Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
4
2
~~~
4
2
2
1
( ).
y e C C x
( cos3 sin ).
y e C x C x
2
1
2
1
( cos sin ).
y e C x C x
2
1
221
2
1
221
( ) .
ax
( cos2 sin 2 )
y e C x C x
2
1
2
1
4
221
3( 1.5).
2
221
221
6
1
21
cos
1
x
,
exyyy
а общее решение этого уравнения
~
Решить уравнения:
1. .045
2. .096
3. .0258
4. .023
5. .044
6. .022
7. .034
8. .04
9. .04
10. .023
1
cos
1
xxx
.
xeCeCexYyy
21
Задачи для самостоятельного решения
4
yyy Ответ: .
3
x
yyy Ответ:
yyy Ответ:
1 2
4
x
1 2
yyy Ответ: .
2
yyy Ответ:
yyy Ответ:
x
x
1 2
yyy Ответ: .
yy Ответ: .
yy Ответ: .
yyy Ответ: .
xx
eCeCy
2
xx
eCeCy
.
xCCey
3
xx
eCeCy
2
xx
eCeCy
4
x
eCCy
xx
eCeCy
11. .02
12. .052
13. .0
14. .0
15. .2
16. .23
17. .62
yy Ответ: .
yy Ответ: .sincos
18. .93 xyy
19.
20. .84
2 . Ответ: .)2(
21. .3sin1365 xyyy
2
yayay Ответ:
yyy Ответ:
y C x C e
1 2
x
1 2
xx
eCeCy
xCxCy
x
eyyy
Ответ: .
x
eyyy
Ответ: .)(
2
xyyy
Ответ:
y C e C e x x
Ответ: .
x
xeyy
3
xyy
Ответ: .32
Ответ:
x x
1 2
21
1
)(
21
2 2
x
2
3
xx
2
1
exCeCy
2
3
xx
eeCxCy
xx
23
32
xx
xxeCCy
xxx
exeCeCy
xxeCeCy
1
.3sin3cos5
xxeCeCy
22. .2cos255,2 xyyy
Ответ:
110
3
cos
x
C
2
2/
x
Cey
3
x
sin
21
2
.2sin82cos6
xx
23. .2sin34 xyy
4
4
4
4
( cos 2 sin 2 ) (5cos 4sin ).
41
y e C x C x x x
39
13
3 2 ( ).
y y y e x x
( cos sin ).
2
y C e C e e C x C x
2 2 (2cos 4 sin ).
y y y e x x x
( cos sin ) cos .
y e C x C x x e x
4 ( 4 4)cos (2 6)sin .
y y e x x x x
( cos sin ).
y C e C e e x x x
2
1
1 2
3 ( ).
2
y e x x e C x C
213
27209912
3
Ответ: .2cos
2sin2cos
21
3
xxxCxCy
24. .2sin4 xyy
25. .cos xxyy
26. .cos32 xeyyy
27. .cos3sin103 xxyyy
28.
29.
30.
31. .2
x
3 2
x
exyy
x
x
Ответ: .2cos
x
Ответ:
Ответ:
x
Ответ: .cos
Ответ:
1 2
1
1 2 1 2
Ответ:
Ответ:
1 2
21
5
x x x
2 2
x x x
2sin2cos
21
sincos
2
2
1
2 3
x x
1 2
Ответ: .sincos
1
xxxxCxCy
1
cos
1
2
x
e
.sin
xxxxxCxCy
2
xx
sin
9
xxeCeCy
2
x
exxCxCy
32. .132
33. .86
34. .4
35. .34
36. .3sin49 xxyy
37. .23
38. .13
yy Ответ: .
39. .cos xxyy
3
2
x
xeyyy
eeyyy
4x
exyy
22 xx
eeyy
Ответ:
2xx
Ответ: .
Ответ: .
Ответ:
Ответ:
3
xyy Ответ: .
Ответ:
x x
1
4
x
2 xxxx
Cey
1
x
2
Cey
1
4
3sin
21
3
x
eCCy
21
3
eCCy
21
2
Cy
1
x
sin
4
2
1
2
2
1684
xx
2
2
3
x
x
Cx
2
xxx
3cos
eCeCxeey
2
3
4
xxCxCy
234
xxx
x
4
4
xCe
C
2
.
x
.
9
x
x
.cos
40. .
x
xeyy
Ответ:
111
3
x
21
xx
eeCCy
2
.
4
5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
t
dt
5.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений
1. Понятие о нормальной системе. Линейные системы. Автономные
системы
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений
содержит n неизвестных функций одного переменного и состоит из n
уравнений первого порядка, каждое из которых содержит производную только
одной из функций и разрешено относительно этой производной:
dy
1
dx
211
),,,,,(
yyyxf
n
dy
2
dx
212
),,,,,(
yyyxf
n
(5.1)
dy
n
dx
21
);,,,,(
yyyxf
nn
где
yyy ,...,,
- искомые функции от независимой переменной
21
n
заданные функции, зависящие от
)1(n
переменных. Число уравнений,
ffx ,...,,
-
1
n
входящих в систему (5.1), называется порядком этой системы. То есть,
согласно этому определению, система (5.1) есть система n- го порядка.
К нормальному виду может быть приведена система уравнений высших
порядков, каждое из которых разрешено относительно старшей производной.
Для этого должны быть введены дополнительные функции, как в
рассмотренном ниже примере.
Уравнение движения материальной точки массы m под действием силы
rd
rtF ,,
имеет вид:
dt
m
dt
2
rd
2
rd
dt
,,,
(5.2)
rtF
rd
v
где
точки,
dt
ktzjtyitxr )()()(
радиус - вектор точки,
2
rd
a
2
- ускорение. Записанное уравнение выражает второй закон
- время,
- скорость
Ньютона. Спроектируем действующую на точку силу на оси декартовой
системы координат:
112
z
w
dt
dt
rd
rtF
dt
rd
rtf
dt
rd
rtfi
dt
321
rd
.,,,,,,,,
dt
k
rtfj
Подставив разложения r и F в уравнение (5.2), приравняв проекции на
координатные оси. Получим систему трех уравнений:
2
m
m
m
dt
dt
dt
xd
2
2
2
2
2
1
yd
2
zd
3
),,,,,,,(
zyxzyxtf
),,,,,,,(
zyxzyxtf
(5.3)
),,,,,,,(
zyxzyxtf
где точка над буквой обозначает производную по t. Каждое из уравнений
системы (5.3) является дифференциальным уравнением второго порядка. Для
приведения системы к нормальному виду введем функции xu
- проекции скорости
rd
на координатные оси. Получим систему
,
yv
,
уравнений вида
,,,
1
2
3
wzvyux
),,,,,,,(
wvuzyxtfum
),,,,,,,(
wvuzyxtfvm
).,,,,,,(
wvuzyxtfwm
При этом обычно задаются начальное положение точки
,,)( zyxrtr
и начальная скорость
00000
,,)(wvur
.
0000
trd
0
Подобным образом и одному дифференциальному уравнению высшего
порядка можно сопоставить систему дифференциальных уравнений первого
порядка.
Система уравнений (5.1) называется линейной системой
дифференциальных уравнений, если правые части зависят линейно от
некоторых функций
21
yyy ,,,
:
n
113
dy
1
dx
dy
2
dx
nn
nn
),()()()(
xfyxayxayxa
11212111
),()()()(
xfyxayxayxa
22222121
(5.4)
dy
n
dx
2211
),()()()(
xfyxayxayxa
nnnnnn
где
)(xa
и
ij
i
),,2,1,()( njixf
- заданные функции от x.
Если правые части системы (5.1) не зависят явно от независимой
переменной x, т.е. если система имеет вид
dy
1
dx
dy
dx
2
211
212
),,,,(
yyyf
n
),,,,(
yyyf
n
(5.5)
dy
n
dx
21
),,,,(
yyyf
nn
то она называется автономной или стационарной системой. Если в линейной
0)()()(
системе (5.4)
21
xfxfxf
n
, то имеем линейную автономную
систему.
2. Решение системы. Геометрическое и механическое истолкования
нормальной системы.
),(,),(
Совокупность n функций
1
непрерывно дифференцируемых в интервале
xyxy
определенных и
n
),( ba
, называется решением
системы (5.1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы в
тождества:
2111
2122
21
справедливые при всех значениях x из интервала
)),(,),(),(,()(
xxxxfx
n
)),(,),(),(,()(
xxxxfx
n
)),(,),(),(,()(
xxxxfx
nnn
),( ba
.
Пример. Система уравнений
dy
dx
,67
zy
dz
dx
114
,76
zy
1
x
1
2
dx
yx,
D
,
имеет решение
ey
функции в уравнения системы:
x
ez
. В этом можно убедиться, подставив эти
xxx
,67
eee
Мы получили тождества, справедливые при
xxx
.76
eee
x
);(
. Эта же система
имеет и другие решения. Например, решением, является другая совокупность
132x
,
функций:
ey
являться и двухпараметрическое семейство функций:
xx
13
BeAez
, A и B – произвольные постоянные. Действительно,
xez13
при
x
);(
. Решением этой системы будет
13
BeAey
xx
подставив эти функции в уравнения системы, получим:
131313 xxxxxx
BeAeBeAeBeAe
)(6)(713
,
131313 xxxxxx
BeAeBeAeBeAe
).(7)(613
Эти уравнения удовлетворяются тождественно относительно x при
любых числовых значениях параметров A и B.
Рассмотренный пример системы двух уравнений наводит на мысль, что
всякая система двух уравнений имеет решение, содержащее два произвольных
параметра.
Перейдем к геометрическому истолкованию нормальной системы.
Изучая дифференциальные уравнения 1-го порядка
dy
),( yxf
и
,
рассматривая
уравнения задают на плоскости
направление касательной в каждой точке интегральной кривой
как прямоугольные координаты, мы установили, что такие
XOY
некоторое поле направлений и что
)(xy
совпадает с направлением поля в этой точке. Аналогичную геометрическую
интерпретацию можно дать и нормальной системе n дифференциальных
уравнений (5.1).
Будем рассматривать
мерном пространстве
1
1 n
yyx ,,,
. Тогда решению
n
соответствует кривая в введенном
yyx
как координаты точки в
21
)1(n
- мерном пространстве. Эта кривая
)1(n
-
)(,),(),(
xyxyxy
n
),,,(
называется интегральной кривой системы (5.1).
),,,,(
Пусть функции
),,,,(
yyyxf
21 nn
в системе (5.1) определены и конечны в некоторой области
изменения переменных
),,,,(
yyyxf
211 n
yyx ,,,
. В каждой точке
1
n
,
212 n
yyyxf
,
DyyxM
),,,(
1
n
проведем отрезок прямой с направляющим вектором
),,,,(,),,,,,(,1
yyyxfyyyxfs
. Тогда получим поле направлений
в области D )1(
21211 nnn
n - мерного пространства. Интегральная кривая в каждой
своей точке касается вектора поля
,
).:::1::::(
115
2121 nn
fffdydydydx
))(,),(,(
n
Если в точке
или некоторые из них обращаются в неопределенные выражения вида
xyxyxM
все правые части системы (5.1)
00100
n
0
0
то в этой точке поле направлений не определено и через такую точку не
проходит ни одна интегральная кривая.
Рассмотрим механическое истолкование нормальной системы.
Если дифференциальные уравнения описывают движение механической
системы, то независимую переменную обозначают t, искомые функции через
,
xx ,,
, а производные этих функций по времени t обозначают
1
n
),,2,1( nk
. В этих обозначениях нормальная система уравнений (5.1)
x
k
записывается так:
2111
2122
21
),,,,,(
xxxtXx
n
),,,,,(
xxxtXx
n
(5.6)
).,,,,(
xxxtXx
nnn
В евклидовом пространстве с прямоугольными координатами
xxx ,,,
решение системы
21
n
11
)(,),(
txtx
определяет закон
nn
движения или движение по некоторой траектории с течением времени t. Если
)(,),(),(
ввести n - мерный вектор
)(,),()(
времени
1
txtxtr
nn
- мерном пространстве,
21
интерпретируется как скорость движения точки в
k
),,2,1()( nktx
txtxtxr
, то его производная по
nn
- проекции вектора скорости на
координатные оси.
При такой интерпретации, естественной в физических и механических
задачах, система (5.6) или в векторной форме
),(nnrtFr
, (5.7)
),...,,(,),,...,,(),(
где
системой, пространство с координатами
пространством, кривая
2
n
фазовое пространство называется фазовой плоскостью.
Если функции
X
k
)(trr
называется фазовой траекторией. В случае
xxtXxxtXrtF
111 nnnn
),...,2,1( nk
в системе (5.6) или вектор-функция F в
, обычно называется динамической
xxx ,...,,
называется фазовым
21
n
векторном уравнении (5.7) не зависят от времени t, то система (5.6), или (5.7),
называется автономной динамической системой.
Взаимосвязь между траекторией и движением состоит в том, что
траектория есть проекция движения (расположенного в пространстве
xxxt ,...,,,
) в пространство
21
n
xxx ,...,,
.
21
n
Таким образом, решение системы (5.6) -
)(,),(),(
txtxtx
2211
, понимается как параметрические
nn
116
уравнения траектории движения (в пространстве
2
1
2
1
1
2
y
2
1
xxx ,...,,
). Эти
21
n
уравнению определяют траекторию как однопараметрическое геометрическое
место точек; они показывают, как происходит движение точки по траектории
с течением времени. В соответствии с этим решение системы
)(,),(),(
txtxtx
2211
обычно в механике называют движением.
nn
Основной задачей интегрирования системы (5.6) или (5.7) является
нахождение всех движений, определяемых этой системой и изучение свойств
движений.
Пример. Пусть задана система уравнений
,
xyyx
. Можно
убедиться непосредственной подстановкой в уравнения, что семейство
)cos(
функций
CtCx
,
)sin(
CtCy
является решением заданной
системы уравнений. На фазовой плоскости
является семейство окружностей
22
Придавая параметру t числовые значения
XOY
2
Cyx
с центром в начале координат.
t
фазовыми траекториями
20
, будем иметь перемещение
точки по определенной траектории в направлении, показанном на рис. 11.
x
ss
Рис. 11. Фазовые траектории системы
Отметим, что уравнение траектории на фазовой плоскости не зависит от
C . Поэтому все движения при фиксированном 1C происходят по одной и той
же траектории. При
точки (точки О), называемой в этом случае точкой покоя системы.
системы найти такое решение
при заданном числовом значении
01C
(
022 yx
) фазовая траектория состоит из одной
5.2. Задача Коши. Достаточные условия существования
и единственности решения задачи Коши. Общее, частное
и особое решения
1. Задача Коши для системы вида (5.1) ставится так: среди всех решений
)(,),(
xyxy
11
)(x
k
),,2,1( nk
принимают заданные числовые значения
xx
независимой переменной:
0
117
, в котором функции
nn
)0(
2
1
)0(
)0(
,,,
yyy
n
Совокупность чисел
221
1
n
n
1
решения
01 nn
11
0
xyxy
nn
1
)0(
1
)(,),(
; число
независимой переменной; числа
)0(
,,,
yyx
n
1
0
)0(
называется начальными данными
x
называют начальным значением
0
)0(
,,
yy
n
)0(
.)(,,)(
yxyx
)0(
называются начальными
значениями искомых функций (начальные значения решения).
Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, что среди всех
интегральных кривых системы разыскивается та, которая проходит через
заданную точку
)0(
0 n
1
)0(
),,,(
yyx
.
Остановимся на механическом истолковании задачи Коши для
нормальной системы (5.6):
),,2,1(),,,(
nkxxtXx
1
nkk
.
Задача Коши состоит в том, чтобы из всех движений, определяемых этой
динамической системой, найти такое движение ...,),(),(
txtx
)(tx
, в котором при
tt
1
0
1
движущаяся точка в заданный момент времени
)0(
точке фазового пространства
Совокупность чисел
движения; условия
этого движения;
1
1
t
- начальным моментом времени; точка
0
)0(
0 n
1
)0(
,,,
0
)0(
,,
xxt
xxxx
nn
2
n
)0(
xxxM
)0(
называется начальными данными
называются начальными условиями
)0(
2
tt
0
)0(
),,,(
.
)0(
2
,,,
xxxxxx
nn
)0(
, т.е.
находится в заданной
)0(
0 n
1
)0(
),,(
xxM
-
называется начальной точкой.
Пример. Найти решение автономной динамической системы
,
,xyyx
.1,2,0
yxt
000
удовлетворяющее начальным условиям:
Решение. До сих пор мы не излагали систематические методы
получения решений систем дифференциальных уравнений. Представленная в
примере система обладает особенностью, позволяющей найти ее решение без
привлечения специальных методов. Сложив уравнения системы, а затем,
вычитая из 1-го уравнения второе, получим следующую систему уравнений:
)(
dt
dt
yxd
),(
yx
)(
yxd
).(
yx
Видим, что новая система представляет собой систему независимых
118
уравнений относительно функций
~
2
1
2
2
dx
2
1
a
D
M
получим:
)(
yxd
)(
yx
)(
yxd
)(
yx
~
,
Ct
1
~
Ct
,
2
Из начальных условий, полагая
)( yx
)ln(
)ln(
и
t
)( yx
. Интегрируя уравнения,
,
Ctyx
1
~
Ctyx
,0
,
2
2)0(x
, 1)0(
t
,
eCyx
1
t
.
eCyx
2
y , получим
)( yx
и
)( yx
, сложив, а затем вычтя их друг из друга, получим
1
Уравнение фазовой траектории имеет вид:
плоскости
.1,3
CC
Подставив найденные постоянные в выражения для
),3(
XOY
1
.
tttt
)3(
eeyeex
.
322 yx
. Это гипербола на
2. Достаточные условия существования и единствен-ности решения
задачи Коши. В этом разделе мы приведем без доказательства и в упрощенной
формулировке основную теорему существования и единственности решений
для системы (5.1).
Теорема (Пикара Э., 1856-1941, французский математик, почетный член
АН СССР, 1924).
Пусть дана система уравнений (5.1)
dy
k
и поставлены начальные условия
Пусть функции
1
nk
1
nk
)0(
1
2
),,2,1(),,,(
nkyyxf
определены в замкнутой
),,2,1(),,,(
nkyyxf
)0(
,,,
)0(
yyyyyy
при
nn
xx
0
.
ограниченной области D
0
)1(n
- мерного пространства:
axx
,
1
)0(
1
и b - заданные положительные числа с точкой
и удовлетворяют в D условиям:
),,2,1(),,,(
функции
1
nk
nkyyxf
непрерывны по всем аргументам и
потому ограничены
где
- положительное число,
функции
1
1
nk
nk
1
),,2,1(),,,(
nkyyxf
имеют ограниченные частные
производные
),,,(
yyxf
1
y
nk
l
119
)0(
byybyy
DyyxM
nn
nkMyyxf
,
00 n
),,,2,1(),,,(
;
),,,2,1,(
nlkK
)0(
1
yyxM
)0(
),,,(
внутри
,,
),,,(
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]