Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая физика. Молекулярная физика. Учебно-методическое пособие
.pdf
Решение
r
r
rrS
В условии задачи предполагается, что
упорядоченное движение слоев воздуха
между дисками имеет ламинарный характер
(без турбулентности), и так как R << h, то
d
d
краевыми эффектами можно пренебречь.
Слой молекул газа, у внутренней
поверхности вращающегося диска, будет
обладать той же направленной скоростью,
что и диск, т. е.
v
= ωr.
2
Молекулы газа, у внутренней поверхности неподвижного диска, будут
неподвижны, т. е.
v
= 0.
1
Сила, действующая на элемент внутренней поверхности диска площадью
dS, равна (4.7)
ddd
dv
dF dS
,
dz
где dv/dz — градиент направленной скорости; η — коэффициент внутреннего
трения воздуха при заданных условиях.
Площадь dS элемента внутренней поверхности диска (см. рисунок)
dS = rdrdφ.
Предполагаем, что направленная скорость воздуха в пространстве между
дисками изменяется линейно с расстоянием. Тогда градиент направленной
скорости можно рассчитать по следующей формуле:
vv
dv r
12
.
dz h h
Момент сил, действующий на элемент dS внутренней поверхности диска,
dM = rdF.
121
Выполнив преобразования получим
Н
3
.dM r drd
h
Проинтегрировав выражение по r от 0 до R и по φ от 0 до 2π, получим
2
R
М rdrd
0
0
3
hhh
2.
44
RR
42
Подставим числовые значения и получим
4
3,14 10,0 10
MHm
1, 0 0 1 0 2
18 10 28,3 10 28,3мк .
3
66
v
Задача 4. Между стенками сосуда Дьюара находится воздух. Площадь
поверхности как внутренних, так и наружных стенок сосуда S = 600 см
2
.
Расстояние между стенками ∆h = 1 см. Температура наружных стенок
T
= 293 К. Температура внутренних стенок T2 = 78 К (сосуд заполнен жидким
1
азотом). Какое количество теплоты передается молекулами воздуха от
наружных стенок к внутренним за ∆t = 1 ч. Рассмотреть два случая: 1) давление
воздуха до заполнения сосуда жидким азотом было p
воздуха до заполнения сосуда жидким азотом было p
Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным d
= 101 кПа; 2) давление
1
= 333 мкПа.
2
= 0,3 ꞏ 10–9 мм.
эф
Решение
Найдем среднюю длину свободного пробега молекул воздуха,
заключенного между стенками сосуда Дьюара,
где d
— эффективный диаметр молекул; n — концентрация молекул; k —
эф
22
22
dn d p
эф эф
1
kT
,
постоянная Больцмана; T — термодинамическая температура; p — давление.
Подставим числовые значения для первого случая и получим
23
1,38 10 293
1
2(0,310)10110
92 3
9
100 10 м.
Подставим числовые значения для второго случая и получим
23
2
1,38 10 293
2(0,310)33310
92 6
122
30,4 м.
В первом случае λ
x
R
M
p
R
< Δh, следовательно, можно использовать закон Фурье
1
T
j
q
,
где j
— плотность теплового потока; — коэффициент теплопроводности.
q
В случае, если температура между стенками линейно меняется
с расстоянием:
–
TTdT
12
dx h
.
Количество теплоты, получаемой холодной стенкой,
Q jSt St
1
q
где S — площадь поверхности стенок сосуда;
12
h
Δt — время.
,
TT
Считая воздух идеальным газом, коэффициент теплопроводности можно
определить по следующей формуле:
c
M
V
,
где c
11
cv v
V
33
— молярная теплоемкость при постоянном объеме.
μV
Молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме (считаем воздух
идеальным газом)
i
cR
V
,
2
где i = 5 — сумма числа степеней свободы поступательного и вращательного
движений молекулы.
Среднюю скорость молекул найдем по формуле
8
T
v
,
где Т = (Т
Плотность воздуха выразим из уравнения Менделеева — Клапейрона:
Получим
+ Т2)/2 — средняя температура воздуха между стенками сосуда.
1
M
1
.
T
()
RT T T T
5
QSt
1
k
2
32
dMh
эф
12 12
.
123
Подставляем числовые значения
М
R
Z
23
5 1,38 10 8,31(293 78) 293 – 78
Q
1
3 3,14 9 10 2 3,14 0,029 0,01
20
600 10 3600 49,2 10 Дж 49,2кДж.
43
Во втором случае λ
>> d, следовательно соударениями молекул друг
2
с другом можно пренебречь и учитывать только удары молекул о стенки сосуда.
Для расчета теплоты Q
, получаемой холодной стенкой, необходимо знать
2
число ударов Z, испытываемых стенкой за время Δt, и энергию ΔW, теряемую
одной молекулой при ударе,
Q
= ΔWZ.
2
Можно предположить, что в пространстве между стенками сосуда имеются
как бы два встречных потока молекул. Один поток состоит из молекул, летящих
от более нагретой стенки со среднеквадратичной скоростью v
среднюю энергию, соответствующую температуре T
. Другой поток состоит из
1
молекул, летящих от холодной стенки со среднеквадратичной скоростью v
и имеющих среднюю энергию, соответствующую температуре T
и имеющих
кв1
кв2
2
Среднеквадратичные скорости молекул рассчитываются по следующим
формулам:
.
3RT
v
кв1
v
кв2
1
3
T
2
.
М
Молекулы газа подлетают к стенке с одной скоростью, а после
взаимодействия со стенкой отлетают с другой скоростью, соответствующей
температуре стенки. Энергия, отдаваемая одной молекулой холодной стенке при
ударе
WkTT
i
12
2
.
Вследствие хаотичности движения молекул (равновероятности движения
во всех направлениях) можно считать, что между двумя параллельными
стенками движется одна треть всех молекул, а в направлении одной стенки
движется одна шестая всех молекул. Поэтому количество ударов о стенку
N
,
z
6
124
где N — число всех молекул; z — количество ударов одной молекулы за время
Z
Δt.
Величина z может быть получена из следующего соотношения:
t
z
,
где τ — время между двумя последовательными ударами одной молекулы об
одну и ту же стенку. Это время можно найти следующим образом:
hv v
hh
vv vv
кв1 кв2 кв1 кв2
кв1 кв2
.
В результате получаем количество ударов о стенку
vvN
кв1 кв2
hv v
6( )
кв1 кв2
t
и передаваемую стенке теплоту
vviN
QkTT t
212
33
QkNTT tkN t
212
12 12
hM hM
() ,
26()
TTiR iR
12
TT TT
12 12
кв1 кв2
hv v
кв1 кв2
TT
12
Число всех молекул
N = nV = nSΔh,
где n — концентрация молекул; V — объем пространства между стенками.
Концентрацию молекул найдем из начальных условий
p
2
,
1
TiR
2
1
.
где k — постоянная Больцмана.
QpS TTt
22 12
12
nkT
3
MT
.
Полученный результат симметричен относительно температур,
следовательно, такую же теплоту будет терять и более нагретая стенка.
Подставим числовые значения и получим
125
5 3 8,31 78
Q
2
333 10 6 10 293 78 3600 3,76 Дж.
12 0,029 293
62
Задачи для аудиторных занятий
№ 1
. Найти среднюю продолжительность τ свободного пробега молекул
кислорода при температуре Т = 250 К и давлении р = 100 Па.
№ 2. Найти среднюю длину свободного побега λ молекул углекислого
газа при температуре t = 100 °С и давление p = 13,3 Па. Диаметр молекул
углекислого газа d = 0,32 нм.
№ 3. Диффузия D кислорода при температуре t = 0 °С равна 0,19 см
2
/с.
Определить среднюю длину свободного пробега λ молекул кислорода.
№ 4. Пространство между двумя большими параллельными пластинами,
расстояние d между которыми равно 5 мм, заполнено гелием. Температура T
одной пластины поддерживается равной 290 К, другой — T
плотность теплового потока j
. Расчеты выполнить для давления р = 0,1 МПа.
q
= 310 К. Вычислить
2
1
№ 5. На высоте 20 см над горизонтальной трансмиссионной лентой,
движущейся со скоростью 70 м/с, параллельно ей подвешена пластинка
площадью 4 см
оставалась неподвижной? (вязкость воздуха 1,7
2
. Какую силу надо приложить к этой пластинке, чтобы она
5
ꞏ 10
Па ꞏ с, температура 27 °С,
давление атмосферное).
№ 6. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной l = 10 см могут
свободно вращаться вокруг их общей оси z. Радиус R большого цилиндра равен
5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d = 2 мм. Оба цилиндра
находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр приводят
во вращение с постоянной частотой
= 20 с–1. Внешний цилиндр заторможен.
1
Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения
внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения
=1 c–1. При расчетах
2
изменением относительной скорости цилиндров пренебречь. Масса m внешнего
цилиндра равна 100 г.
126
№ 7. В разреженном газе (масса молекулы m
) движется диск радиуса r
0
с постоянной скоростью v, направленной вдоль оси диска. Скорость диска
много больше тепловой скорости молекул. Оценить силу сопротивления,
действующую на диск, если концентрация газа n.
№ 8. В разреженном газе с молярной массой М движется пластина (см.
рис.). Оцените какую силу необходимо прикладывать к пластине, чтобы она
двигалась с постоянной скоростью v. Площадь
пластины S, давление газа p, его температура T.
Скорость пластины мала по сравнению с
тепловой скоростью молекул.
№ 9. Два коаксиальных цилиндра радиуса r
газе. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью
и r2 находятся в разряженном
1
1
Оценить угловую скорость внешнего цилиндра.
№ 10. Оцените подъемную силу пластины площадью 1 м
2
, если нижняя
поверхность пластины имеет температуру 373 К, а верхняя 273 К. Температура
воздуха 293 К, давление 0,1 Па.
№ 11. Между двумя плоскими параллельными платинами,
расположенными на расстоянии d друг от друга, находится одноатомный газ
в разряженном состоянии (λ >> d). Оцените плотность потока тепла, если
температура пластин поддерживается равной Т и Т + Т соответственно, а газ
характеризуется массой атома m
и концентрацией молекул n.
0
Задачи для самостоятельного решения
.
Найти среднюю длину свободного пробега λ молекул водорода при
№ 1.
давлении p = 0,1 Па и температуре Т = 100 К. Эффективный диаметр молекулы
водорода считать равным 0,28 нм.
№ 2. Баллон вместимостью V = 10 л содержит водород массой m = 1 г.
Определить среднюю длину свободного пробега λ молекул.
127
№ 3. Найти среднее число z столкновений, испытываемых в течение
t = 1 с молекулой кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр
молекулы кислорода 0,36 нм.
№ 4. Идеальный газ совершил изотермический процесс, в результате
которого его давление возросло в n раз. Как и во сколько раз изменились длина
свободного побега λ и число столкновений молекул z?
№ 5. При каком давлении p средняя длина свободного пробега λ молекул
азота равна 1 м, если температура T газа равна 300 К?
№ 6. Азот находится при нормальных условиях. Найти: а) число
столкновений, испытываемых в среднем каждой молекулой за секунду; б) число
всех столкновений, происходящих между молекулами в 1 см
3
азота
ежесекундно.
№ 7. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее расстояние
между столкновениями молекул газообразного азота, находящегося: а) при
нормальных условиях; б) при температуре t = 0 °С и давлении p = 1,0 нПа.
№ 8. Определить среднюю длину свободного побега λ молекул водорода
при температуре t = 150 °I и давление p = 13,3 Па.
№ 9. Найти зависимость коэффициента теплопроводности от температуры
при изохорном процессе.
№ 10. Найти теплопроводность водорода, вязкость которого 8,6 мкПа ꞏ с.
№ 11. Найти диаметр молекулы кислорода, если при температуре t = 0 °С
вязкость кислорода η = 18,8 мкПа ꞏ с.
№ 12. Во сколько раз вязкость кислорода больше вязкости азота?
Температуры газов одинаковы.
№ 13. Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормальных
условиях равна 180 нм. Определить коэффициент диффузии D гелия
128
.
№ 14. Коэффициент диффузии D кислорода при температуре T = 0 °С
M
2
равен 0,19 см
/с. Определить среднюю длину свободного пробега λ молекул
кислорода.
№ 15. Вычислить динамическую вязкость η кислорода при нормальных
условиях.
№ 16. Вычислить коэффициент диффузии D азота: 1) при нормальных
условиях; 2) при давлении p = 100 Па и температуре T = 300 К.
№ 17. Два горизонтальных диска радиусами R = 20 см расположены друг
над другом так, что оси их совпадают. Расстояние d между плоскостями дисков
равно 0,5 см. Верхний диск неподвижен, нижний вращается относительно
геометрической оси с частотой v = 10 с
–1
. Найти вращающий момент М,
действующий на верхний диск. Динамическая вязкость воздуха, в котором
находятся диски, равна 17,2 мкПа с.
№ 18.
В сосуде находятся 5 ꞏ 1021 молекул двухатомного газа объемом
V = 2 л. Теплопроводность газа = 15
–3
ꞏ 10
Вт/м ꞏ К. Найти коэффициент
диффузии D газа.
№ 19. В ультраразреженном азоте, находящемся под давлением p = 1 мПа
и при температуре T = 300 К, движутся друг относительно друга две
параллельные пластины со скоростью u = 1 м/с. Расстояние между пластинами
не изменяется и много меньше средней длины свободного пробега молекул.
Определить силу F внутреннего трения, действующую на поверхность пластин
площадью S = 1 м
2
.
Семинар 5
Первое начало термодинамики. Теплоемкость идеального газа
Внутренняя энергия идеального газа определяется суммарной
кинетической энергией его молекул:
imimi
UN NkT N kT RT
222
129
A
M
,
(5.1)
где N — число молекул; m — масса; M — молярная масса газа; NA — число
A
M
Авогадро. Внутренняя энергия является функцией состояния
термодинамической системы, т. е. ее изменение не зависит от пути перехода из
одного состояния в другое.
Работа, совершаемая газом, зависит от процесса, в котором она
производится. В общем случае
V
12
2
V
1
.
pdV
(5.2)
В случае различных изопроцессов работа газа может быть вычислена по
формулам:
A
= p(V1 – V2) изобарный процесс
1–2
A
= 0 изохорный процесс
1–2
ART RT
mm
12
Vp
21
ln ln
VM p
12
изотермический процесс
Первое начало термодинамики:
Q = ΔU + A, (5.3)
где Q — теплота, переданная системе; ΔU — изменение внутренней энергии
системы; A — работа системы против внешних сил.
Теплота Q считается положительной, если она сообщается системе,
и отрицательная, если она забирается от нее. Работа A, производимая системой,
считается положительной, если объем газа увеличивается, и отрицательной —
если уменьшается. Изменение внутренней энергии
положительной величиной, если температура газа увеличивается, и
отрицательной — если уменьшается.
Теплоемкость (полная теплоемкость)
ΔU оказывается
dQ
С
.
(5.4)
dT
Удельная теплоемкость (теплоемкость единицы массы вещества)
1,dQ
с
(5.5)
mdT
где m — масса вещества.
Молярная теплоемкость (теплоемкость одного моля вещества)
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]