Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая физика. Молекулярная физика. Учебно-методическое пособие
.pdf
количество газа, давление в баллоне понизилось до 400 кПа, а температура
установилась 250 К. Найти массу аргона, взятого из баллона. Аргон считать
идеальным газом.
№ 3. Идеальный газ сначала охлаждался при постоянном давлении, потом
его давление увеличивалось при постоянном объеме, затем при постоянной
температуре объем газа увеличивался до первоначального значения. Какой из
графиков в координатных осях V–T соответствует этим изменениям состояния
газа?
№ 4. Концентрация молекул идеального газа уменьшилась в 2,5 раза. На
сколько градусов нагрели при этом газ, если его давление не изменилось?
Начальная температура газа равна 300 К.
№ 5. При изобарном нагревании идеального газа на 50 К его объем
увеличился на 1 л. На сколько литров возрастет объем той же массы газа при
изобарическом нагревании на 75 К?
№ 6. Кислород при нормальных условиях заполняет сосуд вместимостью
V = 11,2 л. Определить количество вещества газа и его массу m.
№ 7. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением
= l МПа при температуре T1 = 300 К. После того как из баллона был
p
1
израсходован гелий массой m = 10 г, температура в баллоне понизилась до
= 290 К. Определить давление p2 гелия, оставшегося в баллоне.
T
2
№ 8. Газ при температуре Т = 309 К и давлении p = 0,7 МПа имеет плотность
= 12 кг/м
3
. Определить относительную молекулярную массу Mr газа.
№ 9. Определить плотность насыщенного водяного пара в воздухе при
температуре 300 К. Давление р насыщенного водяного пара при этой
температуре равно 3,55 кПа.
101
№ 10. В большой сосуд с водой был опрокинут
цилиндрический сосуд. Уровни воды внутри и вне
цилиндрического сосуда находятся на одинаковой высоте.
Расстояние l от уровня воды до дна опрокинутого сосуда
равно 40 см. На какую высоту h поднимется вода
в цилиндрическом сосуде при понижении температуры от T
= 273 К? Атмосферное давление нормальное.
Т
2
= 310 К до
1
№ 11. Какой объем V занимает идеальный газ, содержащий количество
вещества v = l кмоль при давлении p = 1 МПа и температуре T = 400 К?
№ 12. Газ при температуре 364 К и давлении 785 кПа имеет плотность
3
5,25 кг/м
. Найти массу одной молекулы газа.
№ 13. Баллон вместимостью V = 5 л содержит смесь гелия и водорода при
давлении р = 600 кПа. Масса m смеси равна 4 г, массовая доля
гелия
1
равна 0,6. Определить температуру Т смеси.
№ 14. Компрессор, обеспечивающий работу отбойных молотков,
засасывает из атмосферы V
= 100 л воздуха в секунду. Сколько отбойных
0
молотков может работать от этого компрессора, если для работы одного
3
молотка необходимо V = 100 см
воздуха в секунду при давлении p = 5 106 Па?
Атмосферное давление p
= 105 Па.
0
№ 15. Во время сжатия идеального газа его давление p и объем V изменяются
по закону p/v = const. Температура газа уменьшилась при этом в 4 раза. Каково
было начальное давление газа p
, если после сжатия p2 = 105 Па?
1
№ 16. В стеклянной трубке находится воздух, закрытый столбиком ртути
длиной l
воздушного столбика l
= 8 см. Если держать трубку открытым концом вверх, то длина
1
= 4 см. Если держать трубку открытым концом вниз, то
2
длина воздушного столбика h = 5 см. Определите в миллиметрах ртутного
столба атмосферное давление.
№ 17. Атмосфера планеты почти полностью состоит из газа, молярная
масса которого М. Температура газа у поверхности планеты Т, а давление Р.
102
Определить минимальный объем исследовательского зонда массой m,
необходимого для того, чтобы он мог плавать в нижних слоях атмосферы
планеты.
№ 18. Объем воздуха при адиабатном сжатии в цилиндре двигателя
внутреннего сгорания уменьшается в 13 раз. Начальная температура воздуха
перед сжатием t
= 77 °C, а начальное давление р1 = 0,09 I. Определить
1
температуру и давление воздуха после сжатия.
№ 19. Воздух при температуре 127 °С изотермически сжимается так, что
объем его становится равным 1/4 начального, а затем расширяется по адиабате
до начального давления. Найти температуру воздуха в конце адиабатического
расширения. Представить процесс расширения и сжатия воздуха в диаграмме
p – V.
Семинар 3
Элементы статистической физики
Распределения Максвелла молекул идеального газа по проекциям
скорости
mmv
() exp ,
fv
x
00
22
kT kT
2
x
(3.1a)
mv
0
2
y
(3.1b)
2
z
(3.1c)
где v
— проекция скорости молекулы на ось x; vy — проекция скорости
x
молекулы на ось y; v
m
() exp ,
fv
y
() exp ,
fv
— проекция скорости молекулы на ось z, m0 — масса
z
z
0
22
kT kT
mmv
00
22
kT kT
одной молекулы.
Распределения Максвелла молекул идеального газа по модулям
скорости
3/2
mmv
() 4 exp ,
Fv v
2
00
22
kT kT
103
2
(3.2)
где v — модуль скорости молекулы.
R
M
M
R
M
Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа
22
v
TkT
в
,
(3.3)
m
0
где v — модуль скорости молекулы.
Средняя скорость молекул идеального газа
88
TR kT
v
.
(3.4)
m
0
Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа
33
v
кв
TkT
.
(3.5)
m
0
Основные свойства функции распределения F(v):
а) Функция F(v) непрерывна, модуль скорости частиц может принимать
значения в диапазоне от 0 до ;
б) Относительное число (доля) молекул ΔN/N, скорости которых
заключены в интервале [v
, v2], или вероятность w того, что скорость случайно
1
выбранной молекулы лежит в этом интервале:
v
2
v
1
() .
2
(3.6)
– v1 удовлетворяет условию:
wFvdv
N
Если ширина интервала скоростей Δv = v
N
Δv ≤ 0,02v , то с погрешностью менее 1% относительное число молекул ΔN/N,
скорости которых заключены в этом интервале, можно рассчитать по
следующей формуле:
N
wFvv
() ,
(3.7)
N
vv
где
v
12
.
2
в) Вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале [0, ∞]
() 1;wFvdv
0
104
(3.8)
г) Как следует из (3.3) и (3.7), при увеличении температуры газа общая
площадь под кривой F(v) не изменяется, но увеличивается число частиц,
двигающихся с большими скоростями, и, соответственно, уменьшается число
частиц с малыми скоростями, т. е. происходит перераспределение частиц по
скоростям (рис. 3.1).
Рисунок 3.1
д) среднее значение какой-либо функции G(v), аргументом которой
является скорость, определяется выражением:
() () () .Gv GvFvdv
(3.9)
Распределения Максвелла в приведенном виде:
4
() exp( ),Fu u u
22
(3.10)
где u = v/v
.
в
Закон Больцмана для распределения частиц в одномерном
потенциальном поле по координате x:
()
Wx
n
kT
(3.11)
где W
() exp( ),
nx n
0
(x) — потенциальная энергия частицы во внешнем потенциальном поле;
n
n — концентрация частиц в точке пространства с координатой x, n
—
0
концентрация частиц в начале координат.
Распределение Больцмана для молекул идеального газа, находящихся
в потенциальном поле Земли (при условии, что температура и ускорение
свободного падения не изменяются с высотой),
105
Mgh
p
nn n
exp exp ,
00
RT kT
mgh
0
(3.12)
где M — молярная масса газа; g — ускорение свободного падения; m
— масса
0
одной молекулы.
Барометрическая формула (T = const, g = const)
Mgh
pp p
exp exp ,
00
RT kT
где p — давление идеального газа на высоте h; p
— давление на высоте h = 0.
0
mgh
0
(3.13)
Примеры решения задач
Задача 1.
Плотность некоторого газа ρ = 0,082 кг/м3 при давлении
p = 101 кПа и температуре t = 17 °С. Найти среднеквадратичную скорость v
молекул газа.
Решение
Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа определяется
формулой (3.5)
кв
v
кв
m
0
Массу одной молекулы находим с помощью формул (1.9) и (1.13).
Выразим массу молекулы и температуру
3.kT
m
0
kT
.
np
Подставив полученные выражения в формулу для среднеквадратичной
скорости молекул, получим
3
v
кв
.
Произведем вычисления
3 101 10
v
кв
0,0820
3
1920 м/с.
Задача 2. Найти отношение числа молекул азота, находящихся при
нормальных условиях, модули скорости которых лежат в интервале от 99 м/с до
101 м/с к числу молекул, скорости которых лежат в интервале от 499 м/с до
–3
501 м/с. Молярная масса азота M = 28 ꞏ 10
кг/моль.
106
Решение
A
M
F
Для решения задачи воспользуемся формулами (3.2) и (3.7):
3/2
mmv
2
vv
11
vv
001
22
3/2
mmv
2
22
100 м/с
002
22
v
;
2
2
M
exp .
2
2
где Δv
= Δv2 = 2 м/с;
1
Учитывая, что
N
1
4exp,
NkTkT
N
2
4exp,
NkTkT
99 101
2
, а kNA = R, получаем отношение числа молекул
N
N
1
NRT
2
v
1
v
2
m
v
1
0
Вычисляем значение этого выражения при Т = 273 К:
N
1
N
2
2
100 28 10
2
500 2 8,31 273
exp 500 100 0,176,
3
2
2
499 501
500 м/с
2
22
vv
21
22
.
то есть число молекул со скоростями 499 ≤ v
молекул со скоростями 99 ≤ v
≤ 101 м/с.
1
Задача 3. Во сколько раз число молекул ∆N
в интервале от v
в интервале от v
до vв ± ∆v больше числа молекул ∆N2, скорости которых лежат
в
до ± ∆v v
кв
(при условии, что ∆v << vв?
кв
≤ 501 м/с больше, чем число
2
, скорости которых лежат
1
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулами (3.2) и (3.7):
3/2
N
1
()2 4 exp 2 .
vvv v
NkTkT
вв
mmv
2
00в
22
С учетом того, что
2kT
v
в
m
0
получаем:
2
3/2 1/2
NkT
1
2
4 exp 2 8 exp( 1) .
NmkT kTm kT
mmkTm
00 0
22 2
00
Аналогично и для второго случая с учетом
107
2
vv
v
M
M
M
M
3kT
кв
получаем:
NkT
N m kT kTm kT
Разделив друг на друга уравнения, полученные в первом и втором случаях,
получим:
N
1
12 exp( 3/ 2) 3
N
2
Задача 4. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает
одинаковое давление p = 79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h
полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета
m
3/2 1/2
2
8exp( 1) 2
33
4 exp 2 12 exp( ) .
mmkT m
00 0
22 22
00
exp(1/ 2) 1,1.
3
vv
изменилась с t
допустил летчик? Давление р
= 5 С до t2 = 1 °C. Какую ошибку h в определении высоты
1
у поверхности Земли считать равным 101 кПа.
0
Решение
Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой (3.12):
gh
pp
exp .
0
RT
Барометр может показывать неизменное давление р при различных
температурах T
на высоте h
высоте h
.
2
и T2 за бортом только в том случае, если самолет находится не
1
(которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой
1
Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:
gh
RT
gh
RT
1
1
2
2
pp
exp ,
0
pp
exp .
0
Найдем отношение p
прологарифмируем:
/p и обе части полученного равенства
0
p
0
In ,
pRT
108
gh
1
1
M
M
R
p
0
In .
pRT
gh
2
2
Из полученных соотношений выразим высоты h
и h2 и найдем их
1
разность:
In /
Rpp
hhh TT
12 12
Mg
0
.
Подставим значения величин:
8,31 In 101/ 79
29 10 9,8
3
h
278 274 28,5 м.
2
Задача 5. В вертикальном закрытом цилиндре с площадью основания
2
S = 100 м
цилиндра p
и высотой H = 500 м находится азот. Давление азота на основание
= 150 МПа. Температура газа постоянна по высоте и равна
0
T = 300 К. Определить число молекул в двух частях цилиндра: между
отметками h
= 500 м.
и h
4
= 0 м и h2 = 100 м, а также между отметками h3 = 400 м
1
Решение
Газ находится в поле тяготения Земли и распределение его концентрации
по высоте подчиняется закону Больцмана
gh
nx n
() exp .
Число молекул, находящихся в слое [h
hh
NndV nxSdx nS dx
Vh h
nS
0
22
() exp
11
RT
Mg RT RT
exp exp .
0
, h2],
1
0
Mgh mgh
12
T
Mgx
RT
С учетом того, что
p
0
nRkN
0
kT
и
A
получаем
pN S
0
N
A
exp exp .
Mg RT RT
Mgh Mgh
12
Найдем число молекул, находящихся в слое [h
109
, h2]:
1
1,50 10 6, 02 10 100 0,028 9,81 100
N
1
623
0,028 9,81 8,31 300
1 exp 3,60 10 .
30
Найдем число молекул, находящихся в слое[h
pN S
0
N
2
A
Mg RT RT
exp exp
3623
MghMgh
, h4]:
3
1,50 10 6,02 10 100
4
0,028 9,81
exp exp 3,45 10 .
0,028 9,81 400 0,028 9,81 500
8,31 300 8,31 300
30
Задача 6. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью ω. Используя
функцию распределения Больцмана, установить распределение концентрации n
для частиц массой m, находящихся на расстоянии r от оси вращения.
Решение
Функция распределения концентрации частиц в одномерном поле согласно
(3.10):
()
Wr
() exp ,
nr n
0
kT
где W(r) — потенциальная энергия частиц в силовом поле.
При вращении центрифуги с угловой скоростью ω на каждую частицу,
находящуюся на расстоянии r от оси вращения действует центробежная сила
F(r) = mω
2
r, а связь между силой и потенциальной энергией задается формулой
22
mr
() .
Wr Fdr m rdr C
r
2
2
При условии, что при r = 0 потенциальная энергия равна W(r) = 0
постоянная интегрирования С = 0. Таким образом, потенциальная энергия
записывается
22
mr
() .
Ur
2
Подставляя эту энергию в распределение Больцмана (3.10), получаем:
22
mr
() exp .
nr n
0
2
kT
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]