Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие

запишем преобразованное уравнение:



)(x

z

2

1





2

1



)2(n





y





dz

2

1



2



Интегрируя, получаем первый интеграл:

2



или

.)(2)(

dzzfzd 

,)(2)(

Cdzzfz 

1





.)(2

Cdzzfz 

1

Полученное дифференциальное уравнение допускает разделение переменных. Выполнив его, найдем второй промежуточный интеграл:

dz



)(2

Cdzzf





Если удалось разрешить это уравнение относительно

1

),,,(

CCxz

.

Cx



2

, то имеем

или

)2(

n





(3.49)

).,,(

CCxy

Как и в предыдущем случае (п. 3.а.1, уравнение (3.45)), полученное дифференциальное уравнение (3.49) относится к изученному типу (3.31). Таким образом, общее решение может быть получено

квадратурами.

Воспользовавшись формулой (3.30), получим общее решение уравнения (3.47):

x



C

1



)!3(

n



x

0

4

n



)(

xx



4

0

)!4(

n



y



1

б) Рассмотрим частный случай – уравнения второго порядка вида

n



3







),,()(

CdsCCssx



321

CxxC



01

nn

xx



n

.)(

3

n



)(

0





)!3(

(3.50)

),( yxfy

, (3.51)

т.е. не содержащие искомую функцию

Выполнив подстановку yxz

в явном виде.

)( , получим дифференциальное

уравнение:

dz

(3.52)



).,( zxf

Если это дифференциальное уравнение является либо уравнением с разделяющимися переменными (т.е.

уравнением (т.е.

, или приводящимся к однородному, либо

))(),( xzfzxf

либо однородным

)),()(),(

zfxfzxf

___________________________________________________________________

1

Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по

дифференциальным уравнениям

90

линейным уравнением (т. е.

)),()(),(xqzxpzxf





),),(dUdxzxf

dz









dx











1

zxz

x

uv

z



0)(x

v

)(x

v

xvxdxv

)(x

u

x





2zezz

0z

C

y



(т.е.

n

либо уравнением в полных дифференциалах (т.е.

),)()(),(

zxqzxpzxf 

то мы можем построить его общее решение, применяя

описанные в гл. 2 процедуры.

Предположим, нам удалось найти общее решение уравнения (3.52)

Это означает, что далее нам необходимо решить дифференциальное уравнение вида:

Разделяя переменные и интегрируя, получим его общее решение:

Рассмотрим примеры интегрирования уравнений вида (3.51).

Пример. Решить уравнение 1

dy



либо уравнением Бернулли

),(1Cxz

.





).,(1Cx

(3.53)

.),(

 CdxCxy

21

23



yxyx .



Решение. Вводим новую функцию yz уравнение, имеем

Это линейное уравнение первого порядка относительно p и его решение разыскиваем в виде произведения



Учитывая требования 0)(

dv

 

,

1

подставляем в уравнение для определения

,



Отсюда

du

 

C

Таким образом,

p  , и можно найти функцию y

1

x

, тогда zy

23





.

. Подставив ее в





23

uvxvuvux

vxvxu ,

.1)(



, находим функцию

:

1

3



ux

dx



,

2



u 

.1

1

C

.

1

2

1

xCy 



2 yeyy





C

.

21

2

x



.

, относительно z получим

Пример. Проинтегрировать уравнение

Решение. Применяя подстановку yz уравнение Бернулли:

решение

, откуда

Cy

1

 



dx

x

dx



,

2

ln



2

x



. Очевидно, последнее уравнение допускает

. Найдем общее решение уравнения Бернулли,

применив метод Бернулли. Ищем решение уравнения в виде произведения

91

vuz





,

.vuvu

z



.

222vueuvvuv

u

v

~

1

dx

1

121

t

e

1





x



Подставим в уравнение эти выражения, имеем:

Потребовав, чтобы одна из введенных функций удовлетворяла однородному уравнению, получим систему уравнений с разделяющимися переменными

dv

 



dx



du

 



dx



,02

v

2

x



.

vue

Интегрируя первое уравнение, получим

dv

 

 dx

Частное решение берем в виде:

,2

.



Подставим эту функцию во второе уравнение системы. Получаем

следующее дифференциальное уравнение

du

x



Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

du

u

,



2

Cdxe

1

u

Учитывая замену, получим общее решение уравнения Бернулли:

z



1



или

dy

 , .

dx

1

y

xx

2

eCe





2ln

Cxv 

xev2

.

.2ue

xx



,

uCe

11



1

x



.

Ce



,

xx

2

eCe

dx

C





2

xx

eCe

2

Преобразуем интеграл к дробному виду

и обозначим

dx

 )1()1(

x

 . Подынтегральную функцию разложим на сумму простых



xx

eCe

дробей

1

2

)1(

tCt 



A

B

2

t

D



1



1

Коэффициенты разложения найдем комбинированным методом. Из

равенства

92

x

de







tC

xx

eCe

)1()1(

11

2

 DttCBtCAt

)1(

tCt

,1)1()1(

2

DttCBtCAt



.

положив

0t

;

1B

1





1

t

1





C

y



)(x

y







tgt

z



, найдем

положив

1 Ct

, найдем

2

CD  . Далее,

приравнивая коэффициенты при получим

1

2

CACAC 

1

2

в правой и левой частях этого равенства,

.,0

Таким образом, получено разложение подынтегральной функции на

простые дроби:

C

1

)1(

2 xxxxx

1

eCe 



Вычислив интеграл

x

dx

2

e

xx

eCe



1

C



1

x



de

C

1

x

e

x

eCd



1

x

eC



1

de

x

e

)1(

получаем общее решение уравнения:



Решением уравнения является также функция

2

1

2

ee

x

C



2



xx

C

1



1

de

2

1



1)()1(





.

eC

x

eC

1

xx

.1ln

CxeCCey

211

x

ln

eC

1



,1ln

CeCCexC



2111

и это решение не

входит в семейство, описываемое общим решением.

Пример. Рассмотрим задачу геометрического характера. Найти все

кривые, кривизна которых в любой точке равна единице.

Решение. Воспользуемся известным из математического анализа

выражением для кривизны линии

и приравняем кривизну единице.

Получаем:

y

1



232





)1(

y

, или .)1(





yy



Задача привела к дифференциальному уравнению 2-го порядка вида

(3.51). Применяя подстановку zy



, получим

dz

)1(

z



232



.

Cx



1

Интеграл вычисляем с помощью замены переменной

2

,

tdtdz

cos

dz



z

22

. Получаем:

tz

cos11 

dt

2232

cos)1(

t

23

2



232

. Откуда

)1( zz 



;

.sincos)(cos

ttdtt

93

Возвращаясь к переменной

z

1Cxz



221















)1(n

t

 . Таким образом, получили общий интеграл уравнения





ttg

sin

tgt

z

22

11

z



, используем формулу

для функции z(первый интеграл)

или

dy

dx

z

2



Cx



1

.

2

)(1 Cx



1

, откуда



1

z



Cx

1



,

2

)(1 Cx

1

Интегрируя, получаем

)()(2

Cy 

2

1





2



CxdCx

11

2

)(1

Cx

1

2

.)(1

Cx

1

Возведем обе части равенства в квадрат, получим уравнение семейства

искомых кривых:

2

.1)()(

 CyCx

Искомые линии – окружности с радиусом, равным единице.

4. Уравнения, не содержащие независимой переменной. а). Общий вид таких уравнений, разрешенных относительно старшей

производной, следующий

)1()(





nn

yyyyfy

(3.54)

).,,,,(

Введем новую неизвестную функцию, зависящую от x посредством y:

.)( yyz

(3.55)

Выразим производные по x функции y через функцию z и ее производные по y. Имеем, используя правило дифференцирования сложной функции:

dz

,

z

dy

2



zd

 



dy

z



2







dz



,

z









dy









.

y

dy

dz

yd



y 



dx

dy

dx



yd





dx



dz

d



dx

z



dy



dx

dz

dy



dy

z

dx



 



d







dy



По индукции заключаем, что производная порядка n функции y выражается через новую функцию z и ее производные по y до

- го порядка включительно. Таким образом, получили выражения производных от y следующего вида:

dz



zy 

,



dy

2

zy

dy



zd





z



2



dz

dy

2

 

,

 

94

3





11n





11





n





1

1nn





const

y



C

y



0)0,,0,(C

f



),,2,1(mk













dz



dy





,4

 

dy

2

zd



z

2

3

zd

3)4(

zy

dy

3

dz

2

z

dy

(3.56)

dy

2



n



zd



.,,,

2



n

 

1



nn

zy 

dy

1



n

1)(





zd





dz



z



dy



В результате подстановки выражений (3.55), (3.56) в уравнение (3.52),

оно преобразуется к виду



2

n



zd



,,,,

n

dy

, (3.57)



2

 

dy



1

n

zd



1

n

 



 

dz

zyF



dy

где

dy

2



n





zd



.,,,,,,,



2



n









 

 

dz

zyF 

dy

2



n

2



n





zd



  



dz



z



dy



2



n



zd

,,,,



  





1



12



nn



zdy



dz



zyf



dy



Полученное уравнение (3.57) имеет порядок, на единицу меньший порядка дифференциального уравнения (3.54). Если, интегрируя уравнение (3.57), удастся найти общее решение

CCyz

),,,(

,

то, возвращаясь к исходной функции y, получим уравнение:

CCyy

),,,(

. (3.58)

Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения (3.54), выраженный в квадратурах





dy

(3.59)

.

Cx



),,,(

CCy

В заключении отметим следующее. Принимая y за независимую переменную в (3.55), мы могли потерять решение вида уравнении (3.54) нужно положить

Если это уравнение имеет корни решения вида

)(k

Cy 

. В результате получим

)()1(

,,mCC

, то уравнение (3.54) допускает

, которые могут оказаться особыми

. Поэтому в

решениями.

Далее, особые решения уравнения (3.57) могут привести к особым

решениям уравнения (3.54) в силу подстановки (3.55). И, наконец, особые решения могут возникать при интегрировании уравнения (3.59).

1

)б . Рассмотрим частный случай – уравнения второго порядка, не

.

содержащие независимое переменное:

).,( yyfy

(3.60)

____________________________________________________________________

1

Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по

дифференциальным уравнениям.

95





откуда

1





dx

1





0z





C

y



Выполним подстановку

dz



zy 

. В результате подстановки уравнение (3.60) примет вид

dy

),()( xyyz

(3.61)

dz

z 

dy

(3.62)

).,( zyf

Решая уравнение (3.62) найдем общее решение ),( первым интегралом (3.61).

Используя (3.61), получаем дифференциальное уравнение

dy



 . (3.63)

),(1Cy

Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл уравнения (3.60)

dy

.







),(CxCy

2

Пример. Найти решения уравнения







Решение. Это дифференциальное уравнения 2-го порядка, не содержащее независимой переменной. Полагая ),( yzy

dz



независимую переменную, имеем:

zy 

. Уравнение принимает вид:

dy

Cyz

, являющееся

222



.)13()1(

yyyyy

т.е. принимая y за

Отсюда видно, что

dz

yzy 

dy

, т.е. 0

y и

222

.)13()1(

zy

, является решением

уравнения. Разыскиваем ненулевые решения уравнения для z;

dz

yy 

dy

22

.)13()1(

zy

Разделяя переменные, получим:

2

13

dz



 

z

y



2

yy



)1(

dy

.

Разложим подынтегральную функцию в правой части равенства на простые дроби:

2

13

y



yy



A



y

DBy





22

1)1(

y



2

)1(

yy



)()1(

DByyyA



.

Отсюда, приравнивая числители, получим равенство:

222

.13)1(

 yDyByyA

96

Полагая

0y

.1A

.4,0,

3





BDB

A



2

1

2

C

y



~

1

0y

2

~

1)0

(y





1







dx

2

y , получим:

Итак, разложение имеет вид:

Подставив разложение под интеграл, имеем:

, получаем

y

Приравнивая коэффициенты при y и

2

13



)1(

yy





2lnln

yz

y

2

ydy

2



1

y

41

y



1

.

22

y



2



)1(

yd



2ln

y





1

,

2

y

Отсюда получаем:

Итак, первый интеграл уравнения получен. Интегрируя еще раз, найдем общий интеграл:

или

где

2~CC  ,

если положить

Пример. Найти решение задачи Коши:

1 2

C

2



. Решение

0

zy



ydy

y

2



, или

22

)1(Cy

22

)1(

1



,



CdxC



1

y

21

2



1



2

1



1

,

~~

CxC



yy

1

Cyyz 

)1(Cy

2

y

.ln)1ln(2lnln

1



22

2~CC  . Из общего интеграла решение

получается при 







yyyy

C .

.1)0(,1)0(,14 

.

1

,

CxC



21

получается,

Решение. Это уравнение не содержит х и, следовательно, относится к

типу (3.54). Делая замену





),(

получим



zdz

 

dy

y

,4

2

Подставляя начальные данные Поскольку 01)0(

y , то

dy

4

y

 , .

4

yz  . Имеем

dy

4

y

97

dz



и подставляя в уравнение,

zyyzy 

dy

2

,222

Cyz 

1

,



zy

4

3

4

3

Cyz  .

1

найдем

,1)1()0(

Cxydx



2

C

.

0

Подставляя 0

0



,1)0(y

3

















32236

x

2



24



18

3



2

1





221

2

1

x



1

x ,

получим

3



3

1

 xy



4



C , после чего найдем у

2

4



.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка. Как эта теорема формулируется для уравнения 2-го порядка.

2. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида

4

. Напишите формулу общего решения уравнения )(xfy

)()(xfyn

Приведите пример.

3. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида

. Приведите пример.

),( yxfy

4. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида

. Приведите пример.

),( yyfy

5. Напишите пример линейного дифференциального уравнения.

Задачи для практических занятий и самостоятельного решения

1. 2)1(,1)1(,

ln

2.

3. .cos xxy

4. .ln2 xxy

y

x



2



Ответ:

yyxy . Ответ:







yyy

Ответ:

.2)1(,1)1(,0)1(,



4

x

y 

y 

3

x

ln

5

.

3

x

y

x

y

2

1

3

 x

.

2

ln

CxCxx

21

3

22

.sin

CxCxCx

32

.

1

2

.

 xxx

5. yyxx

ln . Ответ:

6. .yyx



7. yxyx

8. .ln



Ответ: .

2





yyx





)21(

. Ответ: .

y

Ответ: .)(

1

98

2

CxCy 

2

x



2

x

1



C

1

)( CeCxCy

.



CeCy

x

1



C

1

CeCxCy



2

9.

5

11x









1

2





10.

2



x

y



y





x





y

2



)(12 yyy



. Ответ:

2

)1(,2



5



yy

2

Ответ:

)1(,

.



2



1



C

1

 

1



y



4

2

25

.

xy 

2



)(

CxC

21

.

 



11. .1)0(,1)0(,2



12. .2)0(,1)0(,42

3









42









yyyy Ответ:



yyyyyy

Ответ:



13. )0,0(ln





22



Ответ:

14. )1( yyy

15. ).1( yyyy

. Ответ: .)exp(1ln

Ответ: )1(

y











5

8

  

15

  





yyсчитаяyyyyy .



1

 





y

 





4



1 5



exp



2

 

 

1

y  .

C

23

 



32

)115(

xy

22

2

22

x



2

CeC

x

eC

2

xC

1

eC

2

.

2

4



.

5



1



.

 

CxCy 

12



интегралобщийCxy

.1

xx

2



lnln2ln

илиyyeCeCyC

C



Cx

2



.



1



4



y



x

.

2

)2(

16. .1

17.







2



yyy



Ответ:



chCy

1





 

)0(,1)0()0(,3 

3

Ответ:

.







yyyyyy

4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в теории дифференциальных уравнений занимают важное место не только потому, что представляют собой простой и хорошо изученный тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи физики, механики, техники и особенно электротехники приводят к решению этих уравнений.

1. Основные понятия

Определение. Уравнение вида

),()()( xfyxqyxpy

(4.1)

99