xCxCey
2
. Общее решение уравнения имеет вид
3sin
2
; его
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное
неоднородное уравнение второго порядка
),(xfqyypy
(4.14)
где р и q действительные числа;
непрерывная функция.
Как известно, общее решение такого уравнения представляет собой
сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения
соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного
уравнения мы находить умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о
нахождении частного решения. Для нахождения частного решения можно
применять метод вариации произвольных постоянных. Однако если в правой
части уравнения (4.14) многочлен, либо показательная функция, либо
тригонометрическая функция
или
, либо линейная комбинация
перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом
неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.
Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (4.14).
1. Правая часть имеет вид ),()( xPxf
...)( многочлен степени п.
Тогда частное решение y~ можно искать в виде ,)(
многочлен той же степени, что и )(xP
axaxaxaxP
где
~
r
xxQy где )(xQ
, а r число корней
характеристического уравнения, равных нулю.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
.12
xyyy
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения
имеет вид
(см. пример 2). Так как правая часть уравнения
x
exCCY )(
многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения
2
~
не равен нулю ( 1
012
kk
0
,)(
BAxxBAxy где А и В неизвестные коэффициенты.
kk ), то частное решение ищем в виде
Дифференцируя дважды
уравнение, найдем
и подставляя yy
и y
в данное
.
105
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях
1A, 12BA
1A
3B
,3~
x
y
2
1
n
n
y
~
n
n
n
0
n
034
k
k
1
2
2
1
e
1
1
n
xBA
Ax
224
14A
022BA
4
4
y
~
4
4
,
sin
cos)(xbxaxf
y
~
A
i
0
1
k
1
2
равенства:
, находим:
данного уравнения имеет вид
,
. Итак, частное решение
а его общее решение
x
2. Правая часть имеет вид ),()( xPexf
степени п. Тогда частное решение
где )(xQ
многочлен той же степени, что и )(xP
характеристического уравнения равных . Если
).3()(
xexCCy
x
где )(xP
следует искать в виде ,)(
многочлен
~
, а r число корней
, то )()( xPxf
имеет место случай 1).
Пример 5. Найти общее решение уравнения
x
xeyyy
2
имеет корни
Решение. Характеристическое уравнение
1
k , 3
k . Значит, общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид
. В правой части этого уравнения
34 .
xx
3
eCeCY
произведение многочлена первой степени на показательную функцию
. Так как среди корней характеристического уравнения имеется только
один корень 1
k , то r = 1. В данном случае xxP
)( многочлен первой
xr
exxQy
, т. е.
x
при
степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде
~
2 xx
eBxAxxeBAxy
.)()(
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях
равенства:
найденные значения A и В в выражение для
данного уравнения ;)(
,
, находим:
A ,
, получаем частное решение
1
~
~
2 x
exxy общее решение имеет вид
1
21
23
3. Правая часть имеет вид
известные числа. Тогда частное решение
~
где
r
,)sincos(
xxBxAy
и B неизвестные коэффициенты, a r
надо искать в виде
число корней характеристического уравнения, равных
1
xxx
.)(
exxeCeCYyy
.
1
B . Подставляя
где a, b и
Пример 6. Найти общее решение уравнения xyy sin
Решение. Характеристическое уравнение
ik
. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения
106
2
имеет корни ik
.
,
xCxCY sincos
2
1
x
sin
1,1,0
b
a
i
i
xxBxAy)
sin
cos(~
xxBxA
sin)cos
sin(2
2
0B
2
2
2
2ii
0r
.2sin2cos~xBxAy
,2sin2sin32
cos3xxBxA
,
0A
3
3
3
m
n
n
m
2
1
1
.
i
0
12k
2
1
2
1
n
m
12i
i
. В правой части равенства тригонометрическая
функция
, т. е.
. Так как
корень
характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать в виде
.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
,
откуда
1
A ,
. Таким образом, частное решение ;cos
~
1
xxy общее
решение уравнения
~
sincos
21
1
.cos
xxxCxCYyy
Пример 7. Найти общее решение уравнения
.2sin xyy
Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего только тем, что
. Так как
и частное решение следует искать в виде
не является корнем характеристического уравнения, то
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
откуда
,
B т.е. частное решение ,2sin
уравнения
~
4. Правая часть имеет вид
1
x
где )(xP
многочлен степени n, а )(xP
частное решение следует искать в виде
xr
где )(
~
xQ и )(2xQ многочлены степени s,
характеристического уравнения, равных
Пример 8. Найти общее решение уравнения
Решение. Здесь характеристическое уравнение
kk Общее решение однородного уравнения таково:
.1,1
~
1
xy общее решение
1
sincos
21
.2sin
xxCxCYyy
,sin)(cos)()( xxPxxPexf
многочлен степени m. Тогда
,sin)(cos)(
xxQxxQexy
,,max mns
а r число корней
2
x
.cos3
xeyy
имеет корни
xx
.
eCeCY
В правой части уравнения произведение многочлена
нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, так что
,3)(xP
,0)(xP
s = 0. Число
не является корнем
107
характеристического уравнения, поэтому r = 0, и частное решение ищем в
.
cos3sin)42(
cos)42(xxABxB
A
x
cos
,024,34
2
BAB
A
10
5
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
,
3
2
n
m
0s
23i
i
,
3
1
n
m
,
1m
1s
i
i
3
,
1
n
m
,
1n
1s
31i
i
]3sin)(xD
Cx
,
1
2
n
m
0s
21i
i
,
2
2
n
m
,
3n
2
виде ).sincos(
~
x
xBxAey
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
Приравнивая коэффициенты при
и xsin , находим
откуда
3
2
~
x
cos
10
A ,
3
xxey
5
а общее решение уравнения
,sin
~
3
3
B . Таким образом, частное решение
2 xxx
3
cos
10
3
5
.sin
eCeCxxeYyy
21
Пример 9. По данным корням характеристического уравнения и правой
части )(xf записать частное решение у линейного неоднородного уравнения:
3
а) ,23
б) ,3
в) ,1
k ,3
г) ,21
ik
,23
kk ;sin2)(
k ;3cos)1()( xxexf
ik
,21
1
д) ,
21ik ,
22ik
Решение. а) имеем:
ik
;2sin8)(
ik
);2sin32(cos)( xxexf
3
x
x
1
x
xxexf
x
x
, ,0)(
32
xexf
xP
xexf
cos)1()(
2
,8)(
x
sin
x
.
2
. Так как
x
xP
число
корень характеристического уравнения, то r = 1.
Поэтому
~
б) имеем:
не является корнем характеристического уравнения, поэтому
3
r = 0. Следовательно, ];sin)(cos)[(
в) имеем:
число
r = 0. Поэтому xBAxey
~
3
не является корнем характеристического уравнения, то
x
г) имеем:
x
, ,1)( xxP
корень характеристического уравнения, поэтому r=1.
Следовательно,
д) имеем:
~
x
3
x
, ,0)(
xP
3cos)[(~
, ,1)(
xBxAxey
1
, ),1()(
108
,2)( хxP
,0)(
xP
;2sin2cos
xBxAxey
xP
.
,3)(
3
xxP
;2sin2cos
xP
,)( xxP
xDCxxBAxey
. Число
. Так как
. Число
,
1m
3s
2
1
~
2
~
1
~
2
~
2
012
k
k
2
1
212
1
x
sin
e
~~~
2
1
1
~
2
~
1
~
i
i
0r
1
~
~
1
1
~
1
~
1
~
x
sin
x
cos
12,02
B
A
0A
2
2
2
~
2
1
2
~
2
~
2
~
4
4
. Число
значит, r=1. Следовательно,
1
2 ii
корень характеристического уравнения,
~
x
DCxBxAxxey
x
23232
HGxFxEx
2
x
sin)(
.
2
В заключение сформулируем теорему, которую часто применяют при
решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых сумма
нескольких слагаемых.
Теорема 8. Если
а
решение уравнения
y
то сумма
+
y
y
является решением уравнения
решение уравнения
y
),(1xfqyypy
(4.15)
),(2xfqyypy
(4.16)
)(1xfqyypy
+ ).(
xf (4.17)
Пример 10. Найти общее решение уравнения
sin2 .
Решение. Характеристическое уравнение
kk поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения
,1
xxx
exyyy
x
2
).(
xCCexeCeCY
имеет корни
Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций
x
, то в соответствии с теоремой 8 частное решение данного уравнения можно
искать в виде ,
xyyy sin2
, а
y частное решение уравнения
Сначала найдем частное решение
характеристического уравнения (
искать в виде xBxAy cossin
xyyy sin2
и сравнивая коэффициенты при
, откуда
Теперь найдем частное решение
так как число
Подставляя
y ,
Следовательно,
~
2
не является корнем характеристического уравнения.
y
и
1
yyy
где
y . Так как число
. Подставляя
1
,
B и, следовательно, xy cos
y
в уравнение
xey
.
y частное решение уравнения
2 .
eyyy
не является корнем
), то частное решение
y ,
y
и
y
и
1
~
.
1
y . Будем его искать в виде ,
2 , имeeм
x
eyyy
y , будем
в уравнение
, получаем
~
и
x
x
Aey
1
A .
Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид
109
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]