Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая физика. Молекулярная физика. Учебно-методическое пособие
.pdf
где Qx — теплота, отбираемая от охлаждаемого тела; Qн — теплота,
x
x
A
передаваемая окружающей среде (нагреваемому телу).
Термический КПД для прямого цикла Карно (идеальной тепловой
машины):
TT T
н
K
TT
нн
x
1,
(6.4)
где T
— температура нагревателя; Tx — температура холодильника.
н
Холодильный коэффициент для обратного цикла Карно
T
x
,
(6.5)
— температура окружающей
н
где T
K
TT
н
— температура охлаждаемого тела; T
x
среды (нагреваемого тела).
Примеры решения задач
Задача 1.
теплоты Q
Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количества
, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество
н
теплоты, полученное от нагревателя, равно 5,00 кДж. Определить термический
КПД цикла η и работу, совершаемую в цикле А.
Решение
Термический КПД цикла находим по формуле (6.2):
QQ Q
н
xx
QQQ
ннн
11 0,3.
0,7
Q
н
С другой стороны, КПД цикла можно выразить через работу A,
совершаемую рабочим телом за цикл,
Q
.
н
Следовательно, совершенная за цикл работа равна
A = ηQ
= 0,3 ꞏ 5 ꞏ 103 = 1,5 ꞏ 103 Дж .
н
Задача 2. Рабочим телом тепловой машины является одноатомный
идеальный газ. Определите КПД этой тепловой машины, если изменение
141
состояния газа в цилиндре осуществляется по циклу, представленному на
x
рисунке.
p
2 3
2p
o
p
o
1 4
0 V
2V0 V
o
Решение
Рассмотрим процессы, составляющие цикл.
Процесс 1–2: изохорное нагревание,
V = const, p увеличивается. Согласно закону
Шарля: получаем:
2
pT
pp T
p
22
10 1
0
22.
TT
21
Процесс 2–3: изобарное нагревание
и расширение, p = const, V увеличивается. Согласно закону Гей-Люссака:
2
VV T
303
VV T
20 2
или с учетом предыдущего процесса: T
22
TT
32
= 4T1.
3
Процесс 3–4: изохорное охлаждение, V = const, p уменьшается. По закону
Шарля получим: T
= 2T4.
3
Процесс 4–1: изобарное охлаждение и сжатие, p = const, V уменьшается.
По закону Гей-Люссака получим: T
= 2T1.
4
КПД машины определим по формуле (6.2):
QQ
н
Q
.
н
Газ получает теплоту в процессах 1–2 и 2–3, следовательно,
Qн = Q
1–2
+ Q
2–3
;
33
Q U vR T T vRT
12 1 1 1
22
2;
35
Q U A vRT T vRT T vRT
23 11 11 1
42 42 2.
22
Следовательно, количество теплоты, полученное от нагревателя, будет
равно:
313
Q vRT vRT vRT
111 1
5.
22
142
Газ отдает тепло в процессах 3–4 и 4–1, следовательно:
Qx = Q
3–4
+ Q
4–1
;
3
QUvRTvRT
34 1 1
2
23;
5
QUAvRT
41 1
.
2
Следовательно, количество теплоты, отданное газом холодильнику, равно:
3.
QvRT vRT vRT
x
Q
Подставим выражения для
13 11
22
и Qx в формулу КПД и получим:
н
vRT vRT
11
13
vRT
2
Задачи для аудиторных занятий
511
11 1
22
2
0,15 или 15%.
13
1
№ 1
v = l моль, находится под давлением p
Сначала газ изохорно нагревают до температуры T
. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
= 250 кПа и занимает объем V1 =10 л.
1
= 400 К. Далее,
2
изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. После
этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние.
Определить термический КПД цикла.
№ 2. Одноатомный газ, содержащий количество вещества ν = 0,1 кмоль,
под давлением p
объема V
= 1 м3, затем сжимался адиабатно и расширялся при постоянной
2
= 100 кПа занимал объем V1 = 5 м3. Газ сжимался изобарно до
1
температуре до начальных объема и давления. Построить график процесса.
Найти: 1) температуры T
характерным точкам цикла; 2) количество теплоты Q
нагревателя; 3) количество теплоты Q
, T2, объемы V1, V2 и давление p3, соответствующее
1
, полученное газом от
1
, переданное газом охладителю;
2
4) работу , совершенную газом за весь цикл; 5) термический КПД цикла.
№ 3. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух
изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше
143
наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего.
p
Определить термический КПД цикла.
№ 4. Цикл тепловой машины состоит из трех процессов: изотермы,
изобары и изохоры. Изотермический процесс происходит при максимальной
температуре цикла, равной 400 К. Известно также, что в пределах цикла объем
газа изменяется в 2 раза. Рабочее тело — идеальный двухатомный газ
в количестве 2 кмоль. Построить график цикла. Найти: температуры для
характерных точек цикла; его термический КПД; работу, совершенную рабочим
телом; количество теплоты, полученное от нагревателя; количество теплоты,
переданное холодильнику.
№ 5. Цикл тепловой машины состоит из трех процессов: изобары, изохоры
и изотермы. Построить график цикла, если изохорный процесс протекает при
максимальном объеме. Рабочее тело — идеальный двухатомный газ, начальное
давление газа p
соответственно V
= 100 кПа, минимальный и максимальный объемы равны
1
= 10 л, V2 = 20 л. Найти: термический КПД цикла; работу,
1
совершенную рабочим телом; количество теплоты, полученное от нагревателя;
количество теплоты, переданное холодильнику.
№ 6. Цикл тепловой машины состоит из четырех процессов: изобары 1–2,
адиабаты 2–3, изобары 3–4 и изохоры 4–1. Построить график цикла, если
изохорный процесс протекает при минимальном объеме. Рабочее тело —
идеальный двухатомный газ, T
V
= 6 л. Найти: температуры для характерных точек цикла; его термический
2
= 400 К, p1 = 200 кПа, p4 = 100 кПа, V1 = 4 л,
1
КПД; работу, совершенную рабочим телом; количество теплоты, полученное от
нагревателя; количество теплоты, переданное холодильнику.
№ 7. Идеальный одноатомный газ нагревают так, что его давление,
изменяясь пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры
T
, возрастает в n раз. Затем газ охлаждают, при этом его давление
уменьшается пропорционально температуре (p ⁓ T) до начального. После этого
газ изобарически возвращают в исходное состояние. Найти КПД теплового
двигателя, работающего по такому циклу.
144
№ 8. Моль гелия за цикл работы в тепловом двигателе совершает работу
равную А. Цикл состоит из адиабаты, изобары и изохоры. Максимальная
разность температур гелия при адиабатическом процессе равна ∆Т. Найти
количество теплоты Q, которым обменивается гелий с внешними телами при
изобарическом процессе, зная, что на этом участке цикла температура гелия
становится минимальной.
№ 9. Тепловой двигатель, в котором в качестве
рабочего вещества используется один моль идеального
одноатомного газа, работает по циклу, изображённому на
pV-диаграмме и состоящему из двух адиабат, изохоры
и изобары. Зная, что КПД этого цикла равен η,
а минимальная и максимальная температуры газа при изобарическом процессе
равны Т
и Т2, найти количество теплоты, отдаваемое газом за цикл.
1
№ 10. На рисунке изображена диаграмма обратимого
цикла, выполняемого молем идеального газа в некоторой
тепловой машине. Найти КПД цикла η, выразив его как
функцию температур T
отношение γ = c
p/cv
№ 11. Идеальный газ совершает цикл Карно. Работа A
расширения газа равна 5 Дж. Определить работу A
, T2 и T3. Процесс 3–1 адиабатический,
1
известно.
1
изотермического сжатия,
2
если термический КПД η цикла равен 0,2.
№ 12. Идеальный двухатомный газ
совершает цикл Карно, график которого изображен на
рисунке. Объемы газа в состояниях В и С равны
соответственно V
= 12 л и V2 = 16 л. Найти термический
1
изотермического
КПД цикла.
№ 13. Какую работу совершают внешние силы в
холодильной машине, работающей по обратному циклу Карно, чтобы отнять
у охлаждаемого тела 100 кДж теплоты? Температура охлаждаемого тела: –
10 °С. Температура теплоносителя 10 °С.
145
№ 14. Какое максимальное количество теплоты может быть унесено из
холодильной камеры с помощью холодильной машины при совершении работы,
равной 1 кДж, если температура в холодильной камере минус 10 °С,
а температура охлаждающей воды 11 °С.
Задачи для самостоятельного решения
№ 1
. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества
ν = l моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
Наименьший объем V
p
= 246 кПа, наибольшее p
min
= 10 л, наибольший V
min
= 410 кПа. Построить график цикла.
max
= 20 л, наименьшее давление
max
Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический
КПД η.
№ 2. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества теплоты
Q
, полученного от нагревателя, отдает охладителю. Температура Т2 охладителя
1
равна 280 К. Определить температуру T
№ 3. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T
в три раза выше температуры Т
количество теплоты Q
= 42 кДж. Какую работу А совершил газ?
1
нагревателя.
1
нагревателя
1
охладителя. Нагреватель передал газу
2
№ 4. Цикл тепловой машины состоит из трех процессов: изобары 1–2,
изохоры 2–3, адиабаты 3–1. Построить график цикла, если изобарический
процесс протекает при максимальном давлении цикла. Рабочее тело —
идеальный одноатомный газ, p
= 400 кПа, V1 = 10 л, T1 = 300 К, V2 = 30 л.
1
Найти: температуры для характерных точек цикла; его термический КПД;
работу, совершенную рабочим телом; количество теплоты, полученное от
нагревателя; количество теплоты, переданное холодильнику.
№ 5. В тепловом двигателе идеальный газ расширяется изотермически
и после изохорического охлаждения адиабатическим сжатием возвращается
в исходное состояние. При этом КПД двигателя равно η, число молей газа ν,
молярная теплоемкость газа при постоянном объёме c
, а максимальное
v
изменение температуры газа — ∆Т. Найти работу газа при изотермическом
расширении.
146
№ 6. Найти КПД теплового двигателя, использующего идеальный
двухатомный газ в качестве рабочего вещества, если его цикл состоит из двух
изохор и двух изобар. Отношение давлений на изобарах равно β > 1, отношение
объёмов на изохорах равно α > 1.
№ 7. На pV-диаграмме показано изменение состояния
одного моля идеального одноатомного газа,
используемого в качестве рабочего вещества теплового
двигателя. Отношение максимальной абсолютной
температуры газа к его минимальной в данном цикле равно n = 4. Во сколько
раз отличается КПД этого цикла от максимально возможного при заданном
значении n?
№ 8. Идея динамического отопления (тепловой насос), высказанная
В. Томсоном в 1852 г., заключается в следующем. Топливо сжигается в топке
теплового двигателя, который приводит в действие тепловую машину (прямой
цикл). Холодильная машина (обратный цикл) отнимает теплоту от природного
резервуара (например, от грунтовой воды) и отдает ее отопительной системе.
Одновременно вода в отопительной системе служит холодильником теплового
двигателя. Определить теоретически (без учета потерь) количество теплоты,
которое получает отапливаемое помещение от сжигания 1 кг каменного угля,
приняв следующие условия: удельная теплота сгорания каменного угля
q = 8000 ккал/кг, температура в котле паровой машины T
воды в отопительной системе T
= 60 C, температура грунтовой воды T3 =
2
= 210 C, температура
1
15 C.
№ 9. Цикл тепловой машины состоит из четырех процессов: изотермы 1–2,
изобары 2–3, адиабаты 3–4 и изохоры 4–1. Построить график цикла, если
изотермический процесс протекает при максимальной температуре цикла.
Рабочее тело — идеальный одноатомный газ, T
p
= 100 кПа, p1 = 10 кПа, V4 = 2 л. Найти: температуры для характерных точек
1
= 600 К, T4 = 300 К,
1
цикла; его термический КПД; работу, совершенную рабочим телом; количество
теплоты, полученное от нагревателя; количество теплоты, переданное
холодильнику.
147
№ 10. Определить КПД двигателя внутреннего сгорания, если в цикле
отношение V
max/Vmin
= n. Цикл, состоящий из двух изохор и двух адиабат
считать идеальным, постоянная адиабаты рабочего тела γ известна.
№ 11. Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества
совершает обратимый цикл, состоящий из изохоры, адиабаты и изотермы.
Найти КПД машины η как функцию максимальной T
и минимальной T1
2
температур, достигаемых газом в этом цикле.
№ 12. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T
равна 470 К, температура Т
охладителя равна 280 К. При изотермическом
2
нагревателя
1
расширении газ совершает работу A = 100 Дж. Определить термический КПД
цикла, а также количество теплоты Q
, которое газ отдает охладителю при
2
изотермическом сжатии.
№ 13. Для поддержания в помещении температуры 0 °С холодильной
установкой, работающей по обратному циклу Карно, каждый час совершается
работа 5,00 МДж. Найти температуру окружающей среды и количество
отводимой за один час теплоты, если холодильный коэффициент равен 7.
№ 14. Найти холодильный коэффициент установки, работающей по
обратному циклу Карно, если теплота отводится из помещения с температурой
2,0 °С в окружающую среду, температура которой 320 К. Чему равна работа,
затрачиваемая на отвод из помещения 20,0 МДж теплоты?
Семинар 7
Уравнение теплового баланса. Энтропия
Процессы, происходящие с выделением или поглощением теплоты Q:
испарение (конденсация)
–
Q = rm, (7.1)
где r — удельная теплота испарения (конденсации); m — масса испарившегося
(сконденсировавшегося) вещества.
–
плавление (кристаллизация)
Q = λm, (7.2)
148
где λ — удельная теплота плавления (кристаллизации); m — масса
расплавленного (кристаллизовавшегося) вещества.
Сгорание топлива
Q = qm, (7.3)
где q — удельная теплота сгорания топлива; m — масса сгоревшего топлива.
Нагревание (охлаждение)
Q = cmΔt, (7.4)
где c — удельная теплоемкость вещества,
m — масса вещества, Δt — изменение
температуры вещества.
Приведенные физические величины используют при составлении
уравнения теплового баланса, которое является одним из уравнений,
описывающих главный закон природы, а именно закон сохранения энергии.
Система, предоставленная самой себе, стремится к равновесному
состоянию. Напомним, что равновесное состояние системы в термодинамике
означает, что температура и давление во всех точках этой системы одинаковы.
В равновесном состоянии прекращается процесс теплопередачи. Если система
изолирована, то очевидно, что при переходе в равновесное состояние какие-то
части системы отдают тепло (Q
поскольку ΔQ = 0 (система изолирована), то Q
< 0), какие-то — получают (Q2 > 0). При этом,
1
+ Q2 = 0. Это выражение можно
1
переписать в виде
Q
Это уравнение называется
= Q
отд
уравнением теплового балланса.
. (7.5)
пол
Энтропия (S)
— функция состояния термодинамической системы,
дифференциал которой равен
dQ
ds
.
(7.6)
T
Изменение энтропии при переходе термодинамической системы из одного
состояния в другое:
2
dQ
S
,
1
(7.7)
T
где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям
соответственно.
149
Связь энтропии с вероятностью данного состояния системы (формула
Больцмана)
S = k ꞏ lnΩ, (7.8)
где k — постоянная Больцмана, Ω — термодинамическая вероятность
(статистический вес) данного состояния.
Примеры решения задач
Задача 1.
t
= 15 °С, положили mл = 1 кг льда температурой tл = –20 °С. Какая температура
в
В калориметр, содержащий mв = 2 кг воды температурой
t установилась в калориметре? Каким оказалось содержимое калориметра после
установления в нем теплового равновесия? Удельная теплоемкость льда –
2100 Дж/(кгꞏК), воды — 4200 Дж/(кгꞏК), удельная теплота плавления льда —
333 кДж/кг. Теплоемкость калориметра не учитывать.
Решение
Будем искать температуру смеси t, считая, что весь лед расплавится. Тогда,
за счет охлаждения воды, находящейся в калориметре, лед должен нагреваться
до температуры плавления льда t
при плавлении вода массой m
= 0 °С, затем расплавиться, а образовавшаяся
пл
должна нагреваться до температуры t.
л
Теплота нагревания льда
Qл = cлmл (tпл – tл).
Теплота плавления льда
Qпл = λmл.
Теплота нагревания воды, образовавшейся изо льда,
Qв = cвmл (t – tпл).
Теплота, полученная при охлаждении воды массой
Q = cвmв (t – tв).
Составим уравнение теплового баланса
(tпл – tл) + λmл + cвmл (t – tпл) + cвmв (t – tв) = 0,
c
лmл
откуда температура смеси
t
Рассчитаем температуру смеси
Qл + Q
() ( )
cm t t m c mt mt
л л пл л л в л пл в в
=Q
пл
+ Q = 0;
в
cm m
150
вл в
m
,
в
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]