Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая физика. Молекулярная физика. Учебно-методическое пособие
.pdf
1,dQ
с
vdT
(5.6)
где v — число молей.
Теплоемкость газов, в отличие от жидких и твердых тел, зависит от
процесса, совершаемого газом. В случае изохорного процесса молярная
теплоемкость идеального газа (
теплоемкость при постоянном объеме)
i
с R
V
В случае изобарного процесса молярная теплоемкость идеального газа
(
теплоемкость при постоянном давлении)
с R
p
Уравнение Майера для идеального газа
.
(5.7)
2
2
i
.
(5.8)
2
Cμp = CμV + R. (5.9)
Коэффициент Пуассона (показатель адиабаты) для идеального газа
с
с i
Процесс, при котором не меняется теплоемкость газа, называется
i
p
V
2
.
политропным процессом.
в
политропном процессе
Молярная теплоемкость идеального газа
n
с R
n
11
n
,
(5.10)
где n — показатель политропы; γ — коэффициент Пуассона. Показатель
политропы для идеального газа
сс
np
n
сс
nV
.
(5.11)
Уравнения политропного процесса (c = const, m = const):
– в координатах p – V
nn n
pV pV pV
11 2 2
или const;
(5.12a)
– в координатах T – V
11 1
nn n
TV T V TV
11 2 2
или const;
(5.12b)
131
– в координатах T – p
11 1
nn n nn
Tp Tp Tp
11 22
где n — показатель политропы.
Примеры решения задач
или const,
(5.12c)
Задача 1.
и при постоянном давлении c
неона и водорода составляют w
Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV
смеси неона и водорода, если массовые доли
p
= 80% и w2 = 20%.
1
Решение
Удельную теплоемкость c
смеси при постоянном объеме найдем
V
следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ΔT,
выразим двумя способами
Q = cV (m1 + m2)ΔT;
Q =Q
где c
V1
Приравняв правые части выражений и разделив обе части полученного
равенства на ΔT, получим
+ Q2 = cV1m1ΔT + cV2m2ΔT,
1
— удельная теплоемкость неона; cV2 — удельная теплоемкость водорода.
mm
cc c
VV V
12
12
mm mm
12 12
или
где w
cV = cV1w1 + cV2w
и w2 — массовые доли каждого газа.
1
,
2
Аналогично, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости
смеси при постоянном давлении
cp = cp1w1 + cp2w
.
2
С учетом того, что с = сμ/М и формул (5.7) и (5.8) окончательно получаем
35
cww
RR
V
22
cww
p
12
MM
12
57
RR
22
12
MM
12
;
.
Произведем вычисления
38,31 58,31
V
22010 2210
0,8 0, 2 2,58 10 Дж/(кг К);
33
3
132
58,31 78,31
p
M
p
M
p
c
p
22010 2210
0,8 0, 2 3,75 10 Дж/(кг К).
33
3
Задача 2. Как изменится внутренняя энергия одноатомного идеального
газа, если его давление увеличится в 3 раза, а объем уменьшится в 2 раза?
Решение
Обозначим внутреннюю энергию, давление и объем газа в начальном
состоянии U
величины U
V
= 2V2.
1
, p1, V1. После изменения давления и объема обозначим эти же
1
, p2, V2. Тогда, согласно условию задачи, можно записать: p2 = 3p1,
2
Тогда с учетом уравнения Менделеева — Клапейрона получаем для
внутренней энергии газа в начальном и конечном состоянии:
33
UvRTpV
1111
22
33
UvRTpV
222
22
;
.
Разделим второе выражение на первое и подставим данные задачи:
UpV
UpV
3
212
112
22
3
,
т. е. внутренняя энергия увеличилась в 1,5 раза.
Задача 3. Какую работу совершит кислород массой 320 г при изобарном
нагревании на 10 К?
Решение
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний газа:
m
VRT
11
;
m
VRT
22
и вычтем из второго уравнения первое, тогда получим:
() ;
VV RTT
21 21
m
M
m
pV RT
.
M
133
Подставим полученное выражение в формулу работы:
M
A
M
V
ApV RT
m
32 10
32 10
8,31 10 831Дж.
3
2
Задача 4. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 20,0 г
при температуре Т
свой объем в n
уменьшился в n
= 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив
1
= 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа
1
= 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения
2
и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс
графически.
p
p
1
1
Решение
Графическое изображение процессов дано
на рисунке.
p
3
3
Температуры и объемы газа,
совершающего адиабатный процесс, связаны
p
2
V
1
2
V
2
между собой соотношением:
TV
21
TV n
12 1
1
1
,
1
где γ = 1,4 — коэффициент Пуассона (показатель адиабаты) для двухатомного
газа.
Из предыдущего соотношения получаем следующее выражение для
конечной температуры:
T
1
.
1
1
Работа A
T
2
т
газа при адиабатном расширении может быть определена по
1–2
формуле
5
.
2
1
Работа A
12 1 2 1 2
газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде
2–3
MM
mm
ART RT
23 2 2
V
V
3
ln ln .
VM n
22
mm
UcTT RTT
Произведем вычисления
134
300 300
T
2
3
A
12
20,0 10 1
A
23
20,0 10 5 8,31
3
210 2
3
8,31 157 ln 21,0 10 Дж 21,0 Дж.
210 5
3
(1,4 1) 0,4
55
300 157 29,8 10 Дж 29,8 Дж;
157 К;
3
3
Отрицательное значение работы A
означает, что при сжатии работа над
2–3
газом совершается внешними силами.
Задачи для аудиторных занятий
№ 1.
m = 0,2 кг при нагревании его от температуры t
t
= 100 °С при постоянном давлении. Найти также изменение внутренней
2
Определить количество теплоты, поглощаемой водородом массой
= 0 °С до температуры
1
энергии газа и совершаемую им работу.
№ 2. Водород массой m = 4 г был нагрет на ΔT = 10 К при постоянном
давлении. Определить работу А расширения газа.
№ 3. Водяной пар расширяется при постоянном давлении. Определить
работу А расширения, если пару передано количество теплоты Q = 4 кДж.
№ 4. Давление азота объемом V = 3 л при нагревании увеличилось на
Δp = 1 МПа. Определить количество теплоты Q, полученное газом, если объем
газа остался неизменным.
№ 5. Какая работа А совершается при изотермическом расширении
водорода массой m = 5 г, взятого при температуре T = 290 К, если объем газа
увеличивается в три раза?
№ 6. При изотермическом расширении кислорода, содержавшего
количество вещества ν = l моль и имевшего температуру Т = 300 К, газу было
передано количество теплоты Q = 2 кДж. Во сколько раз увеличился объем
газа?
№ 7. Определить работу А адиабатного расширения водорода массой
m = 4 г, если температура газа понизилась на ΔT = 10 К.
135
№ 8. Азот массой 2 г, имевший температуру T
= 300 К, был адиабатно
1
сжат так, что его объем уменьшился в n = 10 раз. Определить конечную
температуру T
газа и работу А сжатия.
2
№ 9. При адиабатном сжатии кислорода массой m = 1 кг совершена работа
А = 100 кДж. Определить конечную температуру T
кислород находился при температуре T
= 300 К.
1
газа, если до сжатия
2
№ 10. Один моль идеального одноатомного газа изотермически
расширился. Затем газ охладили, понизив давление в 3 раза при постоянном
объеме. Какое количество теплоты отдал газ на участке 2–3? Начальная
температура газа Т
= 300 К.
1
№ 11. В цилиндре под поршнем находится хлор массой m = 20 г.
Определить изменение ∆U внутренней энергии хлора при изотермическом
расширении его от V
№ 12. Кислород массой m = 8 г занимает объем V = 20 см
= 200 см3 до V2 = 500 см3.
1
2
при температуре
T = 300 К. Определить внутреннюю энергию U кислорода.
№ 13. Сосуд объемом 2 м
3
разделен пористой перегородкой на две части.
В начальный момент времени в одной части сосуда находится гелий массой
1 кг, а в другой — аргон массой 1 кг. Атомы гелия могут свободно проникать
через перегородку, а атомы аргона — нет. Начальная температура гелия равна
температуре аргона 300 К. Определите внутреннюю энергию гелий-аргоновой
смеси после установления равновесия в системе.
№ 14. Гелий в количестве ν молей находится в теплоизолированном
вертикальном сосуде под поршнем, на котором стоит гиря, масса которой в
α раз больше массы поршня. Над поршнем вакуум. Если к гелию медленно
подвести теплоту Q, объём гелия увеличится на такую же величину, как если бы
вместо подведения тепла гирю быстро сняли. Найдите изменение ∆T
2
температуры гелия во втором процессе. Гелий можно считать идеальным газом.
№ 15. Идеальный одноатомный газ расширяется сначала адиабатно, а затем
изобарно. Конечная температура газа равна начальной. За весь процесс
136
совершена работа, равная 5 кДж. Какую работу совершил газ при изобарном
расширении?
№ 16. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при
постоянных объеме (с
№ 17. Каковы удельные теплоемкости с
кислород массой m
№ 18. Определить удельную теплоемкость с
если количество вещества v
вещества v
второго равно 4 моль.
2
) и давлении (cp), принимая эти газы за идеальные.
v
и сp смеси газов, содержащей
v
= 10 г и азот массой m2 = 20 г?
1
смеси кислорода и азота,
p
первого компонента равно 2 моль, а количество
1
№ 19. Смесь газов состоит из аргона и азота, взятых при одинаковых
условиях и в одинаковых объемах. Определить показатель адиабаты такой
смеси.
№ 20. Степень диссоциации газообразного водорода равна 0,6. Найти
удельную теплоемкость с
такого частично диссоциировавшего водорода.
v
№ 21. Объем моля идеального газа с показателем адиабаты γ изменяют по
закону V = α/T, где α — постоянная. Найти количество теплоты Q, полученное
газом в этом процессе, если температура изменилась на ∆T.
№ 22. При некотором политропическом процессе объем аргона увеличился
в α раз. При этом давление уменьшилось в β раз. Найти молярную теплоемкость
с
аргона в этом процессе, считая газ идеальным.
µ
№ 23. Один моль идеального газа с показателем адиабаты γ участвует
в процессе, при котором его давление p ~ V
молярную теплоемкость с
газа в этом процессе.
µ
α
, где α — постоянная. Найти
№ 24. Объем газа из жестких двухатомных молекул с молярной
теплоемкостью с
в ходе политропического процесса увеличили в n раз. Во
µ
сколько раз изменилась при этом частота ударов молекул о стенку сосуда?
137
Задачи для самостоятельного решения
№ 1.
изобарно нагрет от температуры T
Газ, занимавший объем V1 = 12 л под давлением p = 100 кПа, был
= 300 К до T2 = 400 К. Определить работу А
1
расширения газа.
№ 2. Гелий массой m = l г был нагрет на ΔT = 100 К при постоянном
давлении р. Определить: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) работу А
расширения; 3) приращение ΔU внутренней энергии газа.
№ 3. Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему было
сообщено количество теплоты Q = 21 кДж. Определить работу А, которую
совершил при этом газ, и изменение ΔU его внутренней энергии.
№ 4. Водород занимает объем V
нагрели при постоянном объеме до давления p
= 10 м3 при давлении p1 = 100 кПа. Газ
1
= 300 кПа. Определить:
2
1) изменение ΔU внутренней энергии газа; 2) работу А, совершенную газом;
3) количество теплоты Q, сообщенное газу.
№ 5. Какое количество теплоты выделится, если азот массой 1 г, взятый
при температуре 280 К под давлением 10
6
10
Па?
5
Па, изотермически сжать до давления
№ 6. Найти изменение ∆U внутренней энергии кислорода, содержащего
количество вещества ν = 1 моль, при изотермическом расширении его объема от
V
= 2 л до V2 = 3 л.
1
№ 7. Кислород, занимавший объем V
адиабатно расширился до объема V
= 10 л. Определить работу А расширения газа.
2
= l л под давлением p1 = 1,2 МПа,
1
№ 8. При адиабатном расширении кислорода с начальной температурой
T
= 320 К внутренняя энергия уменьшилась на ΔU = 8,4 кДж, а его объем
1
увеличился в n = 10 раз. Определить массу m кислорода.
№ 9. Один килограмм кислорода сжимают адиабатически, при этом газ
нагревают от 20 C до 100 C. Изобразить процесс на диаграмме U–T.
Вычислить ΔU; A; V
1/V2
.
138
№ 10. На нагревание кислорода массой m = 160 г на T = 12 К было
затрачено количество теплоты Q = 1,76 кДж. Как протекал процесс: при
постоянном объеме или постоянном давлении?
№ 11. Определить изменение ∆U внутренней энергии неона, содержащего
количество вещества ν = 1 моль, при изотермическом расширении его объема от
V
= 1 л до V2 = 2 л.
1
№ 12. Один моль гелия нагревают в процессе,
показанном на диаграмме, увеличивая его объём в два
раза. Найдите работу, совершённую газом, и подведённое
к нему количество теплоты, если начальная температура гелия T
= 300 К.
0
№ 13. Водород массой m = 10 г нагрели на ΔT = 200 К, причем газу было
передано количество теплоты Q 40 кДж. Найти изменение ΔU внутренней
энергии газа и совершенную им работу A.
№ 14. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при
температуре T
= 300 К. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой
1
объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа
уменьшился в пять раз. Найти температуру Т
, в конце адиабатного расширения
2
и работу А, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
№ 15. Вычислить удельные теплоемкости с
и сp газов: 1) гелия;
v
2) водорода; 3) углекислого газа.
№ 16. Разность удельных теплоемкостей с
– сv некоторого двухатомного
p
газа равна 260 Дж/(кг К). Найти молярную массу М газа.
№ 17. Найти показатель адиабаты смеси газов, содержащей кислород
и аргон, если количества вещества того и другого газа в смеси одинаковы и
равны v.
№ 18. При адиабатном сжатии газа его объем уменьшился в n = 10 раз,
а давление увеличилось в k = 21,4 раза. Определить отношение с
p/сv
теплоемкостей газов.
139
№ 19. Определить степень диссоциации газообразного хлора, если
x
x
A
показатель адиабаты у такого частично диссоциировавшего газа равен 1,55.
№ 20. Один моль аргона расширили по политропе с показателем n. При
этом температура газа изменилась на ∆T. Найти работу А, совершенную газом.
№ 21. Идеальный газ с показателем адиабаты γ участвует в процессе, при
котором его внутренняя энергия U ~ V
α
, где α — постоянная. Найти молярную
теплоемкость газа с
в этом процессе.
µ
№ 22. Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном
давлении равна C
, участвует в процессе p = p0 + α/V, где p0 и α — постоянные.
p
Найти теплоемкость газа С как функцию его объема.
№ 23. Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном
давлении равна C
Найти количество теплоты, полученное газом при его расширении от V
, участвует в процессе T = T0 + α/V, где T0 и α — постоянные.
p
до V2.
1
№ 24. Газ из жестких двухатомных молекул расширили политропически
так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти
молярную теплоемкость с
газа в этом процессе.
µ
Семинар 6
Циклические процессы. Цикл Карно
Работа, совершенная тепловой машиной:
где Q
A = Q
— теплота, полученная рабочим телом от нагревателя; Qx — теплота,
н
– Qx, (6.1)
н
отданная рабочим телом холодильнику.
Термический КПД для прямого цикла (КПД тепловой машины):
QQ Q
A
QQ Q
нн н
н
x
1.
(6.2)
Холодильный коэффициент для обратного цикла (холодильной машины):
QQ
xx
QQ
140
н
,
(6.3)
–
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]