Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
dx
2
1
1
1
2
2
dx
dx
2
1
L
1
1
2
2
21212
1
1
1
2
2
)(xF
k
L
)(xY
k
F
11
F
22
F
mm
L
L
)(xY
Рис. 12
Принцип суперпозиции имеет эмпирическое происхождение. Например,
в теории тяготения согласно этому принципу гравитационное поле,
возбуждаемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. И кроме
того, гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно
геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в
отдельности.
Подобное поведение физических систем наблюдается в оптике,
радиотехнике, теплотехнике и при изучении колебаний ряда механических
систем.
Частным случаем этой теоремы является нижеследующая теорема,
широко используемая в расчетах электрических цепей и в теории колебаний.
Теорема 8. Если система линейных уравнений
dY
)()()(
xiFxFYxA
,
21
где i- мнимая единица,
действительными функциями
)()()(
xYxYxY
,
1
ij
действительная часть решения
)(xa
,
)(xu
i
)1(
yyxY
)(1xY
11 n
,
i
)(
n
),...,colon()(
,
и его мнимая часть
соответственно являются решениями уравнений
dY
1
Доказательство. По условию
оператор (5.24). Докажем, что
xFYxA
11
)()(
,
][ FYL
dY
2
][ iFFYL
,
линейности оператора L, получаем
Учитывая определение равенства комплексных чисел, имеем
][ FYL
.
Теорема 9. Если
n
)()(xY
является решением линейной неоднородной
системы
FYL][
, (5.50)
)(xv
][ FYL
),...,colon()(
uuxF
),...,2,1,( nji
2
,
)()(
xFYxA
22
, где
имеет решение
.
12 n
)1(
n
yyxY
- линейный
. Действительно, в силу
][][][ iFFYiLYLiYYL
vvxF
)(
),...,colon()(
, то
.
][ FYL
),...,colon()(
с
)(2xY
,
140
)0(
dx
i
)(
а
сумма
xY
- решением соответствующей однородной системы
)(xYn
)(
)0(
)(
xY
также будет решением неоднородной системы
(5.22).
Доказательство. По условию теоремы
нулевой вектор. Покажем, что
n
линейность оператора L, будем иметь:
Таким образом, теорема доказана.
Теорема 10 (об общем решении неоднородной системы). Общее
решение на отрезке
],[ bax
неоднородной системы (5.22) с непрерывными на
][YL
, то
n
)(
FYL
][
и
)0()(
FYYL
][
. Действительно, используя
nn
)0()()0()(
)0(
YL
.][][][
FFYLYLYYL
][
, где -
],[ ba
коэффициентами
сумме общего решения
системы (
частного решения
)(xY
- линейно независимые решения однородной системы) и
i
чн
)(xa
и непрерывными правыми частями
ij
n
)(
)(xY
рассматриваемой неоднородной системы.
i
YCxY
, соответствующей неоднородной
iioo
1
i
)(xf
равно
Доказательство. Как отмечалось выше, достаточными условиями
существования и единственности решения нормальной системы
дифференциальных уравнений
dy
k
с начальными условиями
f
в окрестности начальных данных и ограниченность
k
1
)(
yxy
nk
, являются: непрерывность всех функций
00
kk
для нормальной линейной системы с непрерывными
выполняются при
],[ bax
. Поэтому для доказательства сформулированной
теоремы достаточно показать, что подбором постоянных
n
YYCY
i
1
условиям
ii
можно удовлетворить произвольно заданным начальным
чн
),...,,colon()(
yyyYxY
.
0201000 n
),,...,2,1(),...,,(
nkyyxf
k
. Очевидно, что
yf
k
)(xa
и
ij
)(xf
эти условия
i
C в решении
Покажем, что векторное уравнение
n
)()( YxYxYC
i
ii
1
чн
или эквивалентная система алгебраических линейных по
000
C
i
),...,1( ni
уравнений
141
n
i
имеет решение
i
1
n
i
1
чнii
чнii
n
i
1
)0(
,...,nCC
1
)0(
, при любых правых частях
yxyxyC
,)()(
100101
yxyxyC
,)()(
200202
(5.51)
yxyxyC
)()(
nчнnnii
000
чнкk
)(00xyy
системы
(5.51). Но определитель этой системы равен определителю Вронского в точке
xx
. Для линейно независимых решений
0
YYY ,...,,
соответствующей
21
n
однородной системы он отличен от нуля. Следовательно, система (5.51) имеет
решение
)0(
1
,...,,
2
)0(
CCC
при любых правых частях. Теорема доказана.
n
)0(
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
В том случае, когда удалось найти общее решение однородной системы
линейных уравнений, соответствующей заданной неоднородной системы, для
нахождения частного решения последней (а вместе с тем и общего ее решения)
применяется метод Лагранжа.
Теорема 11. Пусть на сегменте
непрерывны (т.е. матричные элементы )(xa
непрерывны при
],[ bax
). Пусть известна фундаментальная система
],[ ba
матрица
и координатные функции
ij
)(xA
и вектор
)(xF
)(xf
i
решений для соответствующей однородной системы уравнений
)()()( xYxAxY
. Тогда общее решение неоднородной системы уравнений
)()()()( xFxYxAxY
может быть найдено с помощью квадратур.
Доказательство. По условию теоремы фундаментальная система
решений однородной системы известна; т.е. известны функции
),(),(),(
xzxzxz
11211
n
),(),(),(
xzxzxz
22221
n
Решение неоднородной системы
будем искать в виде
где
)(xC
i
Отметим, что при постоянных
).(),(),(
)()()(
n
i
xzxzxz
nnnn
xfxyxay
)()()(
kikik
1
),...,2,1( nk
, (5.52)
21
1
i
),...,2,1( ni
- некоторые непрерывно дифференцируемые функции.
xfxzxCy
kikik
C формула (5.52) дает общее решение
142
),...,2,1( nk
однородной системы.
)(x
W
)(x
W
Подставим (5.52) в уравнения системы. Получим
n
i
iiki
n
j
1 11
n
xfxzxCxaxzxCxzxC
),()()()())()()()((
kijikjik
i
),...,2,1( nk
.
Изменив порядок суммирования в правой части этого равенства,
получим
n
i
iiki
n
i
1 11
n
xfxzxaxCxzxCxzxC
),()()()())()()()((
kijkjiik
j
),...,2,1( nk
.
Запишем последнее равенство в виде
n
1 1 1
i
Принимая во внимание, то что
n
i
n
j
ik
),()()()()()()(
xfxzxaxzxCxzxC
ijkjikiiki
)(xz
- фундаментальная система
k
),...,2,1( nk
.
решений однородной системы уравнений, видим: выражение в квадратной
скобке во второй сумме равно тождественно нулю. В результате мы приходим
к следующей алгебраической системе уравнений для определения производных
)(xC
i
n
i
1
iki
),()()(
xfxzxC
k
),...,2,1( nk
или в развернутом виде
2211
nn
nn
),()()()()()()(
xfxCxzxCxzxCxz
11212111
),()()()()()()(
xfxCxzxCxzxCxz
22222221
(5.53)
).()()()()()()(
xfxCxzxCxzxCxz
nnnnnn
Определителем этой линейной системы уравнений является
определитель Вронского, который, в силу линейной независимости функций
)(xz
, отличен от нуля при ],[ bax
ik
.
Решая систему (5.53) методом Крамера, получим
где
- определитель Вронского (5.33),
дополнение элемента
)(xz
вронскиана
ik
k
n
xfxC
)()(
ki
1
xW
)(
ki
xW
)(
),...,2,1( ni
, (5.54)
)(xW
ki
- алгебраическое
. Отметим, что для удобства в
формуле (5.54) вспомогательные определители разложены по столбцу из
свободных членов
)(1xf
,
2
)(),...,(
xfxf
.
n
Интегрируя (5.54), находим:
x
k
n
1
xfxC
)()(
ki
x
0
xW
)(
ki
xW
)(
cdx
i
),...,2,1( ni
. (5.55)
143
Подставив эти значения
).
dx
2
1
2
1
2
1
2
1
n
1 11
i
x
n
j
x
0
)(xC
в формулу (5.52), получаем:
i
)(
xW
ji
)()()(
xfxzxy
jikk
)(
xW
n
i
,)(
xzcdx
iki
,...,2,1( nk
(5.56)
Формулы (5.56) определяют общее решение линейной неоднородной
системы дифференциальных уравнений. Первые выражения в (5.56) дают
частное решение неоднородной системы, а вторые выражения – общее
решение соответствующей однородной системы уравнений.
Таким образом, задача интегрирования линейной неоднородной системы
сводится к задаче построения фундаментальной системы решений
соответствующей ей однородной системы уравнений и последующего
нахождения квадратур.
Пример. Найти общее решение неоднородной системы
dy
z
,
dz
dx
1
y
2
x
x
ln
,
если известно общее решение соответствующей однородной системы
xx
,
21
eCeCy
xx
.
eCeCz
Решение. Общее решение неоднородной системы ищем методом
вариации постоянных:
xx
Функции
)()(
)(1xC
и
)(2xC
определяем из системы уравнений:
xx
exCexC
exCexCy
,
,
0)()(
21
1
xx
exCexC
)()(
x
xx
.)()(
exCexCz
(*)
x
ln
2
.
Разрешим полученные уравнения относительно неизвестных функций
)(1xC
и
)(2xC
. Складывая эти уравнения, а затем вычитая из первого второе,
получим:
xdC
Отсюда
1
dx
xdC
)(
1
2
)( cdxx
2,1
1
x
e
1
2
ln
2
x
x
exC
x
)(
x
,
1
ln
2
2
dx
1
2
,
2,1
1
x
e
2
x
x
ln
.
где
c
частям
Подставляя вычисленный интеграл в выражение для
- произвольные постоянные. Используя метод интегрирования по
2,1
vduuvudv
x
e
, получим:
1
dx
2
x
,
1
xx
,
,
xx
dxedueu
ln,
xvdxxdv
e
144
dxedueu
12
xvdxxdv
x
x
x
e
x
1
x
dx
e
x
xx
lnln
cdxxexe
.
1
)(1xC
и проделав
аналогичную процедуру с интегралом, входящим в
2
1
x
A
),(ba
AY
Y
)(2xC
, получим:
1
)( cx
2
1
x
exC
x
ln
11
,
1
)( cx
2
1
x
exC
x
ln
.
22
Найденные функции подставим в выражения (*). То есть, общее решение
системы записывается в виде:
1
xx
xx
xececy
ln
,
ececz
21
.
5.5. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера построения
фундаментальной системы решений
В данном разделе изучаются линейные системы дифференциальных
уравнений вида (5.15), сокращенная форма записи которых следующая
dy
или
)(xFAYY
.
Здесь постоянные вещественные коэффициенты
элементы матрицы
),...,2,1( nk
- непрерывные в
dx
n
k
i
,
1
k
iki
1 n
),...,colon(
yyY
,
),...,2,1()(
nkxfya
(5.57)
a
ki
),...,colon()(
ffxF
1 n
,
функции.
),...,2,1,( nik
-
)(xf
k
Из общей теории линейных систем уравнений, изложенной в
предыдущих параграфах этой главы, следует существование решения этой
системы и единственность решения начальной задачи. Здесь мы покажем, что
систему (5.57) можно проинтегрировать в конечном виде, выражая решение
либо через элементарные функции, либо в квадратурах.
В п. 5.5 было показано, что интегрирование неоднородной линейной
системы приводится к интегрированию соответствующей однородной
системы. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений можно
найти методом вариации постоянных, если известна фундаментальная система
решений соответствующей однородной системы
dy
dx
n
k
i
iki
1
),...,2,1(
nkya
, (5.58)
или
. (5.59)
Ниже будет показано, что фундаментальная система решений может
быть построена из элементарных функций, непрерывно дифференцируемых в
интервале
),(
.
Построение фундаментальной системы решений и общего решения
однородной линейной системы.
Частное решение системы (5.58) будем искать в виде
145
xx
k
k
2211
,...,,
x
eyeyey
(5.60)
nn
или, что тоже самое, в векторной форме
x
eY
где
,...,,
21
и - некоторые постоянные, причем числа
n
равны нулю одновременно (при
21
21 n
),...,,colon(,
, (5.61)
0...
получили бы нулевое
n
,...,,
21
n
решение, которое не может входить в фундаментальную систему решений).
Необходимо найти постоянные
x
ey
удовлетворяли системе (5.58) .
kk
...,,,
21
и
n
так, чтобы функции
Подставляя в векторное уравнение (5.58) искомое решение (5.61) и
учитывая
x
eY
, находим
xx
Aee
, или
)( EA
, (5.62)
не
где
)0,...,0,0colon(
,
)1,...,1,1(diagE
.
Равенство (5.62) показывает: функция (5.61) является решением
рассматриваемой однородной системы в том случае, когда - собственное
число матрицы, - принадлежащий этому собственному числу собственный
вектор этой матрицы.
В координатной форме уравнения (5.62) представляет собой однородную
систему линейных уравнений вида
aaa
1212111
nn
,0)(
aaa
2222121
nn
2211
aaa
nnnnn
,0)(
.0)(
(5.63)
Отметим, что систему (5.63) можно получить и непосредственно, минуя
операции в матричной форме, если подставить функции (5.60) в уравнения
(5.58).
Будем искать решения отличные от нулевого. При этом определитель
системы (5.63) должен быть равен нулю, то есть
aaa
EA
11211
n
aaa
22221
n
0)(
. (5.64)
21
nnnn
aaa
Алгебраическое уравнение (5.64) называется характеристическим
уравнением для системы типа (5.58) с постоянными коэффициентами
Среди корней характеристического многочлена с действительными
коэффициентами в правой части (5.64) могут быть:
1) простые действительные корни
2) кратные действительные
корни
146
),...2,1(, nii
;
кратности
S , при этом
a
.
ij
сумма всех кратностей, включая простые корни
Y
i
.......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
Y
1
1
1
2
2
21
.
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
dt
где l l - число различных корней;
3) среди корней есть комплексно-сопряженные пары
,,
1 mmmmmm
iviv
Соответственно этим случаем
простые или кратные.
)(k
из (5.60) могут иметь следующий
вид:
1. Все
- действительные и различные.
Тогда фундаментальная система решений может быть записана
следующим образом:
)1(
Здесь
1
)2(
2
n
n
)(nik
i
1
)2(
1
)(
)(
1
соответствующем значении
)1(
)...,,1(,
)1(
1
1
)2(
2
1
)(
nn
n
1
находятся для каждого
k
)1(
2
)2(
2
)(
x
2
)1(
2
)2(
2
)(
nn
2
)....,,1( nk
При этом общее решение (5.59)
l
nSSс
xx
1
;;;:
xx
2
j
1
x
)1()1(
1
eyeyeyY
nn
)2()2(
x
2
eyeyeyY
nn
,,1
jmm
,
,;;;:
x
n
n
n
n
)(k
из (5.63) при
x
)()(
n
n
.;;;:
eyeyeyY
для данного случая имеет вид
n
)1(
)(
11
)(
12
1
)1(
1
)2(
xx
2
2
2
)2(
xx
2
)(
eCeCeCxy
n
n
n
)(
x
)1(
)(
1
1
nn
n
2
x
)2(
2
n
)(
nn
Пример 1. Найти общее решение однородной линейной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
dy
dx
dz
dx
du
dx
2
zy
z
.22
uzy
Решение. В матричной форме эту систему можно записать следующим
образом:
x
y
z
dX
021
,AX
где
010
212
XA ,
x
n
;
x
n
eCeCeCxy
;
x
n
eCeCeCxy
.
.
Запишем характеристическое уравнение (5.64) для этой системы
147
1
1
2
021
)(
Корни этого уравнения
010
212
2;1;1
все действительные и
321
различные, следовательно,
)1(
1
)2(
1
)3(
2
1
)3,2,1(,
, соответствующие корню
211
Найдем из (5.63)
)1(
i
)1(
)2(
)3(
i
21
Так как определитель этой системы
)1(
2
)2(
2
)3(
2
2
02)1(
0)1(
3121
)1(
xxx
;;
eeeY
3
;;
;;
)2(
xxx
eeeY
3
)2(
xxx
2
eeeY
3
.
.0)2(2
0)(
, то одно из неизвестных
можно взять в качестве произвольного параметра, поскольку
20
M
ij
0
12
0)2)(1)(1(;0
.
,
и ранг этой системы равен двум. Пусть
Поэтому
1
)1(
2
Для определения
Так как
32
2
202
231
и следовательно
231
,0)(
положим
i
i
212
22
)2(
;;
Аналогично для нахождения
)(
2
)3,2,1(,
получим
02)1(
0)1(
0)2(2
3221
12
, при этом
)3(
i
1
13
, тогда
xx
.;0;
eetY
02
и
1
.
022
0
.
)(,
2
000
312
02
,0
M
ij
1;1
eeeY
i
31
xxx
.
.
)3,...,1(,
будет
поэтому
32
148
1
2
k
k
k
.
2
1
2
1
2
1
2r
213
23
02)1(
0)1(
)(,
0)2(2
3321
3
021
0
.
030
012
Пусть
,13
тогда
,0
поэтому
;0;0
xeY2)3(
.
Общее решение системы будет иметь вид
1
)(
2
x
,)(
eCxz
2
xx
,
eCeCxy
21
2
xxx
.)(
eCeCeCxu
321
2. Рассмотрим случай, когда среди действительных корней есть кратные.
Пусть корень
имеет кратность
S , тогда этому корню в
фундаментальной системе решений будут соответствовать
x
Y
k
)1(
k
:
Y
)1(
k
1
)(
:
)(
kk
k
e
1
x
k
;
ex
)(
k
;
2
)1(
k
2
x
k
e
ex
...;;
x
k
...;;
n
)(
k
e
n
)1(
k
ex
……………………………………………………………..
Sk
:
Y
k
1
)1(
)1(
Sk
k
1
S
x
x
k
k
;
e
2
)1(
Sk
k
1
S
x
x
k
k
...;;
e
Sk
n
Пример 2. Найти общее решение системы
дифференциальных уравнений
S строк:
x
k
;
x
k
;
1)1(
S
k
k
x
x
k
e
dy
dx
dz
dx
zy
2
y
d
или
y
dx
z
y
12
.
z
01
Решение. Характеристическое уравнение этой системы будет
)(
1
12
,0
то есть
2
012
или
1
.
Запишем фундаментальную систему решений
)1(
)1(
;
)1(
xx
eeY
;
)2( xx
)2(
)2(
.;
exexY
.
Подставляя в исходную систему уравнений и приравнивая коэффициенты
при соответствующих степенях x, получим однородную систему уравнений для
определения
)( j
с рангом
i
149
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]