Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая физика. Молекулярная физика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Задачи для аудиторных занятий
Часть 1.
№ 1.
формулу наиболее вероятной скорости v
Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести
.
в
№ 2. Преобразовать функцию распределения Максвелла, перейдя от
переменной v к переменно u = v/v
, где vв — наиболее вероятная скорость
в
молекул.
№ 3. Найти относительное число молекул ΔN/N гелия, скорости которых
отличаются от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с, при температуре газа
T = 300 К.
№ 4. При какой температуре T средняя квадратичная скорость молекул
кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с?
№ 5. Получить функцию распределения молекул по импульсам F(p)
2
и определить среднее значение квадрата импульса p
.
№ 6. По функции распределения молекул по скоростям определить
среднюю квадратичную скорость v
кв
.
№ 7. Какая часть молекул кислорода при температуре Т = 273 К обладает
скоростями, лежащими в интервале от v
= 100 м/с до v2 = 110 м/c? Чему равна
1
наиболее вероятная скорость движения молекул при этой температуре?
№ 8. Определить, во сколько раз средняя кинетическая энергия E
поступательного движения молекул идеального газа отличается от наиболее
вероятного значения E
кинетической энергии поступательного движения при
в
той же температуре.
№ 9. Какая часть молекул азота при температуре Т имеет скорости,
лежащие в интервале от v
до vв + ∆v, где ∆v = 20 м/с, если: а) Т = 400 К;
в
б) Т = 900 К?
№ 10. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость v
кислорода больше их наиболее вероятной скорости v
111
на ∆v = 100 м/с?
в
молекул
кв
№ 11. При какой температуре газа T, состоящего из смеси азота
и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут
отличаться друг от друга на ∆v = 30 м/с?
№ 12. Во сколько раз изменится значение максимума функции
распределения молекул одноатомного идеального газа по кинетическим
энергиям F(E), если температура газа увеличится в 2 раза?
№ 13.
молекул v
Найти температуру T газообразного азота, при которой скоростям
= 300 м/с и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения
1
функции распределения молекул идеального газа по скоростям F(v).
Часть 2.
№ 1.
При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута
обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми
h = 40 мкм, отличается друг от друга в ρ = 2,0 раза. Температура среды
T = 290 К. Диаметр частиц d = 0,40 мкм и их плотность на ∆ρ = 0,20 г/см
3
больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным число
Авогадро.
№ 2. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух
сортов молекул с массами m
у дна сосуда равны соответственно n
и m2, причем m2 > m1. Концентрации этих молекул
1
и n2, причем n2 > n1. Считая, что по всей
1
высоте поддерживается одна и та же температура T и ускорение свободного
падения равно g, найти высоту h, на которой концентрации будут одинаковы.
№ 3. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление
p = 90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке
барометр показывал давление p
= 100 кПа? Считать, что температура T воздуха
0
равна 290 К и не изменяется с высотой.
№ 4. Найти плотность ρ азота на высоте h = 100 м. Температуру газа
считать постоянной и равной t = 0 °С. Давление азота у поверхности Земли
p
= 100 кПа.
0
112
№ 5. Пылинки массой m = 10
–18
г взвешены в воздухе. Определить
толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается
не более чем на 1%. Температура T воздуха во всем объеме одинакова и равна
300 К.
№ 6. Самолет совершает полеты на высоте h
= 8300 м. При помощи
1
компрессора в кабине поддерживается постоянное давление, соответствующее
высоте h
Температуру наружного воздуха считать равной t
= 2700 м. Найти разность давлений внутри и снаружи кабины.
2
= 0 °С.
1
№ 7. Найти плотность ρ воздуха у поверхности Земли и на высоте h = 4 км.
Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 0 °С. Давление воздуха
у поверхности Земли p
= 100 кПа.
0
№ 8. Найти высоту h, на которой плотность кислорода в три раза меньше
его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной
t = 0 °С.
№ 9. Пусть η
— отношение концентрации молекул водорода
0
к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а η —
соответствующее отношение на высоте h. Найти температуру T, при которой
отношение η к η
азота m
. Считать, что T и ускорение свободного падения g не зависят от
2
равно двум. Масса молекулы водорода m1, масса молекулы
0
высоты.
№ 10. Идеальный газ находится в вертикальном цилиндрическом сосуде
с площадью основания S и высотой H в однородном поле сил тяжести при
температуре T. Давление газа на уровне нижнего основания P
молекулы газа m
. Определить массу M газа в сосуде.
0
, масса каждой
0
№ 11. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами
вращают с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси,
проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый газ при
температуре T. Длина трубки L. Найти значение , при котором отношение
концентраций молекул газа у противоположных торцов трубки n = 2.
113
Задачи для самостоятельного решения
Часть 1.
. Какая часть молекул кислорода при t = 0 °С обладает скоростями v от
№ 1
100 до 110 м/с?
№ 2. Определить температуру газа, для которой: а) средняя квадратичная
скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на
∆v = 400 м/с; б) функция распределения молекул кислорода по скоростям F(v)
будет иметь максимум при v = 420 м/с.
№ 3. Найти температуру водорода, при которой среднеквадратичная
скорость молекул больше их наиболее вероятной скорости на 400 м/с.
№ 4. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную
скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении
плотность равна 1,00 кг/м
3
.
№ 5. Вычислить среднюю скорость v
молекул кислорода при температуре
кв
Т = 300 К. Найти относительное число молекул, скорости которых отличаются
от средней квадратичной скорости не более чем на 1%.
№ 6. Найти выражение средней кинетической энергии E поступательного
движения молекул. Функцию распределения молекул по энергиям считать
известной.
№ 7. Используя функцию распределения молекул по энергиям, определить
наиболее вероятное значение энергии Е
№ 8. Вывести формулу наиболее вероятного импульса p
.
в
молекул
в
идеального газа.
№ 9. Вывести формулу, определяющую среднее значение компонента
импульса p
молекул идеального газа.
x
№ 10. Преобразовать функцию f(E)dE распределения молекул по
кинетическим энергиям в функцию f(Θ)dΘ распределения молекул по
114
относительным кинетическим энергиям (где Θ = E/Eв; Eв — наиболее вероятное
значение кинетической энергии молекул).
№ 11. Масса крупной молекулы органического вещества 1,00 ꞏ 10
–18
г.
Найти среднеквадратичную скорость молекулы при температуре 27 °C.
№ 12. Найти температуру кислорода, при которой функция распределения
молекул по скоростям будет иметь максимум при скорости 420 м/с.
Часть 2.
Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10
№ 1.
–18
г. Во сколько
раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты на ∆h = 10 м?
Температура воздуха T = 300 К.
№ 2. На сколько уменьшится атмосферное давление p = 100 кПа при
подъеме наблюдателя над Землей на высоту h = 100 м? Считать, что
температура T воздуха равна 290 К и не меняется с высотой.
№ 3. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление
вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура T воздуха
равна 290 К и не изменяется с высотой.
№ 4. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 1 мг.
Отношение концентрации n
на высоте h
= 0 равно 0,787. Температура воздуха T = 300 К. Найти по этим
0
данным значение постоянной Авогадро N
пылинок на высоте h1 = 1 м к концентрации n0 их
1
.
A
№ 5. На какой высоте h давление воздуха составляет 75% от давления на
уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 0 °С.
№ 6. На какой высоте h плотность водорода вдвое меньше его плотности на
уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной t = 0 °С.
№ 7. Определить во сколько раз плотность ρ
воздуха в кабине самолета
2
больше плотности ρ
воздуха вне ее, если температура наружного воздуха t1 = –
1
20 °С, а температура воздуха в кабине t
в салоне самолета p
= 78 кПа, а снаружи p1 = 30 кПа.
2
115
= 20 °С. Считать также, что давление
2
№ 8. Найти давление воздуха в горах на высоте h = 3380 м. Температуру
газа считать постоянной и равной t = 5 °С.
№ 9. Частный самолет президента летает на высоте h = 8500 м. Давление
в салоне соответствует давлению на высоте h = 2600 м. Определить разность
давлений в салоне и снаружи самолета. Температуру наружного воздуха считать
равной t
= 0 °С.
1
№ 10. Найти молярную массу M коллоидных частиц, если известно, что
при вращении центрифуги вокруг вертикальной оси относительные
концентрации частиц на расстояниях r
различаются в α раз. Плотности частиц и растворителя — ρ и ρ
и r1 от оси центрифуги (r2 > r1),
2
соответственно,
0
угловая скорость вращения центрифуги .
№ 11. Определить отношение давления p
к давлению р
на дне скважины глубиной h2 = 1 км. Воздух у поверхности
2
воздуха на высоте h1 = 1 км
1
Земли находится при нормальных условиях, его температуру Т и ускорение g
свободного падения считать независящими от высоты.
Семинар 4
Столкновение молекул. Явления переноса.
Разреженные газы
Явления переноса обусловлены хаотическим движением молекул газа,
которые, переходя из одних точек пространства в другие, переносят присущие
им импульс, энергию и массу. К таким явлениям относятся: внутреннее трение
или вязкость (перенос импульса), теплопроводность (перенос энергии)
и диффузия (перенос массы вещества).
В газах определяющую роль в явлениях переноса играют упругие
столкновения молекул в процессе их хаотического движения, поэтому все
явления переноса протекают со скоростями, существенно меньшими скорости
теплового движения.
Эффективным диаметром d
молекул газа называют минимальное
эф
расстояние, на которое сближаются при столкновении центры молекул. При
увеличении температуры газа эффективный диаметр молекул несколько
116
уменьшается, однако в первом приближении dэф можно считать величиной
x
x
x
постоянной для данного газа.
2
Величина
d
называется эффективным сечением взаимодействия
эф
молекул, и определяет сечение, внутри которого нельзя пренебречь силами
отталкивания молекул.
Среднее число соударений одной молекулы газа c другими молекулами за
1 с
2
2.zdnv
эф
(4.1)
Средняя длина λ свободного пробега молекул газа — это среднее
расстояние, которое молекулы пробегают между двумя последовательными
столкновениями.
v
z
2
1
2
dn
эф
.
(4.2)
При значительном разрежении (вакуум) средняя длина свободного пробега
будет определяться характерным размером сосуда L:
λ = L (4.3)
Закон Фика для диффузии
jD
m
где j
— плотность потока массы, равная массе вещества, которое
m
диффундирует за единицу времени через единичную поверхность,
перпендикулярную направлению переноса вещества; D — коэффициент
диффузии;
— проекция градиента плотности на ось х.
,
(4.4)
Другая форма закона Фика для диффузии
n
,
(4.5)
где j
jD
N
— плотность потока частиц, равная числу частиц, которые диффундируют
N
за единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную
117
направлению переноса вещества; D — коэффициент диффузии;
f
x
градиента концентрации на ось x.
Закон Ньютона для внутреннего трения
nx
— проекция
u
где j
j
p
— плотность потока импульса, равная импульсу направленного движения,
p
,
(4.6)
z
который передается от одного слоя к другому слою за единицу времени через
поверхность раздела слоев площадью, равной единице; η — коэффициент
внутреннего трения или динамическая вязкость;
u
— проекция градиента
z
скорости направленного движения на ось z, перпендикулярную направлению
движения слоев.
Другая форма закона Ньютона для внутреннего трения
u
,
S
(4.7)
z
где f — сила трения между движущимися слоями жидкости или газа.
Закон Фурье для теплопроводности
T
,
(4.8)
где j
j
q
— плотность теплового потока, равная энергии, передаваемой за единицу
q
времени через поверхность площадью, равной единице, перпендикулярную
направлению переноса энергии; — коэффициент теплопроводности
Tx
(теплопроводность);
— проекция градиента температуры на ось х.
Выражения для коэффициентов диффузии D, динамической вязкости η,
теплопроводности газа, полученные в молекулярно-кинетической теории
1
Dv
3
1
3
(4.9a)
v
(4.9b)
118
1
M
R
Cv
V
3
(4.9c)
где C
— удельная теплоемкость при постоянном объеме; ρ — плотность; v —
V
средняя скорость молекул; λ — средняя длина свободного пробега.
Кинематический коэффициент вязкости
,v
(4.10)
где ρ — плотность вещества.
Примеры решения задач
Задача 1.
Найти среднее число z столкновений, которые происходят
в течение одной секунды между всеми молекулами гелия, занимающего при
нормальных условиях объем V = 1 мм
d
= 2 ꞏ 10
эф
–10
м, молярная масса гелия M = 4 ꞏ 10–3 кг/моль.
3
. Эффективный диаметр молекулы гелия
Решение
Среднее число столкновений каждой молекулы за одну секунду
определяется по формуле
v
z
.
Подставляя в это выражение среднюю скорость молекул гелия
8RT
v
и среднюю длину свободного пробега молекул
1
2
2 dn
эф
получаем
эф
M
T
2
4.
zdn
Выразим число всех молекул в сосуде через концентрацию N = nV.
Учитывая, что в среднем в столкновении участвуют две молекулы, получаем
общее число столкновений всех молекул.
119
2
N
M
A
RT
Zz Vnd
2.
2
эф
Концентрацию молекул найдем из уравнения состояния идеального газа
p
n
,
kT
тогда имеем
2 2 10 7,52 10 .
ZV
эф
kT M с
RT
9 25
2
nd
510
10 2 10 3,14 8,31 273 1
1,38 10 273 4 10
23 3
2
Задача 2. Найти среднюю длину свободного пробега λ атомов гелия, если
3
известно, что плотность гелия ρ = 0,021 кг/м
молекул d
= 2 ꞏ 10
эф
–10
м.
, а эффективный диаметр его
Решение
С учетом основного уравнения МКТ p = nkT средняя длина свободного
пробега равна
эф
.
2
2kTdp
Из уравнения Менделеева — Клапейрона выразим давление
mRT RT
p
VM M
.
Тогда средняя длина свободного пробега равна
kTM M
22
dRT dN
22
эф эф
410
92 23
2 3,14 (0, 2 10 ) 0,021 6, 02 10
3
6
1,78 10 м.
Задача 3. Два одинаковых параллельных диска, оси которых совпадают,
расположены на расстоянии 1,00 мм друг от друга. Радиус каждого диска равен
100 мм. Один диск вращается с угловой скоростью 10,0 рад/с, а другой
неподвижен. Найти момент сил трения, действующий на каждый диск, если
вязкость воздуха между ними равна 18 ∙ 10
–6
кг/(м ∙ с).
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]