Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
0
),(ba
x
),(ba
)(x
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
y
a
0
y
dy
y
y
0
)(
dxxp
CCey
),0(,
CdxxpCydxxp
),0(,)(lnln,)(
CdxxpCy (2.44)
.,)(exp
y 0M
0
0
0x b x
Рис. 6. Полоса единственности решения линейного уравнения
В формуле (2.44) содержатся все решения однородного уравнения (2.42).
Заменим в формуле (2.44) неопределенный интеграл определенным интегралом
с фиксированным нижним пределом ),(
пределом
, где
- интервал, в котором функция
bax
и переменным верхним
непрерывна.
Получим
x
Обозначим
yC
. Подставив это значение C в формулу (2.45), получим:
)( yxy
и положим в этой формуле
x
0
x
Если
0
y - произвольно, то формула (2.46) является общим решением
x
0
линейного однородного уравнения (2.42) в форме Коши. Если же
(2.45)
.)(exp
dxxpCy
xx
. Тогда получим
(2.46)
.)(exp
dxxpyy
y -
фиксировано, то (2.46) представляет собой решение уравнения (2.42) с
начальными данными
, yx .
Из формулы общего решения (2.46) однородного уравнения видно, что
если 0
y , то решение не обращается в нуль ни в одной точке.
30
Пример. Найти общее решение уравнения
)1,1(
yx,11
1
1
1
1
1
)(bxa
1
111
1
)(bxa
1
1
1
C
ybxa,
1
1
Решение. В этом случае
интервале
y
x
.0
y
2
1
x
x
xp
- функция непрерывная в
2
1)(x
. Воспользуемся формулой (2.44), предварительно вычислив
Полученная формула дает общее решение уравнения в области:
Пример. Найти решение задачи Коши для линейного однородного
уравнения:
Решение. Воспользовавшись формулой (2.46), получаем:
Рассмотрим свойства решений однородного линейного уравнения.
1. Если )(
)(
xt
dxxp
1
x
dx
2
2
1
x
x
2
1
xt
2
xdxdt
1
dt
2
t
.,
CCey
.
x
.1)0(
,0cosyxyy
sin0x
edxxy
.)cos(exp1
xy есть частное решение уравнения (2.42), то функция
2
;1
Cyy
, где C - произвольная постоянная, тоже является решением этого
уравнения.
Действительно, так как
y - решение уравнения, то имеет место
тождество
0)(
Подставим в уравнение (2.42)
yxpy
Cyy
и примем во внимание записанное
.
выше тождество. Имеем:
Следовательно, функция
2. Если
y - частное решение уравнения (2.42), то формула
yxpyCCyxpCy
Cyy
является решением уравнения (2.42).
0))(()()(
.
Cyy
, где
- произвольная постоянная, дает общее решение уравнения (2.42) в области
.
Действительно, функция
Cyy
является решением уравнения (2.42)
(как показано выше) для всех значений параметра C. Рассматривая равенство
Cyy
как уравнение относительно C , видим, что оно разрешимо в области
31
ybxa,
при всех C:
1
1
оо
оо
чн
чн
чн
чн
чн
чн
чн
oo
чн
чн
0
0
0
0
0
0
0
чн
yyC
. Поэтому формула
Cyy
дает
общее решение.
4. В этом разделе рассматривается важнейшее свойство решения
неоднородного уравнения – теорема о структуре общего решения линейного
неоднородного уравнения.
Теорема. Если
- частное решение неоднородного уравнения (2.41),
y
чн
то общее решение дается формулой
,
yyy
чнооон
где
y - общее решение однородного уравнения (2.42)
dxxp
)(
Cey
.
Доказательство. Пусть нам известно некоторое частное решение
y
неоднородного уравнения (2.41), т.е.
.)()( bxaxqyxpy
Введем новую неизвестную функцию z по формуле zyy
Подставляя функцию y в уравнение (2.41), получим, требуя, чтобы функция y
удовлетворяла уравнению:
).()()( xqzxpzyxpy
Таким образом, чтобы функция zyy
являлась решением (2.41)
достаточно, чтобы функция z удовлетворяла однородному линейному
уравнению, и соответствующему уравнению (2.41):
0)(
zxpz .
Общее решение этого уравнения, как показано в п. 2 настоящего раздела,
имеет вид (2.45). Итак, функция z должна являться общим решением
однородного уравнения:
yz
. Таким образом, получим:
)(
dxxp
CCeyy
).(
Покажем, что эта формула представляет общее решение уравнения (2.41).
Запишем это решение в виде
x
x
Ceyy
dxxp
)(
0
(2.47)
.
где, как и в формуле (2.45), неопределенный интеграл заменим определенным
интегралом с переменным верхним пределом. Покажем, что при любых
),(0bax
и ),(
y частное решение уравнения (2.41), удовлетворяющее
условию
)( yxy
, принадлежит семейству (2.47) при однозначно
определяемой постоянной C.
Полагая в формуле (2.47)
, yyxx
, получим:
)(
xyyC
.
32
Таким образом, формула (2.47) дает общее решение неоднородного
оочнон
оо
C
)(x
C
dx
)
(
C
ybxa,
линейного уравнения:
)(
dxxp
уyy
, .
Итак, для построения общего решения неоднородного линейного
уравнения нужно к общему решению соответствующего ему однородного
уравнения прибавить частное решение неоднородного уравнения.
5. Методы построения общего решения неоднородного линейного
уравнения.
В настоящем разделе будут рассмотрены два метода решения уравнения
(2.41), первый из которых - метод Лагранжа, применяется к решению не только
линейных уравнений или сводящимся к ним.
5.1. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Для нахождения решения уравнения (2.41) применим следующий метод:
будем искать решение в том же виде, что и решение соответствующего
однородного уравнения (2.44), но будем считать
неизвестной непрерывно дифференцируемой функцией от x. Таким образом,
положим
exCy (2.49)
)(
dxxp
Cey (2.48)
не постоянной, а
.)(
Требуем, чтобы функция (2.49) удовлетворяла уравнению (2.41):
Отсюда получаем следующее дифференциальное уравнение, которому
должна удовлетворять функция
Это уравнение – простейшее дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными. Интегрируя его, имеем:
где C - произвольная постоянная
формулу (2.49) получим:
Полученная функция по построению является решением уравнения (2.41).
Более того, она является общим решением в полосе
поскольку имеет структуру (2.48).
:
)(
xdC
exq
)(
dxxp
)()(
dxxpdxxp
.)(
. Подставляя эту функцию в
)()()(
dxxpdxxpdxxp
)()(,)()(
CdxexqCey
dxxpdxxp
)()(
).(,)(
(2.50)
).()()()()()(
xqexCxpexpxCexC
,
dxexqCxCCdxexqxdC
,
Действительно, записав (2.50) в виде
)()()(
dxxpdxxpdxxp
dxexqeCey
заметим, что первый член в правой части является общим решением
соответствующего однородного уравнения, а второе слагаемое есть частное
33
,)(
(2.51)
решение неоднородного уравнения, так как оно содержится в формуле (2.51)
0C
0
),(ba
),(ba
x
0
0
0
0
0
0
0
)(x
p
)(x
q
),(
0
000
),(
x
)(x
p
)(x
q
),(ba
),(ba
x
xxq)
(
при
.
Формула (2.51) показывает, что общее решение линейного неоднородного
уравнения можно получить двумя квадратурами.
Отметим характерное свойство решения линейного уравнения. Из (2.51)
видно, что общее решение линейно зависит от произвольной постоянной. Для
нелинейных уравнений такое свойство уже не выполняется.
Другой вид общего решения получается из (2.51) заменой неопределенных
интегралов определенными с переменным верхним пределом:
s
)()()(
dttpdttpdttp
x
000
,)(
dsesqeCey
(2.52)
.
где
x - произвольное число из
x
x
x
x
x
x
0
,
Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения (2.41), то есть
нужно найти такое решение уравнения, которое удовлетворяет условию
)( yxy
, где ),(
bax
, ),(
y . Подставляя в (2.52)
xx
,
yy
находим:
yC
.
Таким образом, решением задачи Коши является функция
x
x
0
З а м е ч а н и е 1. Формула (2.52) показывает, что если функции
заданы и непрерывны на всей оси
начальными данными
x , 0y будет не только непрерывно, но и непрерывно
x
x
x
x
0
s
dttpdttpdttp
)()()(
x
000
dsesqeeyy
.)(
(2.53)
, то и решение с любыми
и
дифференцируемо при всех значениях x. Это означает, что интегральная
кривая уравнения, проходящая через любую точку плоскости ),(
гладкой кривой при
З а м е ч а н и е 2. Если функции
.
и
непрерывны в
yxM будет
, за
исключением отдельных точек, то формула общего решения (2.51) или (2.52)
остается справедливой для всех x из
, если интегралы при переходе через
точки разрыва не теряют смысл (если интегралы расходятся, то формула
общего решения уже не будет справедливой во всем интервале).
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
y
.2xy
Решение. Данное уравнение является уравнением вида (2.41), где
xxp 2)(
,
, то есть линейным неоднородным уравнением. Функция
34
)(x
q
определена и непрерывна при всех
x
)(x
p
),0()0,
(
x
x
xdxz
0C
0z
Cx
z
),(
C
y
x
x
x
xxp2)
(
)()(xvxuy
dx
dx
. Найдем его общее решение методом вариации постоянной.
, а функция
- при
Решим соответствующее ему однородное
переменные и интегрируя, получим
dz
2 , xCz ln2lnln (
откуда
и
)0(2 CCxz
. Общее решение имеет вид
2
,
Общее решение неоднородного уравнения, в соответствии с методом
Лагранжа, ищем в виде
Находим производную
2
)( xxCy .
подставляем в уравнение. Получаем:
или
xC
)(
1
xdC
.
2
2
xxCxxC
)(2)(
dx
, которую, вместе с функцией
)(2)(
xxCxxCy
22
)(
ln)(,)(,
Разделяя
z
.02z
),
xxxC
.
CxxC
Подставляя найденную функцию в выражение для общего решения,
получим окончательно:
2
Пример. Найти общее решение уравнения 12
)ln(
xCxy .
2
yxyx , пользуясь
формулой общего расчета (2.50).
Решение. В данном случае
, xxq 1)(
. Подставляя в формулу
(2.51), получим:
2
Cey
1
xdxxdx
22
x
2
x
Cedxe
e
x
.
dx
x
Отметим, что интеграл, содержащийся в записанном общем решении не
выражается в конечном виде через элементарные функции.
5.2. Метод Бернулли построения общего решения.
Другим по форме, но идентичным по существу, является метод Бернулли,
в соответствии с которым решение неоднородного линейного уравнения
ищется в виде произведения двух функций
. (2.54)
Подставляя (2.54) в уравнение (2.41), получим:
du
v ,
dv
u
35
)()( xquvxp
или
)(x
v
dx
v
)(x
v
)(x
u
x
)()(xvxuy
x
)(x
v
dx
xxvdvsin
xvsin
dv
u
(2.55)
dx
).()( xqvxp
Функцию
du
v
dx
выбираем так, чтобы
dv
.0)( vxp
(2.56)
Это означает, что на одну из двух функций налагается требование – она
должна удовлетворять однородному уравнению, соответствующему данному
неоднородному. Таким образом, дифференциальное уравнение (2.55) будет
равносильно системе двух дифференциальных уравнений, одно из которых –
уравнение (2.56), а другое получается из (2.55) при условии (2.56). Имеем:
dv
dx
du
Оба уравнения системы (2.57) являются уравнениями с разделяющимися
переменными. Для первого из них мы возьмем частное решение
))(exp( dxxpv
(см. формулу (2.48)). Из второго уравнения получаем
v
dx
,0)(
vxp
(2.57)
).(
xq
xqdu)(
Подставив найденные функции
общее решение уравнения
Пример. Решить уравнение
Решение. Ищем его в виде
Подставим эти выражения в уравнение
и потребуем, чтобы функция
dv
.
0cossin xvx
dx
)(
dxxp
,
.
удовлетворяла однородному уравнению
и
)(
cossin
xyxy
. Дифференцируя по х, имеем:
vuvuy
.
sin
cossinsin
xuvxvuxvu
.)(
Cdxexqu
в формулу (2.54), получим
dxxpdxxp )()(
.
dxexqCey
2
sin
2
2
x
2
x
(*)
Отсюда dx
, xv sinlnln ,
36
cos
.
Подставим функцию v в уравнение (*) и учитывая равенство нулю
)(x
u
x
x
C
x
uv
y
)(x
v
.1)1(
BxxA
0x
;
1
A
1x
1B
1
x
dx
подчеркнутой части, получим уравнение для
du
dx
sin
2
sin
x
2
x
.
2
Отсюда C
Пример. Найти решение задачи Коши
Решение. Ищем общее решение дифференциального уравнения методом
Бернулли
Налагаем требование на функцию
квадратных скобках. Получаем систему дифференциальных уравнений
Решаем первое уравнение, разделяя переменные
xu 1)( ,
y sin
. Подставляя y и vuvuy
xxuvvuvuxx ,
xxvvxxuvuxx .
dv
v
y
xx
dx
sin
.4)2(
dv
dx
du
vxx
dx
)1(xx
и, таким образом,
x
.
v
,
ln
xC
2
),12()1(
xxyyxx
в уравнение, получим:
2
- равенства нулю выражения в
,0)1(
2
xx
v .
2
).12()1(
dx
)1(
xx
)12())(1(
)12()1()1(
Разлагаем подынтегральную правильную рациональную дробь на сумму
простых дробей:
1
x
xx
откуда
. Таким образом, имеем:
Частное решение берем в виде
второе уравнение системы, получим:
du
x ,
Полагая
ln
v
, получим
dx
x
)12(22 xx
37
A
x
dx
x
v . Подставляя эту функцию во
B
1
1)1(
полагая
x
ln
x
.
1
x
2
, получим
.,)12(
Cxxudxxdu
Общее решение имеет вид
1)(1
x
x
0
0
1
0C
xxC
y
sin
xxycos
1)0
(y
0)(
dyyx
dx
x
cos
x
2
0v
1v
)()(xqx
p
0v
1v
)(x
p
)(x
q
),(ba
x
Для построения решения задачи Коши найдем значение C, используя
начальное условие .4,2
x
y .
22
x
CxCxx
yx Имеем:
2
44 C
,
.
Решением задачи Коши является функция .
1. 1)0(,1
2. )cos(22sin xyxy
3.
232 xxxyy
4.
5. .1)0(,sin2
x
6. .1)(
7. .0ln2
8. .sin xyy
yye
2
Ответ: ).( Cxey
xxyyx Ответ: .
Ответ:
2
xy
Задачи для самостоятельного решения
yxtgxytgxy . Ответ:
1
. Ответ:
42
,
. Ответ:
. Ответ: 1
ctg .
2
x
ey .
y
yCex
.
1
yxytgxy Ответ: xyxC
x
y
x
y cos),cos(
1ln
x
x
C
2
1
xxCey
).sin(cos
.
2
.
2.5. Уравнение Бернулли
Уравнение вида
v
,)()(
yxqyxpy
(2.58)
где v - любое действительное число, называется уравнением Бернулли. Если
, то уравнение Бернулли вырождается в линейное уравнение (2.41); при
уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными:
);0()()(
vxqyxpy
).1())()((
vyxpxqy
Уравнение (2.58) также будет являться уравнением с разделяющимися
переменными при
. Относительно функций
непрерывны при
и )()( xqxp .
. Ниже мы рассмотрим случай, когда
и
будем предполагать, что они
1. Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению подстановкой
38
,
Действительно, применив эту подстановку, найдем производную новой
0y
0v
0v
0y
0v
0y
10v
0y
1v
0y
OX
0y
)
OX
1v
OX
C
vuy
2v
vuy
vuy
x
x
функции
1
vzy1
, )(
)1( .
1 v
yz
. (2.59)
v
yyvz
Умножив обе части уравнения (2.58) на
если
), получим дифференциальное уравнение для новой функции
)1( (предполагая, что
),()1()()1( xqvzxpvz
v
yv
(2.60)
которое является линейным уравнением. Интегрируя полученное уравнение
методом, изложенным в п. 2.4, получим общее решение уравнение Бернулли в
виде
1
)()1(
dxxpvdxxpv
)()1()()1(
v
1
dxexqvCey
. (2.61)
Читателю рекомендуется самостоятельно получить это решение. Таким
образом, уравнение Бернулли также интегрируется в квадратурах.
2. Помимо общего решения уравнение Бернулли при
очевидное решение
уравнения). При
(при
решение
функция
не является решением
не содержится в формуле общего
имеет еще
решения. Оно является особым решением, поскольку в каждой точке этого
решения нарушается единственность решения задачи Коши.
При
решение
является частным решением, так как в этом
случае через точки оси
, т.е. самой оси
не проходит ни одна интегральная кривая (кроме
. Таким образом, при
во всякой точке оси
решение существует и единственно. Формально это решение можно включить в
семейство (2.61), положив
.
3. При решении уравнения Бернулли нет необходимости пользоваться
готовой формулой (2.61). Проще превратить его в линейное уравнение,
используя подстановку (2.59), или же непосредственно использовать метод
Бернулли, отыскивая решение уравнения в виде
Пример. Найти решение уравнения .ln
.
2
xyyyx
Решение. Разделив обе части уравнения на x видим, что это уравнение
типа (2.58) при
функций
. Подставим в уравнение vuvuy
. Разыскиваем его решение в виде произведения двух
,
ln1
x
vuvu
22
vuuv
,
, получим:
39
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]