Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая физика. Молекулярная физика. Учебно-методическое пособие
.pdf
2100 1 (0 ( 20)) 333 10 1 4200 (1 0 2 15)
t
4200 1 2
3
o
19,7 C.
Итак, получилось, что при плавлении всего льда температура
в калориметре должна была бы понизиться до минус 19,7 °С. Однако
минимальная температура воды не может быть меньше температуры плавления
t
= 0 °С. Отсюда следует, что лед расплавится лишь частично, а температура в
пл
калориметре установится t = 0 °С.
Следовательно, за счет охлаждения воды в калориметре до t
нагревается до t
= 0 °С и часть его
пл
m
расплавится.
л
В этом случае теплота нагревания льда
Qл = cлmл (tпл – tл).
m
Теплота плавления льда массой
Теплота, полученная при охлаждении воды массой
л
Qпл = λ
m
.
л
m
Q = cвmв (tпл – tв).
Составим уравнение теплового баланса
Qл + Qпл + Q = 0;
cлmл (tпл – tл) + λ
m
+ cвmв (tпл – tв) = 0,
л
= 0 °С лед
пл
,
в
откуда масса расплавленного льда
m
cm t t cm t t
л
ввпл в ллпл л
.
() ()
Рассчитаем массу расплавленного льда
4200 2 (0 15) 2100 1 0 ( 20)
m
л
333 10
3
0,252 кг.
Таким образом, в калориметре после установления теплового равновесия
будет лед в количестве
л.к. л л
1,00 0, 252 0,748 кгmmm
и вода в количестве
в.к. в л
2,00 0, 252 2, 252 кг.mmm
151
Задача 2. Найти изменение S энтропии при нагревании воды массой
m = 100 г от температуры t
= 0 °C до температуры t2 = 100 °С и последующем
1
превращении воды в пар той же температуры.
Решение
Найдем отдельно изменение энтропии S' при нагревании воды
и изменение энтропии S" при превращении ее в пар. Полное изменение
энтропии выразится суммой S' и S".
Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой (7.7):
2
dQ
SS S
21
.
0
T
При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела
затрачивается количество теплоты dQ = cmdT, где m — масса тела; с — его
удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство, найдем формулу
для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:
T
cmdT
S
2
T
1
T
.
После интегрирования получим
T
Scm
2
ln 4200 0,1 ln 132 Дж/К.
T
1
373
273
Изменение энтропии во время превращения воды в пар
2
1
TT
1
SdQ
Q
,
где Q — количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар
той же температуры.
Подставив в равенство выражение количества теплоты Q = m, где —
удельная теплота парообразования, получим
333 10 0,1 Дж
m
S
T
3
605 .
373 К
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем
превращении ее в пар S = S' + S" = 737 Дж/К.
Задача 3. Определить изменение S энтропии при изотермическом
расширении кислорода массой m = 10 г от объема V
152
= 25 л до объема V2 =100 л.
1
Решение
M
Так как процесс изотермический, то в общем выражении для изменения
энтропии
2
SS S
21
dQ
1
T
температуру выносим за знак интеграла.
Выполнив это, получим
2
1
SdQ
1
TT
Q
.
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу
термодинамики: Q = U + A.
Для изотермического процесса U = 0, следовательно, Q = A, а работа А
для этого процесса определяется по формуле
Vm
ART
2
ln .
V
1
Следовательно
m
SR
MV
V
ln 8, 31 ln 3,6 Дж/К.
10 100
2
32 25
1
Задача 4. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две равные
части. В одной половине сосуда находится идеальный газ, масса которого m,
молярная масса М. В другой — вакуум. Перегородку мгновенно убирают, и газ
заполняет весь объем V. Найти приращение энтропии в этом процессе.
Решение
1-й способ. Так как сосуд теплоизолированный δQ = 0, и газ расширяется
в пустоту без совершения работы, можно для вычисления приращения
энтропии применить формулы для изотермического процесса
22
SR
dQ pdV m RdV m
11 0,5
TTMVM
V
ln 2.
Из полученного ответа видно, что энтропия увеличилась. Это согласуется
с выводом, что необратимые процессы в теплоизолированной системе идут
с возрастанием энтропии.
153
2-й способ. Статистический вес начального состояния газа равен единице,
так как существует одно микросостояние, при котором все молекулы находятся
в одной половине сосуда: Ω
= 1.
1
В конечном состоянии молекулы распределены по половинам сосуда почти
поровну (строго поровну, если отвлечься от флуктуаций). Учтем, что число
способов, которыми можно выбрать n молекул из совокупности N молекул,
равно числу сочетаний из N по п:
2
N
!( )!
nN n
.
!
Так как для конечного состояния п = N/ 2, то
2
N
N
2
.
2
!
!
С учетом формулы Стирлинга, которая верна для больших N:
ln(N!) = NlnN – N
получаем
ln ln 2.N
2
Окончательно имеем:
m
S k kN kvN R
Задачи для аудиторных занятий
№ 1.
кусок льда массой 200 г при температуре (–10 °С). Определите конечную
температуру воды в сосуде. Теплоемкостью сосуда пренебречь.
№ 2. Некоторая установка мощностью 30 кВт охлаждается проточной
водой, текущей по специальной трубе, диаметр которой 15 мм. При
установившемся режиме проточная вода нагревается на 15 °С. Определить
скорость воды, предполагая, что вся мощность установки идет на нагрев воды.
№ 3. В тающую льдину попадает пуля, летящая со скоростью 1000 м/с.
В сосуд, содержащий 600 г воды при температуре 50 °С, бросают
ln ln ln 2 ln 2 ln 2.
21
A
M
Масса пули 10 г. Считая, что 50% кинетической энергии превращается
в теплоту и идет на плавление льда, найти, какое количество льда растаяло.
154
№ 4. В калориметре находится вода массой m
= 30 °C. Для того, чтобы охладить воду, из холодильника в стакан переложили
t
в
= 0,16 кг и температурой
в
лёд массой m
= 80 г. В холодильнике поддерживается температура tл = −12 °C.
л
Определите конечную температуру в калориметре.
№ 5. В снеготаялке с КПД 25% сожжено 2000 кг дров. Какую площадь
можно освободить за счет этого от снега при температуре –5 °С, если толщина
3
снежного покрова 50 см? Плотность снега 300 кг/м
, удельная теплоемкость
снега 1,7 кДж/(кг∙К), удельная теплота плавления снега 0,335 МДж/кг, теплота
сгорания дров 12,57 МДж/кг.
№ 6. В колбе находилась вода при температуре 0 °С. Выкачав из колбы
воздух, заморозили всю воду посредством ее испарения. Какая часть воды при
этом испарилась, если притока тепла извне нет?
№ 7. Для работы двигатель расходует 150 кг каменного угля в 1 ч.
Охлаждение его осуществляется водой, температура которой при входе 12 °С,
а при выходе 27 °С. Определите расход воды за 1 с, если на нагревание воды
затрачивается 25% общего количества тепла.
№ 8. Найти изменение S энтропии при нагревании воды массой m = 100 г
от температуры t
= 0 °C до температуры t2 = 100 °С и последующем
0
превращении воды в пар той же температуры.
№ 9. Найти изменение S энтропии при превращении массы 10 г льда
(T
= 253 K) в пар (T2 = 373 K).
1
№ 10. Найти изменение S энтропии при переходе массы 8 г кислорода
при температуре 353 К от объема 10 л к объему 40 л при температуре 573 К.
№ 11. Кислород массой 10 г нагревается от температуры 323 К до
температуры 423 К. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит:
а) изохорически; б) изобарически.
№ 12. Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле
Карно 4,9 кДж/К. Разность температур между двумя изотермами 100 K. Какое
количество теплоты превращается в работу в этом цикле?
155
№ 13. Найти изменение энтропии 7 моль идеального трехатомного газа при
изохорном увеличении его абсолютной температуры в 2 раза.
№14. В закрытом сосуде объемом 2,50 л находится водород при
температуре 17,0 °C и давлении 100 мм рт. ст. Водород охлаждается до 0 °C.
Найти изменение энтропии.
№ 15. До какой температуры нужно изохорно довести кислород массой
4 кг, находящийся при температуре 227 °C, чтобы уменьшить энтропию
кислорода на 1,31 кДж/К?
№ 16. Найти приращение энтропии одного моля идеального газа
с показателем адиабаты при увеличении его термодинамической температуры
в п раз, если процесс нагревания — изохорический. Газ считать идеальным.
№ 17. Один моль идеального газа с показателем адиабаты совершает
политропический процесс, в результате которого абсолютная температура газа
увеличивается в раз. Показатель политропы равен п. Найти приращение
энтропии газа в данном процессе.
№ 18. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором
энтропия газа изменяется с температурой Т по закону S = αT + C
положительная постоянная, C
— молярная теплоемкость данного газа при
V
lnТ, где α —
V
постоянном объеме. Найти, как зависит температура газа от его объема в этом
процессе, если при V = V
температура Т = Т0.
0
№ 19. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором его
энтропия S зависит от температуры Т, как S = α/Т, где α — постоянная. Найти
молярную теплоемкость газа C как функцию температуры Т.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1.
Для определения удельной теплоты плавления льда в сосуд с водой
массой 300 г и температурой 20 °С стали бросать кусочки тающего льда при
непрерывном помешивании. К моменту времени, когда лед перестал таять,
масса воды увеличилась на 84 г. Определите по данным опыта удельную
теплоту плавления льда.
156
№ 2. В калориметр налито 100 г воды, имеющей температуру 20 °C.
В калориметр помещают металлическое тело массой 40 г, нагретое до
температуры 100 °C. После установления теплового равновесия температура в
калориметре стала равна 23,2 °C. Найдите удельную теплоёмкость металла, из
которого изготовлено тело. Удельная теплоёмкость воды 4,19 кДж/(кг ꞏ°C),
теплоёмкость калориметра 35,2 Дж/°C, потерями теплоты в окружающую среду
можно пренебречь.
№ 3. Для охлаждения лимонада массой 200 г в него бросают кубики льда
при 0 °С. Масса каждого кубика 8 г. Какова первоначальная температура
лимонада, если установилась температура 15 °С после того, как в него бросили
4 кубика? Удельная теплоемкость лимонада равна удельной теплоемкости воды.
Тепловыми потерями пренебречь.
№ 4. Снежок, летящий со скоростью 20 м/с, ударяется в стену. Какая часть
его расплавится, если температура окружающей среды равна 0 °С, а вся
кинетическая энергия передается снегу?
№ 5. С какой высоты падает тело, если при ударе о землю оно нагревается
на 0,2 К? Удельная теплоемкость тела 130 Дж/(кгꞏК). При ударе на нагревание
идет 50% механической энергии. Сопротивлением воздуха пренебречь.
№ 6. Кислород массой 2 кг увеличил свой объем в пять раз. Найти
изменение энтропии, если процесс расширения происходил:
1) в изотермических; 2) в адиабатических условиях.
№ 7. Найти изменение энтропии ΔS для 5 г водорода от V
= 10 л до V2 = 25 л.
1
№ 8. Найти изменение энтропии ΔS 30 г льда при превращении его в пар,
если начальная температура льда Т = –40 C.
№ 9. Водород массой m = 100 г был изобарно нагрет так, что объем его
увеличился в n = 3 раза, затем водород был изохорно охлаждён так, что
давление его уменьшилось в n = 3 раза. Найти изменение ΔS энтропии в ходе
указанных процессов.
№ 10. Во сколько раз надо изохорно увеличить давление 4 моль идеального
одноатомного газа, чтобы его энтропия возросла на 23,0 Дж/К?
157
№ 11. Во сколько раз необходимо изохорно изменить давление 8 моль
идеального трехатомного газа, чтобы его энтропия уменьшилась на 57,6 Дж/К?
№ 12. Найти изменение энтропии при переходе 200 г азота от объема 30 л
при температуре 300 К к объему 90 л при температуре 600 К.
№ 13. Идеальный газ в количестве ν молей сначала изохорически
охладили, а затем изобарически расширили так, что температура газа стала
равна первоначальной. Найти приращение энтропии газа, если его давление
в данном процессе изменилось в п раз.
№ 14. В сосудах 1 и 2 находится по ν молей идеального газа с показателем
адиабаты . Отношение объемов сосудов V
температур газа в них T
– S1).
(S
2
= β > 1. Найти разность энтропий газа в этих сосудах
2/Tl
= α > 1, а отношение абсолютных
2/Vl
№ 15. Процесс расширения ν молей идеального газа с показателем
адиабаты происходит так, что давление газа увеличивается прямо
пропорционально его объему. Найти приращение энтропии газа при увеличении
объема в α раз.
№ 16. При очень низких температурах теплоемкость кристаллов С = αТ
3
где α — постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры
в этой области.
№ 17. Рабочее вещество совершает цикл, в пределах
которого абсолютная температура изменяется в n раз, а сам
цикл имеет вид, показанный на рисунке, где Т — температура,
,
S — энтропия. Найти КПД цикла.
№ 18. Два одинаковых теплоизолированных сосуда, соединенные трубкой
с краном, содержат по одному молю одного и того же идеального газа.
Температура газа в одном сосуде T
равна C
. После открывания крана газ пришел в новое состояние равновесия.
V
, в другом Т2. Молярная теплоемкость газа
1
Найти ∆S — приращение энтропии газа.
158
№ 19. Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две
A
одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального
газа с показателем адиабаты γ, а по другую сторону — вакуум. Начальная
температура газа Т
. Поршень отпустили, и газ заполнил весь цилиндр. Затем
0
поршень медленно переместили в начальное положение. Найти приращение
энтропии газа в результате обоих процессов.
Семинар 8
Элементы неравновесной термодинамики
Предлагаемые темы реферативных сообщений
1. Основные положения неравновесной термодинамики. Локальная
формулировка первого начала термодинамики.
2. Локальная формулировка второго начала термодинамики.
3. Линейная неравновесная термодинамика. Критерий И. Пригожина.
4. Общие представления термодинамики систем, далеких от равновесия.
5. Возникновение диссипативных структур. Земля как неравновесная
структура.
6. Кинетические фазовые переходы в жидкостях: турбулентное течение,
ячейки Бенара.
Семинар 9
Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критическое состояние
Уравнение состояния для 1 моль реального газа в приближении Ван-дер-
Ваальса (
где V
уравнение Ван-дер-Ваальса):
— молярный объем газа; a, b — постоянные Ван-дер-Ваальса, различные
μ
a
pVbRT
2
V
,
(9.1)
для разных газов.
Поправка b равна учетверенному собственному объему всех молекул в
1 моль, т. е.
3
d
bN
эф
4,
(9.2)
6
159
где dэф — эффективный диаметр молекулы.
R
Уравнение состояния для v моль реального газа:
2
va
p V vb vRT
2
V
.
(9.3)
Соотношения между параметрами критического состояния и постоянными
Ван-дер-Ваальса:
V
= 3b, (9.4a)
μкр
a
,
(9.4b)
2
b
a
,
(9.4c)
где V
p
кр
27
TbR
— молярный критический объем; pкр критическое давление; Tкр —
μкр
8
кр
27
критическая температура.
Уравнение состояния для 1 моль реального газа в приведенных
переменных (
приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса)
3
318,
2
(9.5)
где π = p/p
τ = T/T
кр
— приведенное давление; ω = Vμ/V
кр
— приведенная температура.
— приведенный объем;
μкр
Внутренняя энергия реального газа в приближении Ван-дер-Ваальса
v
,
V
(9.6)
V
где v — число моль газа; c
UvcT
— молярная теплоемкость при постоянном объеме;
μV
V — объем газа; α — постоянная Ван-дер-Ваальса.
Примеры решения задач
Задача 1.
В сосуде емкостью 20,0 л при температуре 310 К находится 4,0 кг
углекислого газа. Найти давление газа на стенки сосуда.
Решение
Найдем давление, которое оказывал бы газ, если бы подчинялся уравнению
Клапейрона — Менделеева
TmRT
pv
VV
160
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]