Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие

DyyxM





















1

где K- положительное число,

1

),,,(

n

.

Тогда система имеет единственное решение

11

удовлетворяющее начальным условиям



1

,

nn

)0(

,,

yyyy  

nn

)0(

при

)(,),(

xyxy



решение определено и непрерывно дифференцируемо (все



k

.0xx 

Это

)(x

имеют

непрерывные производные) в интервале

,0hxx 

где

Mbah ,min

.

3. Понятие общего, частного и особого решений.

В упрощенной формулировке общее решение системы (5.1)

определяется как семейство решений этой системы, зависящее от n

произвольных параметров

21

CCC ,,,

n

),,,,(

CCxy

111









122

1



n

),,,,(

CCxy

n

(5.8)



).,,,(

CCxy

nnn

Геометрически общее решение есть семейство интегральных кривых в

)1(n

-мерном пространстве

CCC ,,,

21

n

относительно

1

, причем уравнения этого семейства линий разрешены

.,,

yy

1 n

yyx ,,,

, зависящее от n параметров

n

Частное решение системы – это такое решение, которое состоит из

точек единственности решения задачи Коши.

Решение, получаемое из общего решения при определенных числовых

значениях параметров

CCC ,,,

, включая

21

n

, является частным

решением.

Особым решением называется такое, в каждой точке которого

нарушается единственность решения задачи Коши.

Пример. Найти решение системы

dy

 



dx



dz

 

dx



2



,

x

zy

(5.9)



0.,2

xгдеz

Решение. Заданная система, представляет собой совокупность

зацепляющихся уравнений – одно из них можно решить независимо от другого. Интегрируем второе уравнение, разделяя переменные

dz

.0,



zCx



2

z

1

Откуда

2

.)(

)(

CxCxz 

, или

120

Cxz 

Подставим найденную функцию в первое уравнение

x

dx





12122

1



xxdx





dy

2

.

Cy



1

Полученное уравнение является линейным дифференциальным

уравнением 1-го порядка. Его решение найдем методом Бернулли:

,, vuvuyuvy

2

dv

 



xdx



du

 

dx



uCv

1

откуда: Второе уравнение системы (5.9) имеет особое решение 0

2



,,0

xvv

C

1



x

)()(,

CxCxzxCxCy 

,,

C

2

- общее решение системы.

z . Подставим его в

первое уравнение, получим

dy

Решая это уравнение методом Бернулли, получим

.2y



2

xCxy ln



. Итак,

система (5.9) помимо общего решения имеет еще семейство решений



,0

z



  



2

 



.ln

xCxy

5.3. Интегрирование системы дифференциальных уравнений сведением к одному уравнению n–го порядка

В предыдущих разделах 5–й главы рассматривались примеры нахождения решений систем уравнений. Однако используемые там приемы интегрирования не были систематическими, а носили скорее характер ”ad hoc”. В этом разделе будет рассмотрен один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Суть используемого здесь метода заключается в следующем: из уравнений системы и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений системы, исключаются все искомые функции, кроме одной. Для определения этой функции получают одно дифференциальное уравнение n–го порядка (в случае системы из n уравнений). Из полученного уравнения находится одна неизвестная функция, а остальные искомые функции находятся из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования.

1. Общий случай нормальной системы.

Рассмотрим схему приведения системы к одному дифференциальному уравнению n – го порядка в случае системы вида (5.1):

121





Метод исключения неизвестных реализуется в предположении, что все























1



i



1



1













функции

),,2,1(),,,,(

21

),,2,1( nkf

k

имеют непрерывные частные производные до

nkk



nkyyyxfy

. (5.10)

)1(n

- го порядка включительно по всем аргументам

21

yyyx ,,,,

.

n

Дифференцируя, например, первое из уравнений (5.10) последовательно

)1(n

раз и подставляя на каждом шаге вместо производных

k

),,2,1( nky

их значения, взятые из правых частей уравнений (5.10), мы получим следующие уравнения:

f



1

,



f

y



n

F



y



n

,

f

n

или

f





y



1 n

x





F





y



1 n

x





f



11



y



1

2121 n

F



22



y



1

2131 n

yyyxFy



y

1

),,,,(

yyyxFy

.



y

1

),,,,(

.

f





y



n

F



y



n

f







n



n

x



F







f



111



x

f



1

y



1

F



222

f



1

y



1

n



F

11



F

mm

y



i



i

)1,,2(),,,,(

 nmyyyxFy

n

F



11

nn



,

f

l

y



l

1

l





x



nmf









),1,...,3,2(,



или



F

)(

m



y

1

)(

m

1

)(

n



1



x

21

yyxFy

nn

nm

)(

n

y

1

),,,(

.

При получении этих уравнений использовали правило дифференцирования сложной функции многих переменных: если

),,,(



функции

1 n

yyxfu

, где

),,,(

yyxfu

дифференцируема в точке

),,2,1( nk

имеют производную в точке x, то производная по x от сложной



1

dF

dx

f



 

x



Таким образом, получена система

)(

xgy 

,

))(,),(,()(

xgxgxfxFu

вычисляется по формуле

n

f



xg

1

y

1

)1(n

уравнений

122

)(22xgy 

,

),,,(

yyx

1 n

f







n

y

n

, а функции

)()(

xg

.

)(xgy

, функция

nn

)(xg

k

dy



1





1

dx



2

yd

1



2

   





11

12





),,,,(

yyxf

n

),,,,(

yyxF

n

(5.11)







1

n

 



dx

yd

1





1

n





11

),,,(

yyxF

nn

и еще одно уравнение

n

yd

dx

1

n



1

).,,,(

yyxF

(5.12)

nn

Дальнейшее продвижение по намеченной схеме заключается в исключении из уравнения (5.12) функций

21

yyy ,,,

. Для этого следует

n

использовать систему (5.11), рассматривая ее как систему алгебраических уравнений относительно неизвестных

2

yy ,,

. Требуем, чтобы эта система

n

была разрешима относительно указанных неизвестных. Из математического

анализа известно, что для разрешимости такой системы уравнений требуется выполнение условия



f

1



y

2



F

2



y

2



f

1





y

3



F

2





y

3



f

1



y

n



F

2

.0





y

n

(5.13)





F



y



F

1

2

1



y

3





F

1



nnn



y

3

Предполагая, что условие (5.13) выполняется, выразим из уравнений

)1(

(5.11)

2

yy ,,

через

n

1,1

уравнение (5.12). В результате для функции

n

,,,

yyyx 

и подставим эти выражения в

1

y

получим дифференциальное

уравнение n – го порядка:

)(



1



1,1

)1(



nn

yyyxfy 

).,,,(

1

(5.14)

Решив уравнение (5.14) получим функцию

)1(

n

,,

производные

yy ,,

, поскольку они выражаются через

2

n

yy

1

(5.11).

Можно показать (мы на этом не останавливаемся), что при сделанных предположениях, решение

yy ,,

, найденные из (5.11), в совокупности будут являться решением

2

n

)(1xy

, а затем ее

. Это позволит найти остальные неизвестные

)1(

n

,,,

1,1

)(1xy

, найденное из (5.14) а также функции

123

yyyx 

из системы

1

системы уравнений (5.10). И наоборот – решение системы (5.10) будет

z

dx

z

dx





212

2



являться решением уравнения (5.14) и системы (5.11).

Пример. Решить систему уравнений

dy

 

 

dz

 



1



,

1

zdx

1



.



xydx

Решение. Дифференцируя обе части первого уравнения, получим:

2

1

yd

dz



.

22

dx

Из уравнений системы имеем:

dz

1



,



xydx

1

dy

 

2

dx



2



.1



 

Подставим эти выражения в предыдущее уравнение и присоединим выражение для z, найденное из 1-го уравнения:

2



,1





z



1



1

.

dy



dx

2

yd

2

1

dy



 

dx

xy





dx

Для решения уравнения 2-го порядка представим его в виде:

dy

d

dx

 



dy

dx



dy

1



 



1



dx

1



xy



,

где

dx

Получим уравнение

d

dx

Отсюда

dy

d

dx

11

dy

dx

.0),(1

 CxyC

Преобразуем его к виду:

d

1

xC

Интегрируя, имеем:

1

Находим вторую неизвестную функцию:

z



dy

1



1



)(

xyC



1

dx

Таким образом, решение системы имеет вид:

xC

1

eCxy 

z



,

dy

dx





1





).()(

xyCxy

d

.ln

xy



dx

xy

.ln1ln xy

.,,0,

 CCeCxy

1

.

xC

1

eCC

21

1

CC

21

xC



1

e

.

124

2. Нормальная система линейных уравнений с постоянными

dx

коэффициентами.

В случае линейной системы с постоянными коэффициентами процедуру исключения неизвестных можно выполнить с большим изяществом. Идея реализуемого ниже метода та же, что и при исключении неизвестных из линейной системы алгебраических уравнений, решаемых методом Крамера. Покажем это на примере системы трех линейных дифференциальных уравнений. Обобщение на случай n уравнений производится автоматически.

Пусть задана нормальная система линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами

dy



1



dx



dy



2



dx



dy



3



dx



a

ij



),(

xfyayaya

1313212111



),(

xfyayaya

2323222121

3333232131

(5.15)

),(

xfyayaya

где

k

заданные на

)3,2,1()( kxf

- дважды непрерывно дифференци-руемые функции,

),( ba

. Запишем систему (5.15) в виде:





a







      

d







dx



d



aya

 







dx



d



ayaya

 







dx





),(

xfyayay

1313212111





),(

xfyay

2323222121

(5.16)

).(

xfy

3333232131

Эта система формально аналогична системе линейных неоднородных алгебраических уравнений. Как и в методе Крамера введем главный определитель системы, который в нашем случае будет содержать элементы,

d

dx

:

a





 

d



dx

aa

d



dx

aa

131211

a

232222

. (5.17)

aaa

d



333231

dx

зависящие от оператора





 

Правило вычисления этого детерминанта такое же, как и для определителя с числовыми элементами. Отличие заключается в том, что при

125

dx

2

3

11

21

d



2

dx

”умножении”

d

получается символ 2-ой производной

dx

Таким образом введенный определитель содержит символы производной первого, второго и третьего порядков. Как и для обычного числового определителя для операторного определителя справедлива теорема разложения по элемента какого – либо ряда. Этим свойством мы сейчас и воспользуемся.

.

Для исключения функций части первого из них слева на

A

, где обозначили

31

A

- алгебраическое дополнение соответствующего

ij

y

и

A

, второго уравнения - на

элемента определителя (5.17)

d

A

31

a

2322

d

aa



3332

dx

d



 

dx





 

a

d





A



11 ,



dx



 



dx

затем сложим эти уравнения. Получим:





 

aA

 

 

 

d







dx





aAaA

 



d



dx



 



 

 

y из уравнений (5.16) умножим обе

A

и третьего – на

aa

d





A



21

dx



aa

1312

d

dx

a

2322



yaAaA



1313121211111



 

,



yaA





2323122211211



1312

d



dx

(5.18)

,

)17.5(

aa

3332



 

 

Поскольку



aA

 

d



dx

где введена функция



d

aAaA

aA

d

dx

313121211111

323122211211

 



126







d









,





dx





,0





fAfAfA

1331221111333123211311

).(

fAfAfAy

3312211113333123211311

,,0



aAaAaA







 



d



aAaA

 







dx







aAaAaA

 

1

2





2



2

af

d



dx

aaf

то уравнение (5.18) можно записать в виде:

d





 y





dx





aaf

13121

a

33323



11

, (5.19)

23222

d



dx

. (5.20)

Полученное уравнение для функции

y

является линейным

неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами. Интегрируя это уравнение одним из методов,

изложенным в гл. 4, найдем функцию

y

. Функции

y

и

y

можно

3

определить из системы алгебраических уравнений

,

fyyaya

11313212

)()(

yaaaayaaaa



333132312232132212

d

 

dx



















(5.21)

.)(

fafafyaaaaya

3132121131132112111

Первое уравнение системы (5.21) есть первое уравнение в (5.14). Второе уравнение получается дифференцированием этого уравнения, с последующим

исключением производных

y

и

y

, выражения для которых берутся из

3

второго и третьего уравнений системы (5.15).

При решении системы двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами удобнее использовать метод исключения в виде, изложенном в п.5.1 этого параграфа.

Пример. Решить систему уравнений

dy

 



dx



dz

 

dx



Решение. Дифференцируем второе уравнение:



,23

zy



.2

zy

dx

2

zd

2

dy

dx

dz

.2



dx

Подставим в это уравнение y из первого уравнения и y - из второго:

1



,23 zzyzyy 





).(

В результате исключения неизвестной функции y из одного уравнения пришли к следующим уравнениям

127

dx

2

1

2

1

2

1

2

z











2

zd

2

dz

,02

dx

1

dz

yz

 

2

dx



 z



.

 

Первое из уравнений является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его

kx

решение (см. гл. 4) ищем в виде получим:

2

ez 

. Подставляя эту функцию в уравнение,

.1,012

 kkkk

Характеристическое уравнение имеет

кратный корень. В этом случае линейно независимые частные решения имеют

xx

вид

,

записывается так:

xezez 

. Следовательно, общее решение первого уравнения

x



)(

xCCez

. Подставим эту функцию во второе

уравнение, получим:

1

x



)22(

xCCCez

.

221

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений

1

xx

1.

2.

3.

4.





21

2

1

xx





2



211



212

2





,sin



zxyy 

y

.

Ответ:

.,,

yyyyyyyy

Ответ:

32131221

2



x

,)(

exCCy

21

CCxCez





21



21

.,2 yzzyy

Ответ:

., azyzzayy

Ответ:



x

ax

,cos

xeCeCy

.sin

xeCeCz

xx



,

eCeCy

xx



,

eCeCy

133

xx

.2

xeCeCy

).(

212

),sincos(

xCxCey

).cossin(

xCxCez

5.4. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений

В п. 5.1 дано определение нормальной линейной системы дифференциальных уравнений и приведен вид системы (5.4). В дальнейшем уравнения (5.4) будем записывать в сокращенном виде:

dy

dx

n

i



j



1

i

jij



),...,2,1(),()(

nixfyxa

(5.22)

или в векторной (матричной) форме

128

dx

dY









dx









)()( xFYxA

, (5.23)

где Y и F n- мерные векторы, A - матрица коэффициентов системы

)()()(

xaxaxa



11211

n



)()()(

xaxaxa



12221

n



nnnn

,

 



)()()(

xaxaxa



yyyY 

21 n

 





A

 

 

),....,,colon(

,

21

21 n



),....,,colon(

fffF

, где символ “colon” - обозначает

матрицу-столбец. Используя правило умножения матриц и определение равенства матриц легко убедиться в том, что уравнение (5.23) равносильно системе уравнений (5.22).

Если все функции

bxa

, то в достаточно малой окрестности каждой точки ),...,,(

где

bxa 

, выполнены условия теоремы существования и единственности

0

)(xa

и

ij

)(xf

в (5.22) непрерывны на отрезке

i

00 n

1

)0(

yyxM ,

(см. п. 5.2). Следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (5.23). Это вытекает из того, что правые части системы (5.23) непрерывны, а их частные производные по любому

ограничены, т.к. эти производные равны непрерывным на коэффициентам

Если все функции

)(xa

.

ij

0)(xf

i

),...,2,1( ni

, т.е.

)0,...,0,0colon()(xF

, то

y

j

],[ ba

система

dy

dx

n

i







j

1

yxa

)(

(5.24)

iij

называется линейной однородной. В векторной записи линейная однородная система имеет вид

dY



.)( YxA

(5.25)

Для изучения свойств линейных систем дифференциальных уравнений введем линейный оператор

d

L 

.A

(5.26)

Тогда однородное уравнение (5.26) можно записать в виде

][YL

, (5.27)

129

где

)0,....,0,0colon(

- нулевой вектор, а соответствующее неоднородное