Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Учебное пособие

0

000

dx

0



0



),(yx

f

0

ba,

),(yx

f

D

),(yx

P

),(yx

f

y





)(xy

0

y 0M

0

x x

0

Рис. 3

В случае, если задача Коши с начальным условием (1.10) имеет не одно решение или совсем не имеет решений, говорят, что в точке ),(

yx

00

нарушается единственность решения задачи Коши.

Вопрос о единственности решения задачи Коши исключительно интересен и для теории дифференциальных уравнений, и для многочисленных практических приложений. Зная, что решение задачи Коши единственно, мы, отыскав решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, будем уверены в том, что получили определенный, единственный закон, описывающий физическое явление, и других траекторий развития процесса при данных условиях нет.

2. В этом разделе будут сформулированы достаточные условия

существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара).

Ниже будут рассматриваться только непрерывно дифференцируемые задачи (1.10).

Итак, ставится вопрос: каким условиям достаточно подчинить правую часть дифференциального уравнения (1.7) в окрестности начальных данных

, yx , чтобы через точку ),(

yxP проходила одна и только одна

интегральная кривая этого уравнения?

Теорема. Пусть дано уравнение (1.7) ),( yxf

начальное условие (1.10)

Предположим, что функция

yy

при

xx

.

определена в некоторой замкнутой

ограниченной области (рис. 4)

,:

с точкой ),(

yx внутри области (

- заданные положительные числа) и

удовлетворяет в области D следующим условиям.

1. Функция

непрерывна и, следовательно, ограничена (поскольку

замкнутая область), т.е.

,),( Myxf  (1.11)

где M- постоянное положительное число,

2. Функция

имеет ограниченную частную производную по

аргументу y, т.е.

10

dy

 , и поставлено

byyaxxD 

00

- любая точка области D.

),(

),(yx

P

)(x

y





0

x







x

000

XOY



yxf

,

K



(1.12)

y



где K - постоянное положительное число,

- любая точка области D.

При этих условиях уравнение (1.7) имеет единственное решение

удовлетворяющее начальному условию (1.10). Это решение определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности начального значения

x независимой переменной

; именно, оно заведомо определено в интервале

,0hxx  (1.13)

где h - наименьшее из чисел a и Mb

Mbah ,min

. (1.14)

y

by 0

0y

D by 0

0 ax 

0

hx 0

P

0

x hx 

0

ax 0 x

0

,

Рис. 4. Иллюстрация области в теореме Пикара

Доказательство теоремы Пикара мы не приводим. Из теоремы следует, что если правая часть уравнения (1.7) – полином относительно переменных

и y или любая другая функция, определенная и непрерывная относительно

и y вместе с частной производной по y при всех значениях

через любую точку ),(

yxP проходит одна и только одна интегральная

кривая, поскольку в любом прямоугольнике D с центром в точке ),(

и y, то

yxP

оба условия теоремы Пикара будут выполняться. В этом случае, вся плоскость

будет заполнена не пересекающимися и не касающимися друг друга

гладкими интегральными кривыми.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ

Введем терминологические дополнения. Интегрированием

дифференциального уравнения назовем совокупность операций выполняемых для нахождения общего решения.

Интегрируемость дифференциального уравнения в квадратурах

означает, что в общий или частный интегралы дифференциального уравнения

11

входят интегралы от функций, зависящих от y и x (по отдельности), которые

),(yx

f

dx

)(x

f

)(y



),(ba

),(dc

0)(y



0



000

),(ba),(dc

XOY

)(x

f

),(),,(dcyba

x



0)(y



),(dc

y



не обязательно вычисляются через элементарные функции.

Например, для дифференциального уравнения



общий интеграл представляется квадратурами

dy



yy

)2(

В данном случае интегралы вычисляются в элементарных функциях.

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. К дифференциальным уравнениям, интегрируемым в квадратурах, в первую очередь принадлежат уравнения с разделяющимися переменными. В этом случае функция

функции переменного x на функцию переменного y:

Теорема 1. Если в уравнении с разделяющимися переменными (2.1)

функции и

и

, то общий интеграл уравнения выражается в квадратурах:

непрерывны в интервалах

, в уравнении представляет собой произведение

dy

xyxyy 22



Cxdx





 . (2.1)

.

)()( yxf

и

соответственно

dy



y

)(



причем заданным начальным условием решение этого уравнения, где ),(

на плоскости

Частный интеграл уравнения (2.1), определяющий решение,

удовлетворяющее начальному условию может быть записан в виде

Доказательство. Поскольку по условию теоремы

непрерывны при

части уравнения (2.1) на



.

y

dy

y

)(



y

dx

, мы добиваемся разделения переменных

)( y

dy



yxM - любая точка прямоугольника

x



x

00

и



y

)(

 Cdxxf

)(

)( yxy

)(

dxxf

)(

, (2.2)

определяется единственное

Сdxxf



. (2.3)

при

. (2.4)

, то умножая обе

и )( y

12

Функция

)(x

f



).()(xdFy

dФ



CxFyФ





)()

(

,0),(yxG

.)()(),(CyФxFyx

G



x



bxa



dyc







0

bxa



dyc





первообразные

Поэтому равенство (2.4) можно записать следующим образом:

В формуле (2.5) y рассматривается как функция от x, определяемая

дифференциальным уравнением. Из равенства дифференциалов двух функций следует, что эти функции отличаются на постоянную:

или

Докажем, что соотношение (2.6) представляет собой общий интеграл

уравнения (2.1). Запишем соотношение (2.6) в виде

и

)(1y

непрерывна, и следовательно, имеют

dy

)()(

yФ





dy

,

y



y

)(

 .)()( dxxfxF

(2.5)

,

 Cdxxf

)(

(2.7)

. (2.6)

где

Соотношение (2.7) удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции:

производные )(xf

; 0

непрерывную и дифференцируемую. При этом имеет место равенство:

Таким образом, функции, определяемые уравнением (2.7), а следовательно и уравнением (2.6), являются решениями данного дифференциального уравнения (2.1). Эти функции получаются при различных значениях C, выбор которых определяется начальными условиями ),(

При фиксированном значении параметра C решение единственное.

Справедливо и обратное утверждение. Всякая функция, являющаяся решением уравнения (2.1), т.е. тождественно ему удовлетворяющая, обязана удовлетворять и вытекающему из него соотношению (2.6).

Следовательно, формула (2.6) действительно определяет общий интеграл уравнения.

Из (2.6) видно, что любые начальные условия ),(

G





G



y

. Поэтому уравнение (2.7) определяет y как функцию от x,

,

G







y



- непрерывны в области

)(1yy



G

x

y



(2.8)

.

)()( yxf





yx из прямоугольника

yx .

,

однозначно определяют надлежащие значения C.

13

Действительно, из (2.7), (2.8) получаем

0





0



)(y

Ф



Ф

0



11x



1





x



y

XOY

.Carctgx

arctgy





)(C

arctgx

tg

y





2



x

C

следовательно

),()(

xFyФC

).()()()(

xFyФxFyФ

Поскольку же 0

однозначное обращение. Обозначив обратную функцию



)( 

yФ

y



, то функция

)(

допускает

1

, получим искомое

частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

1

(2.9)

))()()((

yФxFxFФy 

т. е., решение задачи Коши единственно и теорема доказана.

Пример. Найти общее решение уравнения:

2

dy

 .

dx

y



2

1

Решение. В представленном уравнении

функции непрерывны при

,

)(xxf

 ,

2



1)( yy 

, т.е. на всей плоскости

1

, функция 0





. Таким образом, условия теоремы 1 выполнены.

)(

y

Разделяя переменные, получим уравнение с разделенными переменными



dx

11 x



.

22



dy

y

2

. Эти

Отсюда получаем соотношение

dy











d

 



11 x



y





dx

 

.



22



 

d







Освобождаясь от дифференциалов, имеем общий интеграл:

dx

;

C





22

11

x



dy



y

Разрешив общий интеграл относительно y, получим общее решение уравнения:

.

,

 Carctgx

Отметим, что в полученном общем решении значения параметра C (“произвольной постоянной”) не вполне произвольны. При выбранном интервале изменения независимой переменной

, параметр

может принимать бесконечное множество значений, но таких, чтобы не нарушались указанные неравенства.

14

Можно провести дальнейшее упрощение общего решения, если



1



1)0

(y

0x

1y

1



x

1

x

1

OX

OY

0)(y



0)(







),(dc







y





y





y





y





d

c





0)(











y



0y

2





y

)2,0(



y

воспользоваться формулой для тангенса суммы дуг и обозначить tgCC результате получим

Cx

1

y



1



Пример. Найти частное решение предыдущего дифференциального

уравнения, удовлетворяющее начальному условию

.

xC

.

. В

Решение. Подставляя в общее решение

Искомое решение задачи Коши имеет вид

x

1

y

Интегральной кривой является гипербола, смещенная и по оси

оси

что

решение уравнение

собственный интеграл. Поэтому решение интеграла (2.6).

.

2. Доказанные в теореме 1 утверждения установлены в предположении, ни при каком значении y из рассматриваемой области. Если

, где

(в этом можно убедиться непосредственно подстановкой в

).

Однако при

Если в дифференциальном уравнении )()( yxfy

, то уравнение, кроме общего интеграла, имеет еще решение, не

, то видно, что дифференциальное уравнение (2.1) имеет

интеграл

, или



y

dy





)( y

,

2



1 .



не существует по крайне мере как

не входит в состав общего

, получим 1

при

C .

, и по

получающееся из общего.

Будет ли это решение

нарушаться условие единственности) – этот вопрос требует специального рассмотрения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Запишем данное уравнение в виде )2( yxyy

видно, что функции

Остальные решения уравнения найдем, применив процедуру разделения

переменных и интегрируя уравнение с разделенными переменными:

Для вычисления интеграла в левой части равенства разложим правильную

рациональную дробь на простейшие дроби

и

dy

yy



особым (т.е. будет ли в каждой его точке



являются решениями уравнения.



xdx



)2(

,

15

.22xyxyy 

. Отсюда

.

Отсюда, приравняв числители дробей в левой и правой частях равенства,

.1)2(



ByyA





1



0y

C

~

0~

C

2





y

221

1





1

2

122

получаем

Решив систему уравнений

1

 y

yy

A

y

B



.

2)2(



  

BA



,12,0A

имеем:

dy

y

1



dy





y

dy

yy



1

2

)2( 

1



2

22

ln

y

.

2

y

Общий интеграл уравнения имеет вид

где обозначили

Отсюда имеем

Решение

можно получить из общего интеграла, расширив область

изменения параметра

y

ln

2



y

ln2 CC

.

y



eC

2



y

, включив в эту область значение

2

y

,

2



y

CCx

22

~

xx

0,ln



,

11

~

(,

CCeC

).0



11

. Но решение

нельзя получить из общего интеграла ни при каком значении этого

параметра.

Таким образом, вся совокупность решений рассматриваемого дифференциального уравнения включает общий интеграл и решение, не входящее в этот интеграл:

2

x

.2);,();2(

 yCyCey

3. В симметрической форме уравнения с разделяющимися переменными

имеют вид:

Разделение переменных в этом уравнении осуществляется умножением обеих частей (2.10) на множитель

1

Общий интеграл уравнения имеет вид:

)(

xP

1

dx

)(

xP

16

dyyQxPdxyQxP (2.10)

.0)()()()(

.

)()(

yQxP

)(

yQ



)(

yQ

.

Cdy



(2.11)

При получении общего интеграла, как и ранее, предполагалось, что в

bxa



dyc



2





),(ba





1





),(dc







y





x

0



2



1





y

x

2

Cx

1

0y

2

x

cos

1

C0

4

.

0y

),(yx

f

рассматриваемом прямоугольнике не обращаются в ноль.

Если 0)(

P , где

,

, 0)(

Q , где

функции )(

, то, кроме общего

xP и )(1yQ

интеграла, уравнение имеет решения

и

, не получаемые из общего

решения. Соответствующие этим решениям интегральные кривые – прямые, параллельные осям координат.

Частный интеграл, удовлетворяющий начальному условию

)( yxy

записывается в виде:

x

)(

xP

1

.0

x

dx

)(

xP

2

y

)(

yQ

2



1

y

00



dy

)(

yQ

(2.12)

Задачи для самостоятельного решения

1.

2.



y



2

1 yy 

. Ответ:

yy

22

. Ответ: 

y ,

2

 C

),sin(

и

 cxcxy

и

.



x

sin  dy

3.

y

dx

cos

x

.0

Ответ:

y

 .

C



4. 0)1()1(

22

 dyxydxyx . Ответ: ),1(1

22

xCy 

.

,

5. .0sin  dyxdxy Ответ:

1

2

;)(cos

Cxy 

2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1. К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные уравнения после выполнения замены неизвестной функции на новую функцию.

Определение. Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка

называется уравнение вида





y



.

(2.13)





x





y





Таким образом, уравнение (2.1) будет являться однородным

дифференциальным уравнением, если функция

представляет собой

однородную функцию переменных x и y нулевой степени однородности

0

),(),(

yxfttytxf  . В этом случае функция зависит лишь от отношения этих

переменных.

17

Теорема 2. Однородное дифференциальное уравнение (2.13) при

)(u



u

u)

(



),(ba

u



000

ax

y



bx

y



0x

x

)(x

u

xu

y











dx

u

u)

(



0x

)(u

Ф

x

),(ba

u

u)

(



)(u



bua



, 0



x

0



условии, что функция

непрерывна и

в интервале

, имеет

общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку

),(

yxM области плоскости, лежащей внутри вертикальных углов,

ограниченных прямыми

и

и не содержащей прямой

проходит единственная интегральная кривая.

Доказательство. Выполнив подстановку

y

u  (2.14)

относительно новой функции

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, так как Подставляя в уравнение (2.13), получим

du

dx

x

uu

. (2.15)

.)(C



Предполагая, что

и

du



x  )(



, разделяем переменные и интегрируем:



uu



Обозначив интеграл в левой части последнего равенства через

y

u  , получим общий интеграл уравнения (2.13) в виде:

, то uxuy

,

.

, где

y





Ф 





x





.ln Cx

(2.16)

На основе теоремы об уравнениях с разделяющимися переменными

(теорема 1, п.2.1) можем утверждать, что если в рассматриваемом интервале

функция

функции

) и не обращается в ноль, то в области такой, что

непрерывна (для чего достаточно непрерывности

уравнение (2.15) имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, а через каждую точку ),(

ux указанной области проходит единственная интегральная

кривая. Это же утверждение справедливо для уравнения (2.13), из которого уравнение (2.15) получается подстановкой.

Соответствующее значение параметра C получается из (2.16):





y

0



0





x

0







ФC 



Таким образом, решение с начальными условиями

.ln

x

0

)( yxy

будет

иметь вид





y





Ф 





x





y

0





Ф







x





x

.ln

x

00

18

Разрешив частный интеграл относительно функции

)(x

y



Ф

)(u

Ф

x

bxyax



0x

ax

y



bx

y



OY

0x



1)0

(y

ux

y



2

1



u

dx

1

2

uuudx



122

u

2

0С

1

1)0

(y

1







u

u)

(



0

x

0



xu

y







частное решение

, получим



1





ФxФy

 

.

где



1

- обратная функция для

Область единственности решения задачи Коши b

, представляет собой внутреннюю часть двух вертикальных углов,

ограниченных прямыми содержат ось

, т.к.

,

.

Пример. Найти частный интеграл уравнения 0

удовлетворяющее начальному условию

Решение. Применяем подстановку

1

du



x ;

u

0





12

u

 

2

du

dx

x



0

;





y

0



 







x





x



(2.17)

,ln



x

00



y

a  или

, причем берутся те два угла, которые не





y ,

yx

2

yx

.

. Получим

du

x

2



122



0



;



1

2

Cxuu lnln122ln



,

)122( Cuux  ;

222

22

22 Cyxyx  , 0

2

 CC .

Таким образом, получен общий интеграл рассматриваемого ОДУ. Для

получения частного решения подставим в общий интеграл начальные данные

. Определим постоянную 2:

CC . Частный интеграл,

удовлетворяющий заданным начальным данным, имеет вид

22

222

 yxyx .

2. Если в дифференциальном уравнении uuux

)(

(2.15),

вытекающим из однородного уравнения (2.13), найдутся такие значения u, при которых уравнение

имеет решения, то каждому такому

u будет

y

отвечать решение дифференциального уравнения

u

 , т.е. xuy

0

, не

вытекающее из общего интеграла.

Пример. Решить уравнение yyxyx 



Решение. Перепишем уравнение в виде

, откуда uuxy

. Подставляя в уравнение выражения y и y,

22



y 

.

2

y

x

y

1

и положим

2

x

получим

19