Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая физика. Молекулярная физика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Подставим числовые значения и получим
4,00 8,31 310
p
44 10 20,0 10
33
11,7 10 Па.
6
Полученное давление настолько велико, что применение уравнения
идеального газа вряд ли оправдано. Рассчитаем давление по уравнению Вандер-Ваальса
2
va
pVvbvRT
2
V
,
где a, b — постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа.
Откуда
m
vRT v a m a
p
VvbV V
2
22
RT
m
Vb
2
.
Подставим числовые значения и получим
4,00
8,31 310
P
20,0 10 42,8 10
44 10
4,00
36
3
44 10
3
4,00 0,361
44 10
2
7,08 МПа.
3
20,0 10
2
3
Задача 2. Углекислый газ, содержащий количество вещества v = l моль
находится в критическом состоянии. При изобарном нагревании газа его объем
V увеличился в k = 2 раза. Определить изменение Т температуры газа, если его
критическая температура Т
= 304 K.
кр
Решение
Для решения задачи удобно воспользоваться уравнением Ван-дер-Ваальса
в приведенной форме. Так как давление остается постоянным (р = p
), то = 1;
кр
молярный объем газа, согласно условию, увеличился в два раза, т. е. = 2.
Из уравнения (9.5) выразим приведенную температуру :
13 13 35
88432
31 1 61 .
2
Температура Т, как отмечалось, связана с приведенной температурой
и критической T
соотношением Т = Ткр. Произведя вычисления по этой
кр
формуле, получим T = 332 K.
161
Задача 3. В цилиндре под поршнем находится хлор массой m = 20 г.
Определить изменение U внутренней энергии хлора при изотермическом
расширении его от V
= 200 см3 до VI = 500 см3.
1
Решение
Внутренняя энергия U реального (Ван-дер-Ваальсового) газа определяется
выражением (9.6). Изменение U внутренней энергии в результате
изотермического расширения найдем как разность двух значений внутренней
энергии при объемах V
и V1:
2
maV V
UU U
21
2
21
MVV
212
.
Подставив значения величин в формулу и произведя вычисления, получим
2
20 10 0,650 5 2 10
UU U
21
34
71 10 2 10 5 10
344
Дж 154 Дж.
Отметим, что для идеального газа такое изменение внутренней энергии
соответствовало бы нагреванию на 26,3 K.
Задачи для аудиторных занятий
№ 1.
Определить давление p, которое будет производить кислород,
содержащий количество вещества ν = 1 моль, если он занимает объем V = 0,5 л
при температуре T = 300 K. Сравнить полученный результат с давлением,
вычисленным по уравнению Менделеева — Клапейрона.
№ 2. В баллоне вместимостью V = 8 л находится кислород массой
m = 0,3 кг при температуре Т = 300 K. Найти, какую часть вместимости сосуда
составляет собственный объём молекул газа. Определить отношение
внутреннего давления pʹ к давлению р газа на стенки сосуда.
№ 3. В закрытом сосуде объемом V = 0,5 м
3
находится количество
ν = 0,6 кмоль углекислого газа при давлении p = 3 МПа. Пользуясь уравнением
Ван-дер-Ваальса, найти, во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы
давление увеличилось вдвое.
№ 4. Определить давление p водяного пара массой m = 1 кг, взятого при
температуре T = 380 К и объеме V: 1) 1000 л; 2) 10 л; 3) 2 л.
162
№ 5. Найти удельный объем бензола (C
) в критическом состоянии, если
6H6
его критическая температура T
= 562 К и критическое давление pкр = 73 атм.
кр
№ 6. Зная постоянные Ван-дер-Ваальса, найти: а) наибольший объем,
который может занимать вода массой m = 1,00 кг в жидком состоянии;
б) наибольшее давление насыщенных паров воды.
№ 7. Найти критический объем V
веществ: 1) кислорода массой m = 0,5 г;
кр
2) воды массой m = 1 г.
№ 8. Давление p кислорода равно 7 МПа, его плотность ρ = 100 кг/м
3
Найти температуру T кислорода.
№ 9. Вычислить постоянные a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для
кислорода, если известны критические температура T
= 5 МПа.
p
кр
= 150 К и давление
кр
.
№ 10. Вычислить температуру, объем, давление и плотность неона
в критическом состоянии, считая газ Ван-дер-Ваальсовским.
№ 11. Найти, во сколько раз давление Ван-дер-Ваальсовского газа больше
его критического давления, если известно, что его объем в 3 раза, а температура
в 4 раза больше критических значений.
№ 12. Кислород, содержащий количество вещества = l моль, находится
при температуре Т = 350 K. Найти относительную погрешность в вычислении
внутренней энергии газа, если газ рассматривать как идеальный. Расчеты
выполнить для двух значений объема V: 1) 2 л; 2) 0,2 л.
№ 13. Криптон в количестве 1 моль находится при температуре 300 K.
Найти относительную погрешность Δp/p, которая будет допущена при
вычислении давления, если вместо уравнения Ван-дер-Ваальса воспользоваться
уравнением Менделеева — Клапейрона. Вычисления выполнить для двух
значений объема: 1) 2,00 л; 2) 0,20 л.
№ 14. Кислород массой 8 г занимает объем V = 20 см
T = 300 K. Определить внутреннюю энергию U кислорода.
163
3
при температуре
№ 15. Определить изменение U внутренней энергии неона, содержащего
количество вещества = l моль, при изотермическом расширении его объема от
= 1 л до V2 = 2 л.
V
1
№ 16. Два баллона с объемами V
с краном. В объеме V
откачан до предельного вакуума. Считая, что воздух подчиняется уравнению
V
2
находится воздух под атмосферным давлением, а объем
1
= V2 = V = 1 л соединены трубкой
1
Ван-дер-Ваальса, а стенки баллонов и трубки адиабатические, определить, на
сколько изменится температура газа после открытия крана. Начальная
6
температура T = 290 K, для воздуха a = 1,39 ∙ 10
атм∙см6/моль2.
№ 17. Моль азота расширяется в пустоту от начального объема 1 л до
конечного 10 л. Найти понижение температуры ΔT при таком процессе, если
постоянная a в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота
6
a = 1,35 ∙ 10
№ 18. Найти C
атм∙см6/моль2.
– CV для моля газа Ван-дер-Ваальса.
p
№ 19. Найти уравнение политропы для газа Ван-дер-Ваальса, считая, что
его теплоемкость C не зависит от температуры.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1.
Количество ν = 1 кмоль углекислого газа находится при температуре
t = 100 °С. Найти давление p газа, считая его а) реальным; б) идеальным. Задачу
решить для объемов V
= 1 м3 и V2 = 0,05 м3.
1
№ 2. Какую температуру Т имеет масса m = 2 г азота, занимающего объём
3
V = 820 см
при давлении р = 0,2 МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный;
б) реальный.
№ 3. Вычислите критическую температуру T
и давление pкр:
кр
1) кислорода; 2) воды.
№ 4. Определить наибольшее давление p
№ 5. Определить наибольший объем V
насыщенных водяных паров.
max
, который может занимать вода,
max
содержащая количество вещества ν = 1 моль.
164
№ 6. Вычислить постоянные a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота,
если известны критические температура T
№ 7. Критическая температура T
давление p
объем V
= 4,86 МПа. Определить по этим данным критический молярный
кр
аргона.
mкр
кр
= 126 К и давление p
кр
аргона равна 151 К и критическое
= 3,39 МПа.
кр
№ 8. Определить плотность ρ водяных паров в критическом состоянии.
№ 9. Вычислить температуру и плотность углекислого газа в критическом
состоянии, считая газ Ван-дер-Ваальсовским.
№ 10. Какую температуру T имеет кислород массой m = 3 г, занимающий
3
объем V = 800 см
№ 11. Гелий массой 10 г занимает объем 100 см
при давлении p = 0,3 МПа?
3
при давлении 100 МПа.
Найти температуру газа, рассматривая его как: 1) идеальный; 2) Ван-дерВаальсовский.
№ 12. Найти эффективный диаметр молекулы кислорода, считая, что
критические величины T
и pк для кислорода известны.
к
№ 13. Найти внутреннюю энергию U углекислого газа массой m = 132 г
при нормальном давлении p
и температуре T = 300 К в двух случаях, когда газ
0
рассматривают: 1) как идеальный; 2) как реальный.
№ 14. Найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа
при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы вычислить, считая
известными для углекислого газа критические температуру T
и давление pк.
к
№ 15. Газ находится в критическом состоянии. Во сколько раз возрастет
давление газа, если его температуру изохорно увеличить в 3 раза? Задачу
решить для двух случаев: 1) газ идеальный; 2) газ Ван-дер-Ваальсовский.
№ 16. Два сосуда с объемами V
и V2 соединены трубкой с краном.
1
В каждом из них при закрытом кране находится по одному молю одного и того
же газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса. До открытия крана
165
температура газа в обоих сосудах была одинакова и равна T. На сколько
изменится температура газа после открытия крана?
№ 17. Азот при критической температуре T
объем V
= 0,12 л/моль. Считая, что азот подчиняется уравнению Ван-дер-
кр
= 147 °C имеет критический
кр
Ваальса, найти понижение температуры 7 г азота при расширении в пустоту от
объема V
= 5 л до объема V2 = 50 л.
1
№ 18. Какое количество тепла надо подвести к одному молю газа Ван-дер-
Ваальса, чтобы при расширении в пустоту от объема V
до объема V2 его
1
давление осталось постоянным и равным p?
№ 19. Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса, с
a = 0 в опыте Джоуля — Томсона всегда нагревается. Определить повышение
температуры при расширении.
Семинар 10
Насыщенный пар. Влажность воздуха
Испарением называется процесс перехода вещества из жидкого состояния
в газообразное. Испарение может происходить при любой температуре.
Конденсацией называется процесс перехода вещества из газообразного
состояния в жидкое.
Динамическое равновесие между паром и жидкостью — число молекул,
покидающих поверхность жидкости, равно в среднем числу молекул пара,
возвратившихся за то же время в жидкость.
Насыщенным называется пар, находящийся в динамическом равновесии со
своей жидкостью.
Ненасыщенный пар подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона.
Свойства насыщенного пара:
концентрация молекул насыщенного пара при постоянной
1)
температуре не зависит от его объема, так как давление пропорционально
концентрации молекул p
не зависит от его объема.
p
0
= nkT, то следовательно, давление насыщенного пара
0
давление насыщенного пара зависит от температуры, но опыт
2)
показывает, что давление насыщенного пара растет не только вследствие
166
повышения температуры, но и вследствие увеличения концентрации его
p
молекул.
Содержание водяного пара в воздухе характеризуется
влажностью.
Абсолютной влажностью называют массу водяного пара,
3
содержащуюся в 1 м
воздуха при данной температуре:
m
.
(10.1)
V
Абсолютную влажность воздуха обычно выражают в г/м
Относительной влажностью называют отношение парциального
давления
данной температуре, к давлению p
(или плотности ρ) водяного пара, содержащегося в воздухе при
насыщенного пара (или плотности ρ0
0
насыщенного пара) при той же температуре, выраженное в процентах.
p
p
0
100%,
0
100%.
(10.2a)
(10.2b)
3
.
Парциальным давлением водяного пара (упругостью водяных паров)
называется давление
, которое производил бы водяной пар, если бы все
остальные газы отсутствовали. Парциальное давление принято выражать в Па
или кПа.
Температура, при которой пар становится насыщенным, называется
точкой росы Tр(tр).
Зависимость давления и плотности насыщенного водяного пара от
температуры представлена в таблице
t, °C
–5
0
1
2
3
4
р
, кПа ρ0, г/м
0
0,40 3,2
0,61 4,8
0,65 5,2
0,71 5,6
0,76 6,0
0,81 6,4
3
t, °C
12
13
14
15
16
17
р
, кПа ρ0, г/м
0
1,40 10,7
1,49 11,4
1,60 12,1
1,71 12,8
1,81 13,6
1,93 14,5
3
5
6
7
0,88 6,8
0,93 7,3
1,00 7,8
18
19
20
167
2,07 15,4
2,20 16,3
2,33 17,3
8
M
1,06 8,3
30
4,24 30,4
9
10
11
1,14 8,8
1,23 9,4
1,33 10,0
40
50
90
7,37 51,2
12,34 82,9
70,11 423,3
Примеры решения задач
Задача 1.
Выпадет ли роса, если ночью температура понизится до 8
Относительная влажность воздуха вечером при 16 °С равна 55%.
°С?
Решение
По таблице определяем для данной температуры давление насыщенного
пара:
t = 16 °C p
= 1,81 кПа.
0
Пользуясь формулы относительной влажности определяем парциальное
давление водяного пара:
p
100% 0,99 кПа.
p
0
p
p
100% 100%
0
55% 1,81
По значению давления из таблицы определяем точку росы:
р = 0,99 кПА → t
≈ 7 °С, т. е. роса выпадет при понижении температуры до
р
7 С, а по условию, температура понизилась только до 8 С, значит, роса не
выпадет.
Задача 2. Литр воздуха, насыщенного водяным паром при 50С, имеет
массу m = 1,04 г при нормальном атмосферном давлении. Определите
абсолютную влажность воздуха.
Решение
Обозначим массу водяного пара в данном объеме воздуха m
сухого воздуха в данном объеме m
, аналогично p1 и p2 — парциальные
2
, а массу
1
давления водяного пара и сухого воздуха. Молярные массы пара и воздуха
соответственно равны:
= 18 ꞏ 10–3 кг/моль; М2 = 29 ꞏ 10–3 кг/моль.
М
1
Парциальные давления найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона,
записанного для водяного пара и сухого воздуха соответственно:
mmRT
pV RT p
11
11
11
168
MV
;
mmRT
M
pV RT p
22
22
22
MV
.
Полученные выражения подставим в формулу для давления, выразив массу
воздуха:
m2 = m – m
mmRT
mRT m m mRT
pp p
12
111
MV M V V M M
12 12
1
;
1
.
Из данного уравнения выразим массу пара, в результате преобразований
получим:
mm
MpVM
1
MM RT
21
12
,
подставим данное выражение в формулу абсолютной влажности:
353 3
p
MpM
MM RTV
21
12
m
29 10 18 10 8,31 323 10
18 10 10 29 10 1,04 10
33 3
0,082 кг/м .
Задачи для аудиторных занятий
№ 1.
В сосуд объемом 10 дм3, наполненный сухим воздухом при давлении
5
Па и температуре 0 С, вводят 3 г воды. Сосуд нагревают до температуры
10
3
100 С. Каково давление влажного воздуха в сосуде при этой температуре?
№ 2. В отростке сосуда, закрытого поршнем, находится
некоторая масса воды в равновесии с насыщенным паром. Диаметры
сосуда и отростка 5 см и 2 мм. Поддерживаемая температура 20 С,
поршень опускается на высоту 10 см; уровень воды в отростке при
этом повышается на высоту 1 мм. Определите давление насыщенного
пара воды при 20 С.
№ 3. Термос заполнен кипящей водой и герметически закрыт крышкой. Какая
сила потребуется (после охлаждения) для того, чтобы вытащить пробку
диаметром 3 см? Трением пренебречь. Давление пара над остывшей водой мало.
№ 4. В цилиндре под поршнем сечением 100 см
2
находится 18 г воды при
температуре 0 С. Цилиндр нагревается до температуры 200 С. На какую
высоту поднимется поршень с лежащим на ней грузом массой 100 кг?
169
Атмосферное давление 105 Па. Давление насыщенного пара при температуре
200 С — 1,6 МПа.
№ 5. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем массы 10 кг
находится некоторое количество воздуха, воды и водяного пара при температуре
100 С. В положении равновесия поршень отстоит от дна цилиндра на
расстояние 20 см. Когда цилиндр расположили горизонтально, поршень занял
новое положение равновесия, переместившись на расстояние 3 см от
первоначального положения. Какая масса воды была на дне сосуда? Площадь
поршня 400 см
2
.
№ 6. Влажный термометр психрометра показывает 10 С, а сухой — 14 С.
Найдите относительную влажность и упругость водяного пара.
№ 7. Относительная влажность воздуха в помещении 60%, температура
18 С. До какой температуры надо охладить металлический предмет, чтобы его
поверхность «запотела»?
№ 8. В сосуде объемом V находится воздух при температуре 20 С
и влажности 40%. Найти относительную влажность воздуха, если его нагреть
до температуры 100 С, а объем уменьшить в четыре раза. Давление
насыщенного водяного пара при 20 С равно 2,33 кПа.
№ 9. В комнате объемом 64 м
3
при температуре 20 С относительная
влажность 60%. Определите массу паров в воздухе комнаты. Давление
насыщенных паров воды при 20 С равно 2,33 кПа.
№ 10. При температуре 20 С и давлении 760 мм рт. ст. воздух имеет
влажность 100%. На сколько процентов он легче сухого воздуха той же
температуры при том же давлении? Молярная масса сухого воздуха 29 кг/моль,
а давление насыщенного пара при 20 С 2,33 кПа.
№ 11. В комнате при температуре 15 С относительная влажность 10%. Как
изменится относительная влажность, если температура в комнате повысится на
10 С? Давление насыщенного пара при 15 С — 12,8 мм рт. ст., а при 25 С —
23,8 мм рт. ст.
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]