Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
путем
n
1n
n
2
1
n
D
n
2
1
0
n
2100n
2100n
0
1
n
0
1
0
2
0
1
1
0
D
n
1
0
)(x
y
1n
0
исключением параметров из полученной системы
кратного дифференцирования уравнения (3.16) с последующим
уравнений.
Таким образом, можно считать, что общее решение дифференциального
уравнения n-го порядка должно содержать n независимых параметров
CCC ,,,
.
Общим решением дифференциального уравнения
-го порядка
называется функция вида (3.15), зависящая от n независимых переменных,
из которого при соответствующих значениях этих параметров могут быть
получены все решения уравнения, кроме особых.
Приведем более подробное определение, в котором “расшифрованы” все
условия, содержащиеся в выше приведенном.
Пусть
- область в каждой точке которой задача Коши для
уравнения (3.15) имеет единственное решение. Функция (3.16), где
CCC ,,,
- произвольные постоянные, называется общим решением
уравнения (3.15) в области D, если:
1) функция имеет непрерывные частные производные по x до n-го
порядка включительно;
n
2) для любой точки DyyyxM
система
0000
)1(
n
)1(
n
)1(
),,,,(
),,,,(
CCCxy
,
),,,,(
CCCxy
, (3.17)
уравнений
),,,,(
210
CCCxy
n
единственным образом разрешима относительно :,,
n
yyyxC
n
yyyxC
n
yyyxC
3) функция
0
0
0
nn
00
),,,(
CCx
является решением уравнения (3.15) при
n
0001
0002
000
любых значениях произвольных постоянных
)1(
n
0000
yyyxM принадлежит области
),,,,(
Замечание. Если в формуле общего решения (3.16) роль произвольных
постоянных
функции
CC ,,
играют начальные значения
и ее первых
производных )(,),(
некотором фиксированном значении аргумента
принимающая вид
CC
)1(
),,,,(
,
)1(
),,,,(
, (3.18)
)1(
),,,,(
;
00
,,nCC
, когда точка
.
n
,,,
00
xx
, то формула (3.16),
yyy искомой
при
)1(
n
)1(
xyxy
80
)1(
0
2
1n
n
1
:
1
1
n
n
1
n
1n
z
1
1
1
.0
z
000
n
yyyxxy
),,,;,(
, (3.19)
называется общим решением в форме Коши.
Интегрируя уравнение (3.15) редко удается получить решение,
зависящее от n произвольных параметров, в виде (3.16). В большинстве
случаев n - параметрическое семейство интегральных кривых получается в
неявном виде (в виде, не разрешенном относительно неизвестной функции y):
0),,,,,(
CCCyxФ
. (3.20)
Такая форма решения называется общим интегралом уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения (3.15) называются
решения, полученные из общего решения при частных числовых значениях
произвольных постоянных
констант равны
CC ,,
, включая случай, когда значения этих
00
),,,(
CCxy
.
n
Аналогично вводится понятие частного интеграла – это решение в
неявном виде, полученное из общего интеграла (3.20) при частных значениях
параметров
0
,
CC
1
,
0
CC :
00
0),,,,(
CCyxФ
n
. (3.21)
Особым решением называется такое решение уравнения, в каждой
точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.
Уравнение
го порядка (3.15) может иметь семейство особых
решений, зависящее от произвольных постоянных, число которых может
доходить до
.
Пример. Найти решения дифференциального уравнения второго
порядка yy
Решение. Введем новую неизвестную функцию )()( xyxz
zy
. Выраженное через новую функцию дифференциальное уравнение
2 .
. Отсюда
будет эквивалентно системе уравнений с разделяющимися переменными:
dz
dx
dy
.
dx
,2
z
z
Из первого уравнения системы получим:
1
dz
2
zdx
,
)0(
Cxz ,
Другим решением этого уравнения является функция
2
)( Cxz при
Cx
.
Подставим найденные функции во второе уравнение. Получим
совокупность уравнений
81
dy
3
C
y
1
1)0
(y
1
2
1
3
dx
2
Cx
1
dy
.0
dx
Интегрируя эти уравнения, будем иметь:
1
3
1
,)(
.);()(
12
CyCxCCxy
Таким образом, семейство решений
решения уравнения ни при каких значениях постоянных
не получается из общего
C и 2C . Каждая из
линий этого семейства является особым решением уравнения.
Итак, для данного дифференциального уравнения получено общее
решение – двухпараметрическое семейство интегральных кривых, а также
построены особые решения.
Пример. Для дифференциального уравнения, заданного в предыдущем
примере, найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
, .0)0(
y
Решение. Из общего решения уравнения и его производной получим
систему уравнений для нахождения постоянных
1
)0(
3
3
)(
1
CCxy
2
,0
x
)0(
dy
dx
2
))(
Cx
1
;0
x
CC
C и 2C :
.1,0
1
3
3
C
1
CC
1
2
;0
,1
2
Подставляя найденные постоянные в формулу для общего решения,
получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
3
x
y
.1
3.3. Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах.
Уравнения, допускающие понижения порядка
1. Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка (3.15) имеет
решение, вовсе не следует, что решение выражается в квадратурах. Это
замечание относится даже к уравнениям первого порядка. В этом параграфе
будут указаны некоторые виды уравнений n-го порядка, общий интеграл
которых, (или общее решение) можно найти при помощи квадратур.
Интегрирование таких уравнений будет осуществляться сведением к
уравнениям низшего порядка. При такой процедуре порядки промежуточных
82
дифференциальных уравнений постепенно понижаются, а число входящих в
2
1
)(x
),(ba
dx
1
),(ba
x
0
),(ba
них параметров
,,
CC (“произвольных постоянных”) – увеличивается.
Интегрирование уравнения будет закончено когда получается общий интеграл
CCyxФ
1
n
, не содержащий производных искомой функции и
0),,,,(
включающий n произвольных постоянных.
Ниже будем рассматривать неполные уравнения, т.е. уравнения вида
(3.15) но такие, в которых функция, стоящая в правой части, зависит только от
некоторых аргументов.
2. Уравнение, содержащее старшую производную неизвестной функции
и заданную функцию от x.
а) Рассмотрим решение уравнения (3.15) в том случае, когда в правой
части функция зависит только от x, то есть уравнения вида
n
, (3.22)
)()(xy
где, функция
непрерывна в некотором интервале
производную в форме
откуда
где
C - произвольная постоянная,
из промежутка
n
. Рассуждая аналогично, находим
)2(
n
x
)3(
x
n
x
0
x
x
s
2
x
0
n
x
0
)(
dssdsy
11
x
0
s
2
x
0
C
1
n
. Представляя
x
x
0
s
3
0
)1()( nn
yy , можно записать уравнение (3.22) так:
)1(
n
dy
x
)1(
n
s
2
x
0
x
0
s
2
)(
x
0
dssdsdsy
1123
),(
x
(3.23)
,)(
Cdxxy
1
,
x - любое фиксированное число
,)()(
CxxCdssdsy
201112
C
1
2
2
0
(3.24)
C
)(
dssdsy
11
)!1(
1
)!2(
n
1
)(
xx
0
)(
xx
0
C
2
n
C
2
)!2(
2
)!3(
n
2
nn
0
0
3
nn
,)()(
CxxCxx
Cxx
n
302
,)(
1
.)()(
CxxCxx
01
nn
83
Последняя из формул (3.24) содержит все решения уравнения (3.22) в
bxa
y
2
1
n
0
2
20210
21
1
2
области
,
,
y ,
представляет собой общее решение уравнения.
З а м е ч а н и е. Функция
x
s
2
,
y и
)1(n
x
0
x
0
n
dssdsxY
)()(
(3.25)
11
является частным решением уравнения (3.21), поскольку получается из общего
решения при 0
CCC
.
Выражение для функции (3.25) можно упростить, если воспользоваться
следующими соображениями. Введем следующую последовательность
функций
x
x
0
x
x
x
x
,
dssxxK
)(),(
1101
s
2
,)()(),(),(
dssdsdsdssdsxsKxxK
x
0
00200
112211202102
,)(),(),(
dsdsdssdsxsKxxK
3211303203
xsx
x
s
x
x
3
x
0
00
x
s
2
x
0
x
(3.26)
x
nnnn
x
x
x
0
01
dsxsKxY
,),()(
nnn
x
x
0
s
1
n
nn
x
00
s
2
,)(),(),(
dssdsdsdsxsKxxK
x
0
1121101201
где индекс у K-функций нумерует число квадратур в формуле, определяющей
эти функции.
Упростим сначала формулу для функции ),(
xxK , рассматривая
последнее интегральное выражение в этой формуле как повторный интеграл,
равный соответствующему двойному интегралу по области
, на плоскости
x
x
xsxssxD
s
2
x
00
D
21
OSS (см. рис. 10):
.)()(
dsdssdssds
211112
(3.27)
84
Область интегрирования ),(
0
2
210
1
202
0
2
1
0
3
3
31
3
1
21
2
1
0
2
xxK . Область ограничена линиями:
,,
ssxs
.,
xsxs
s
x
0x
0
ss
x x
D
s
Рис. 10
Двойной интеграл в правой части равенства (3.27) запишем в виде
повторного интеграла, но с измененным порядком интегрирования
относительно повторного интеграла в левой части этого равенства. Имеем:
x
x
x
x
x
.)()()()()(
ssdsdssdsdsdss
211211211
xD
s
x
Таким образом, выражение для функции ),(
s
1
x
001021
xxK записывается в виде
dsssx
111
одной квадратуры
x
dsssxxxK
02
x
0
где переобозначили переменную интегрирования ss
Для функции ),(
xxK упрощенное выражение получаем в результате
выполнения аналогичных процедур на плоскости OSS
s
x
x
3
где область
D -та же , что на рис. 10, с переобозначением осей координат.
Вычислив интеграл по
квадратуры:
x
x
x
x
s , получим выражение для функции 3K в виде одной
x
0
00
031
(3.28)
,)()(),(
.
:
)()(),(),(
dssssdsdsxsKxxK
33303203
x
sD
,)()()()(
dssssdsdsdssss
3332
85
Дальнейшее применение описанного выше алгоритма приводит к
1!0
0
),(ba
),(ba
x
k
),,2,1(nk
)1(n
0
0
0
0
выражениям:
x
1
),(
04
32
x
0
3
)(
xY
Таким образом, общему решению (3.24) уравнения (3.22) с учетом (3.29)
можно придать следующий вид:
x
1
y
n
)!1(
x
0
x
1
n
C
)!1(
x
0
xx
2 nn
0
n
x
1
),(
03
,)()(
dsssxxxK
2
x
0
n
x
1
)!1(
n
x
0
1
n
)()(
2
),(
xxK
01
1
n
n
Cdsssx
k
1
k
.)()(
dsssxxxK
x
1
)!2(
n
x
0
(3.29)
.)()(
dsssx
xx
kn
)(
0
kn
)!(
2
n
,)()(
dsssx
(3.30)
1
n
)(
1
n
2
n
)(
)()(
Cdsssx
1
)!2(
xx
0
n
)!1(
,)(
CxxC
01
где, как известно,
,
C
,
x - произвольная фиксированная точка из
- произвольные постоянные. Еще раз подчеркнем –
общее решение (3.30) дифференциального уравнения (3.22) содержит все
решения этого уравнения.
Формула (3.30), представляющая общее решение уравнения (3.22),
позволяет найти решение с любыми начальными значениями искомой
функции и ее производных до
- го порядка включительно.
Пусть задана задача Коши
где
n
, (3.31)
)1(
000
n
,,,),,(
yyybax
- произвольные заданные числа.
)()(xy
)1(
)1(
0000
n
0
n
yxyyxyyxy
,)(,,)(,)(
Для определения значений постоянных положим в формулах (3.23),
(3.24) и (3.30)
и производных при
xx
и подставим в левые части соответствующие значения y
xx
из (3.31). Из формулы (3.23) получаем:
,
86
x
2
1
003
n
0
n
0
k
1
002
001
n
0
n
0
x
y
0)0
(y
x
y
1k
)(x
y
0
)1(
n
0
x
0
1
0
1
)1(
n
(3.32)
yCCdxxy
,,)(
0
где использовали равенство нулю определенного интеграла с одинаковыми
верхним и нижним пределами интегрирования.
Первое из выражений в формулах (3.24) позволяет найти
C
x
0
)2(
n
0
xsx
020
2012
0
2
)2(
n
(3.33)
yCCxxCdsdssy
,,)()(
0
остальные формулы этого блока определяют постоянные
)3(
n
Последнюю константу найдем аналогично из формулы (3.30): .
, yCyC
0
. (3.34)
0
0
yC
Таким образом, найдены все значения постоянных, входящих в решение
уравнения. Собирая результаты вычислений (3.32)-(3.34), имеем:
)(
kn
0
, или в подробностях:
),,1(
nkyC
)1(
)2(
nn
.
0
yCyCyC
0
,,,,
0
yC
(3.35)
Решение задачи Коши (3.31) получаем подстановкой найденных
постоянных (3.35) в общее решение (3.30) уравнения (3.22):
x
y
n
)!1(
x
0
1
1
n
)()(
n
k
ydsssx
0
1
)(
kn
kn
)(
xx
0
kn
(3.36)
.
)!(
З а м е ч а н и е. Иногда функцию (3.36) называют общим решением
)1(
уравнения (3.22) в форме Коши. Однако в этом случае числа
00
n
,,,
yyy
в
формуле (3.36) являются произвольными постоянными.
1
. Рассмотрим частный случай – уравнения второго порядка вида
б
)(xy
. (3.37)
Пример. Среди всех интегральных кривых уравнения xy 6
ту, которая в начале координат касается прямой
.
выделить
1. Решение. Поскольку искомая интегральная кривая должна
проходить через начало координат, то
Прямая
искомой линии
с угловым коэффициентом
в начале координат. Поэтому, 1)0(
- является первым условием.
должна быть касательной к
y . Таким образом,
получили задачу Коши
yyxy
.1)0(,0)0(,6
________________________________________________________________
1
Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по
дифференциальным уравнениям
87
Введем новую функцию )()( xyxz
dx
dx
1
1)0
(z
0x
1)0
(z
1
.13
x
z
0)0(,
0
y
x
2
)(m
n
1mn
)(x
y
1)(m
n
. Тогда yz
. Заданное
дифференциальное уравнение сводится к следующей системе
дифференциальных уравнений 1-го порядка:
dz
x
dy
.,6 z
Решение первого уравнения имеет вид .3)(
то
. Подставим в полученное решение
Решаем второе уравнение, подставив в его правую часть
Полагая,
уравнения: xxy
2
, получим 0
3
.
,)13( CxxyCdxxy
2
C . Искомая интегральная кривая
2
Cxxz Поскольку yz
,
3
, получим 1
2
.
2
2. Уравнение, не содержащее искомой функции и уравнение, не
содержащее искомой функции, и нескольких первых производных.
В этом разделе будут рассмотрены несколько типов уравнений,
допускающих понижение порядка.
а) рассмотрим дифференциальное уравнение вида
)1()1()()(
nmmn
nmyyyxfy
(3.38)
),11(),,,,(
причем, производная m-го порядка обязательно входит в уравнение.
Введем новую неизвестную функцию
)(m
.)(
yxz (3.39)
,
C .
Получим:
Тогда
zy
, zyzy
)()( mnn
mmnn
)1()1()1(
,,
и уравнение
(3.38) запишется в следующем виде
)1()(
mnmn
zzzxfz
. (3.40)
Это уравнение
,,,,(
-го порядка . Введением замены (3.39) удалось
понизить порядок уравнения на m единиц.
Пусть интегрируя уравнение (3.40), мы нашли его общее решение
CCxgz
),,,(
. (3.41)
В силу (3.39) это означает, что получено уравнение для функции
вида:
m
CCxgy
),,,(
. (3.42)
Уравнение (3.42) относится к типу, уже изученному в п. 2 настоящего
параграфа. Применяя метод, развитый для решения уравнения (3.31), получим
формулу для общего решения уравнения (3.38) (аналог формулы (3.30)):
88
x
dx
)(x
z
1
.2dx
z
dzdxz
y
m
)!1(
x
0
C
1
1
mn
m
1
m
1
m
)(
xx
0
)!1(
1
),,,()(
dsCCsgsx
mn
.)(
CxxC
01
nn
Отдельно рассмотрим два частных случая уравнения вида (3.38).
а. 1. Рассмотрим уравнение вида:
)1()(
. (3.44)
nnyfy
)(
(3.43)
Применяя подстановку
)(nyxz , получаем уравнение первого
)1(
порядка:
dz
).(zf
Интегрируя, находим первый интеграл уравнения:
dz
.
Cx
)(
zf
1
Предполагая возможным разрешение этого уравнения в элементарных
функциях относительно
, получаем
),(1Cxz
или
)1(
n
(3.45)
).,(
Cxy
Полученное уравнение относится к изученному типу (3.31). Используя
формулу для общего решения (3.30), получим:
x
y
1
n
)!2(
x
0
2
n
),()(
CdsCssx
21
xx
n
2
n
)(
0
)!2(
01
Формула (3.46) дает общее решение уравнения (3.44).
а. 2. Еще один тип уравнений, разрешаемых в квадратурах и
представляющих собой частный случай уравнения (3.38), имеет вид:
)2()(
. (3.47)
nnyfy
)(
(3.46)
.)(
CxxC
nn
Применяя подстановку
)(nyxz , получаем дифференциальное
)2(
уравнение второго порядка:
)(zfz
. (3.48)
Уравнения такого вида встречаются в механике при изучении движения
материальной точки. Понижение порядка уравнения до первого проводится
следующим приемом. Умножим обе части равенства (3.48) на
Учитывая, что
22
)())((2 zddxzdxzz
,
,
89
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]