Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие
.pdf
21
x
(cos sin ).
2
y Ce x x
cos
2
x
xex
2
x
ln tg
2
1 .
cos
x
x
sin
2(sin 1) .
x
x
2 ( 2)
.
x x
.yyCeex
.
sin)cos(yyC
x
xex
x
ln1Cx
x
45. .1
y Ответ: .
46. .cos xyy
x
y
2
x
Ответ:
2/12
x
xeCxy
1
47. .2sinsincos xxyxy
48. .1ln
49.
y
2
y
50. .ctgtg xxyy
51. .2sincos xxyy
52. .2
53.
y y
Ответ: .
y
xyyx Ответ: .ln
2
x
.
Ответ: .
Ответ:
Ответ:
2
xyyx
Ответ:
x
e x
y
y x Ce
y
Ответ: .
2cosxxC
C
xy
x
eC
y
2
C
2
Cx
4
2
2 x
eCxy
2
.
54. 24)12(
55.
x
56. yxyx 2ln)1(
57.
58.
59. 2)1(,
60.
y
yxe
2
y
y
y
y
x
61.
62. .
2
yyxy
x
sin
x
x
2
eyyy
2
xyyxy
xyx . Ответ: .1)12ln)(12( xCxy
. Ответ:
xdyxdxexy
)(
. Ответ:
. Ответ:
1)2(
. Ответ:
1)ctg(sin
y
,
y
x
. Ответ: .0,1)(
. Ответ:
2
. Ответ:
0
Ответ: .
x
2
2
y
cosxx
y
y
.lnln
xxCy
x
ee
.
.
2
xx
.0),(ln xCxey
yCeey
70
2
2
C
x
lnxC
1
ln1Cx
x
1
Ce
3/1
Cx
x
x
.
3 x
63. .
eyxyy
Ответ:
2
x
2
y
e
.
64. .
65. .
66. .
67. .ln
68. .
69. .2
3
xyyy
Ответ: .
33
xyyxy
22
xyyyx
2
3
xyxyy
Ответ: .
yxyyx
70. 0)64()92(
y
2/1
Cex
1
1
Ответ: .
y
2
x
2
xCe
x
Ответ: .
y
xyyyx
Ответ: .
y
2
y
25
Ответ: .
322
dyxyydxxyx . Ответ: .3
y
1
2
x
1
2x
1
25
4232
Cyyxx
y
71.
72.
73. 0cos2)2sin1(
74. 0)(
75. 0)(
76. 1)(
2
77. 0)37()32(
78. 0)62()3(
3
22
yx
dx
2
y
22
22
3
3
y
. Ответ: .)ln4(
0)ln(
dyxydx
523
yx
dy
. Ответ: .5
0
222
xdyydxxy . Ответ: .cos
ydydxxyx . Ответ: .)ln(2
xdydxyyx . Ответ:
x
3
Cyxy
223
Cyyxyx
22
Cxyx
22
Cyxx
x
.arctg C
y
yyxxy . Ответ: .32
222
dyxydxyxy . Ответ:
22
dyxyydxxy . Ответ:
2
x
233
Cxyx
7
,3
Cxy
y
yxCyx
1
.
2
y
1
32
)(
yx
222
,)(
71
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
1
1
n
n
0)(x
f
0)(x
f
)(xyy
),(ba
),(ba
M
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ
n–го ПОРЯДКА
3.1. Дифференциальные уравнения n– го порядка.
Основные понятия
1. Дифференциальным уравнением n–го порядка называется
соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и
производные до n–го порядка включительно:
)(
n
yyyyxF
.0),,,,,(
(3.1)
Будем предполагать функцию F такой, что уравнение (3.1) разрешимо
относительно старшей производной:
)1()(
nn
yyyxfy
).,,,,(
(3.2)
Функция F или f может не зависеть от некоторых из аргументов
)1(
n
,,,,
yyyx
, но в любом случае уравнение n – го порядка должно
содержать производную
)(n
y .
Если, в частности, функция F является линейной функцией аргументов
)(
n
,,,,
yyyy
, то уравнение (3.1) будет содержать искомую функцию и ее
производные только в первой степени и не содержать их произведений. В этом
случае уравнение (3.1) принимает вид:
)(
)1(
nn
)()()()(
xfyxpyxpyxpy
. (3.3)
Уравнение такого вида называется линейным уравнением; если при этом
, то его называют линейным однородным уравнением: если
то называют линейным неоднородным уравнением.
Всякая функция
, определенная на
и n раз непрерывно
дифференцируемая на этом интервале, называется решением уравнения (3.1) в
этом интервале, если она обращает это уравнение в тождество:
)(
справедливое при всех x из интервала
n
xyxyxyxF
,0))(,),(),(,(
.
Среди дифференциальных уравнений высших порядков простыми для
изучения являются уравнения 2-го порядка
yyyxF (3.4)
,0),,,(
,
или в виде, разрешенном относительно старшей производной,
).,,( yyxfy
(3.5)
Такие уравнения допускают простое механическое и геометрическое
истолкование. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки
72
по оси
OX
dt
M
1m
dt
)(txx
)(t
x
O
dt
)(t
p
)(t
q
)(t
f
)(xyy
. Тогда
2
dx
x
dt
xd
,,
выражают положение, скорость и ускорение
2
точки
материальную точку сила есть функция
положения точки и ее скорости, а масса
Ньютона, получим дифференциальное уравнение второго порядка
определяющее закон движения точки
интегрирования уравнения (3.6) является нахождение всех движений
определяемых этим уравнением, и изучение их свойств.
в момент времени t (рис. 9). Считая, что действующая на
dx
2
xd
2
Рис. 9
x
dx
xtf
dt
,,,
M(t) x
xtf ,, , зависящая от времени,
dt
, согласно второму закону
. Основной задачей
(3.6)
,
В механике наиболее полно эта задача изучена в случае, когда сила f
является линейной функцией от положения точки и ее скорости. В этом случае
уравнением движения является линейное уравнение второго порядка:
2
xd
2
Если коэффициенты
этого уравнения можно найти в квадратурах, а при некоторых функциях
- даже в элементарных функциях.
Рассмотрим геометрическое истолкование дифференциального
уравнения второго порядка. Как нам уже известно, дифференциальное
уравнение первого порядка задает общее свойство семейства касательных всех
его интегральных кривых. Из математического анализа известно, что кривизна
кривой
Всякое уравнение второго порядка (3.3) можно переписать в виде
в каждой ее точке вычисляется по формуле
K
dx
tp
dt
и
(3.7)
являются постоянными, то решение
y
23
2
)(1
y
).()()(
tfxtq
.
73
или
)(xyy
OX
cos
2
),(yx
M
)(xyy
000
000
0
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1,,,
yyyxF
23
2
y
2
1
y
,0
23
1
Учитывая геометрический смысл производной
который образует касательная к кривой
производную через кривизну посредством формулы (3.7). Получим:
2
Подставив выражения y и y
переписать в виде
Итак, с геометрической точки зрения дифференциальное уравнение
второго порядка выражает зависимость между координатами точки
кривой
Поэтому интегральные кривые уравнения 2-го порядка в каждой своей точке
имеют заданное этим уравнением соотношение между направлением этой
кривой и ее кривизной.
Если задать координаты точки ),(
, направлением касательной и кривизной в этой точке.
,,,
yyxF (3.8)
23
y
2
1
y
KyKy
через и K, уравнение (3.8) можно
tg11
KyxF
.0
23
с осью
23
.0),,,(
(3.9)
2
tgy
, где угол,
, выразим вторую
K
.
3
yxM , принадлежащей
интегральной кривой и угловой коэффициент касательной в этой точке (т.е.
направление кривой) то, по уравнению (3.9), определится и кривизна
интегральной кривой в этой точке. Таким образом, начальные условия вида
)(,)( yxyyxy
позволяют выделить из семейства интегральных кривых, задаваемого
уравнением (3.3), определенную кривую.
Поскольку при данном x задание двух величин y и y определяет
интегральную кривую уравнения (3.3), то можно ожидать, что общее решение
дифференциального уравнения 2-го порядка будет зависеть от двух
произвольных постоянных
),,(
CCxy
Это соображение можно подкрепить таким не вполне строгим
рассуждением. Если исключить из (3.11) параметры
получить общие свойства функции в (3.11), придется это соотношение дважды
продифференцировать по x:
),,(
CCxy
, ),,(
CCxy
(3.10)
. (3.11)
C и 2C для того, чтобы
, ),,(
CCxy
,
74
где штрихи у функции
1
XOY
OY
.bax
y
,bax
y
dx
0
0
000
2
1
1
1
1
0022010
0
0
000
означают производные по x. Исключение
параметров
C и 2C из этой системы приведет нас к дифференциальному
уравнению, для которого (3.11) является решением.
Пример. Найти дифференциальное уравнение всех прямых на
плоскости
, не параллельных оси
.
Решение. Как известно из геометрии, уравнение этого семейства
зависит от двух параметров:
; 0
Продифференцируем это уравнение дважды: ay
y . Видим, что
в последнем равенстве параметры a и b автоматически исключены. Таким
образом, уравнение 0
y представляет общее свойство линий
состоящее в том, что кривизна (см. формулу (3.7)) этих линий в каждой точке
равна нулю.
Обратно, интегрируя это дифференциальное уравнение 2-го порядка,
имеем:
yd
CCCxCydxCdyCy
212111
)).,(,(,;,0
Получено то же семейство прямых с переобозначенными параметрами.
Если потребовать, чтобы искомая линия, проходила через точку (
, yx ) и
имела в этой точке угловой коэффициент ky
, то получим начальную
задачу:
0
y , .)(,)(
Из решения дифференциального уравнения
Cy
найдем значения постоянных интегрирования
kC
,
; kxyCCxCy
Искомое частное решение получено: ).(
kxyyxy
CxCy
C и 2C :
.
kxykxy
и производной
2. Рассмотри постановку задачи Коши для уравнения n -го порядка. В
п.1 этого параграфа была рассмотрена начальная задача для
дифференциального уравнения 2-го порядка
),,,(,0),,,(
yyxfyилиyyyxF
(3.12)
где
,, yyx
- заданные числа. Поставленная задача о нахождении решения
,)(,)(
yxyyxy
0000
дифференциального уравнении, удовлетворяющего заданным начальным
условиям называется задачей Коши для дифференциального уравнения 2-го
порядка.
Перейдем теперь к общему случаю уравнения n–го порядка. Поскольку
дальнейшем будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно
старшей производной (т.е. уравнения вида (3.2)), то и понятие задачи Коши
сформулируем для такого уравнения.
Задачи Коши для уравнения вида (3.2) ставится следующим образом.
75
Среди всех решений уравнения
)(xyy
0
0
0
0
0
0
0
0
)(xyy
0
dx
4
4
)1()(
nn
yyyxfy
),,,,(
(3.13)
найти решение
)(xy
, )(,),(
n
заданном значении
где
решение )(xyy
при
xx
, которые называют начальными условиями этого решения.
,,,
00,0
удовлетворяет условиям
Заданные числа
решения
, число
Пример. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям
, в котором функция )(xy вместе с производными
)1(
xyxy
принимает заданные значения
xx
, то есть
)1(
n
yyyx
0
- заданные числа (начальные данные), так что
y ,
00
0000
00
n
,,,
yyy - называют начальными значен
n
n
,,,
)1(
x - начальным значением независимой переменной.
2
,3
xy
yy
)1(
y ,
)1(
0
)1(
yyyyyy
n
yxyyxyyxy (3.14)
)1(
n
00
)1(
,)(,,)(,)(
n
,,,
yyy
при
иями
.0)0(,1)0(
yd
Решение. Представим
y
и умножим обе части уравнения на dx.
Интегрируя, получим:
32
.,3
Cxydxxyd
1
.
CxC
21
Отсюда:
4
3
,)(
1
x
ydxCxdy
Находим постоянные из системы уравнений
4
x
)0(
y
4
3
Cxy
Решение задачи Коши имеет вид: .1
C
CxC
0
x
)()0(
0
x
4
C
11
xy
;1,1
221
.0,0
3. Введем понятие о граничной (краевой) задаче.
Многие задачи физики, баллистики и других естественных и
технических наук приводят к решению граничных задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений. Сформулированная в п. 2 задача Коши
является лишь одной из важных задач теории дифференциальных уравнений, в
76
которых ищется решение, удовлетворяющее заданным условиям. В краевых
],[ba
.1)1(y
1
2
1
0x
1x
1
2
)(x
y
1)0
(y
.2)
(
y
2
1
1
)(x
y
0x
121
x
121
1
1)0
(y
1)(
y
0x
121
задачах условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке
(как в задаче Коши), а на концах заданного интервала
. Решение в этом
случае ищется внутри интервала, на концах которого оно обязано
удовлетворять определенным условиям.
В случае дифференциального уравнения первого порядка граничные
задачи, вообще говоря, ставятся не так, так как в этом случае задание значения
искомого решения в одной точке (при определенных условиях,
сформулированных ранее) уже определяют единственную интегральную
кривую. Таким образом, граничные задачи могут ставиться только для
уравнений второго и более высокого порядка.
Граничные задачи не всегда имеют решение, а если решение и
существует, то, весьма часто, не единственное.
Пример. Найти решение краевой задачи: xy 6
, 0)0(
y ,
Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем:
2
3 Cxy
, .
3
CxCxy
Подставим граничные условия при
2
3
)3()0(
Cxy , ;0
1
x
CxCxy , .0
21
)()1(
x
и
0
, имеем:
C
0
1
1
C
Искомое решение краевой задачи получается подстановкой в функцию
найденных значений постоянных:
Пример. Покажем, что для уравнения: yy
решения, удовлетворяющего краевым условиям:
3
xy .
, не существует
,
Решение. Известно, что все решения указанного дифференциального
уравнения содержатся в формуле xCxCy sincos
, где
C и 2C -
произвольные постоянные. Наша задача заключается в таком выборе этих
параметров, чтобы функция
удовлетворяла заданным граничным
условиям. Имеем:
при
при
: ;1,101
: ,2,20)1(
CCC
CCC 2C - любое.
Поскольку записанная выше функция включает все решения уравнения,
то поставленная краевая задача не имеет решения, ибо мы получили
противоречивую систему уравнений для нахождения параметров
C и 2C .
Однако для этого же дифференциального уравнения краевая задача
,
имеет бесконечное множество решений. Действительно, в
этом случае система уравнений для определения параметров имеет вид:
при
: 1,10
CCC , 2C - любое;
77
при
x
2
2
)
sin(
xAy
1
x
2
1
0
0
0
0
0
x
0
0
0
0
0
121
,1,10)1(
:
CCC
C - любое.
Все решения этой краевой задачи дает формула: xCxy sincos
Задачи для самостоятельного решения
Найти дифференциальные уравнения следующих семейств кривых:
1. парабол cbxaxy
2
. Ответ: .0
2. окружностей 1)()(
3. синусоид
. Ответ: .0
Убедится, что следующие функции удовлетворяют соответствующим
дифференциальным уравнениям:
xC
C
2
eCy
1
C
2
32
)( CxCy , .02)(
4.
5. ,
,
y .02
6.
yyx
2
yyy
Из решений предшествующих задач выделить частные решения со
следующими начальными условиями:
1
7. ,1,1
yx .
y Ответ: .
0
3
y
22
byax . Ответ: .)1(
2
)(yyy
.
yy
3x
ey
.
232
yy
8. ,0,1
9. ,3,0
yx .1
yx .2
y Ответ: .1
y Ответ: .)1(3
y
xy
32
10. Найти решение задачи Коши:
1
yyyy (см. пример в п. 3).
.0)0(,1)0(,0
3.2. Достаточные условия существования и единственности решения
задачи Коши. Общее частное решение
1. Для дифференциального уравнения n-го порядка также доказана
теорема существования и единственности решения задачи Коши. Здесь не
приводится доказательство этой теоремы, а лишь формулируются
достаточные условия существования и единственности решения начальной
задачи в упрощенной форме для уравнения, разрешенного относительно
старшей производной.
Теорема (Пикара). Пусть дано уравнение
)1()(
nn
yyyxfy
),,,,(
(3.15)
и заданы начальные условия
)1(
)1(
00
n
,,,
n
yyyyyy при
xx
.
78
Пусть функция ),,,,(
n
a
0
0M
1
21n
)1(
n
yyyxf
определена в некоторой замкнутой
ограниченной области
(
и b- заданные положительные числа) с точкой ),,,,(
- мерного пространстваD
000
)1(
n
)1(
n
0
byybyybyyaxx
0000
лежащей внутри этой области и удовлетворяет в D двум условиям:
)1(
1) функция ),,,,(
следовательно, ограничена, т.е. существует число
n
точек DyyyxM
выполняется
)1(
),,,,(
2) функция ),,,,(
производные по аргументам
такое, что для всех DyyyxM
m
y
n
yyyxf
выполняется
n
yyyxf
)(
непрерывна по всем аргументам и,
)1(
n
;
n
yyyxf
n
)1(
),,,,(
),,,,( Myyyxf
0
)1(
имеет ограниченные частные
)1(
n
,,,
yyy
)1(
),,,,(
, т.е. существует число 0
такое, что для всех
).1,,1,0(,
nmK
,,,,,
yyyxM ,
K
)1(
n
При этих условиях дифференциальное уравнение имеет единственное
решение )(xyy
, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Это
решение определено и непрерывно вместе с производными до n- го порядка
включительно в интервале
hxx
0
,
где
,min
ah
D
b
,,,max
yyK
0
Из теоремы, в частности, следует, что если функция ),,,,(
.
)1(
n
)1(
n
yyyxf
является многочленом от своих аргументов, то при любых начальных данных
существует единственное решение уравнения с этими начальными данными.
2. Общее, частное и особое решение.
Соображения, приведенные в п.1, п.п. 3.1 для дифференциального
уравнения 2-го порядка, связанные с исключением параметров
C и 2C ,
позволяют и дифференциальное уравнение (3.15) или (3.1) рассматривать как
результат исключения n произвольных постоянных из уравнения семейства
функций
),,,,(
CCCxy
(3.16)
79
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]