МИНОБРНАУКИ РОССИИ

————————————

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Омский государственный технический университет»

А. А. Магазев

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебное текстовое электронное издание локального распространения

Рекомендовано редакционно-издательским советом Омского государственного технического университета

Омск Издательство ОмГТУ

2021

————————————————————————————————

1

УДК 517.9(075) ББК 22.161.6я73

М12

Рецензенты:

О. Л. Курнявко, к. ф.-м. н., заведующий кафедрой естественных наук и информационных технологий ОИВТ;

А. К. Гуц, д. ф.-м. н., профессор, декан факультета компьютерных наук ОмГУ им. Ф. М. Достоевского

Магазев, А. А. Теоретико-групповые методы интегрирования дифференциальных уравнений : учеб. пособие / А. А. Магазев ; Минобрнауки России, Ом. гос. техн. ун-т. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2021. – 1 CD-ROM (0,78 Мб). – Систем. требования: процессор с частотой 1,3 ГГц и выше ; 256 Мб RAM и более ; свободное место на жестком диске 300 Мб и более ; Windows XP и выше ; разрешение экрана 1024×768

и выше ; CD/DVD-ROM дисковод ; Adobe Acrobat Reader 5.0 и выше. – Загл. с титул. экрана. – ISBN 978-5-8149-3308-9.

Приведены основные сведения из теории однопараметрических групп преобразований, рассмотрены понятия дифференциального инварианта и продолжения группы. Изложены основные теоретико-групповые подходы к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

Предназначено для студентов очной и очно-заочной форм обучения по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность» и специальности 10.05.05 «Безопасность информационных технологий в правоохранительной сфере».

Редактор М. А. Болдырева

Компьютерная верстка Ю. П. Шелехиной

Для дизайна этикетки использовано изображение, созданное автором с помощью программного пакета Mathematica

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основная цель настоящего учебного пособия– ознакомить обучающихся с одним из наиболее плодотворных и многообещающих подходов к исследованию дифференциальных уравнений. Речь идёт о так называемом

теоретико-групповом (или симметрийном) подходе, основанном на приме-

нении теории групп.

Практически любой студент, приступающий к изучению раздела «Дифференциальные уравнения», сталкивается с большим разнообразием специальных методов и приёмов интегрирования, которые, на первый взгляд, кажутся абсолютно бессистемными. И это, несомненно, вызывает определённое недоумение, приводящее в конце концов к закономерному вопросу: каким образом отцы-основатели математической науки догадывались о различных хитроумных подстановках, позволяющих в итоге решить то или иное дифференциальное уравнение? В действительности примерно до середины девятнадцатого века подобная деятельность и была похожа скорее на искусство, чем на науку. Однако после глубоких и имеющих далеко идущие последствия открытий, сделанных норвежским математиком Софусом Ли, пришло осознание, что все эти специальные приёмы и трюки являются частными случаями общей процедуры интегрирования, использующей факт инвариантности дифференциального уравнения относительно некоторой группы преобразований.

Результаты, полученные Ли, практически сразу свели существующие методы интегрирования в единую схему и значительно расширили класс дифференциальных уравнений, допускающих точное аналитическое решение.

Хотя группы Ли могут эффективно использоваться и для решения дифференциальных уравнений в частных производных, в настоящем учебном пособии мы сосредоточиваемся на их применении к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом основной

3

упор мы делаем именно на практическую часть теоретико-группового подхода, что выражается в большом числе разобранных нами конкретных примеров. Вместе с тем, важно понимать, что все излагаемые нами вычислительные методы основаны на прочном теоретическом фундаменте, предварительное знакомство с которым математически склонный студент может осуществить самостоятельно, используя дополнительную литературу.

Структурно настоящее учебное пособие состоит из трёх глав, каждая из которых, в свою очередь, содержит три параграфа.

Первая глава является вводной, в ней рассматриваются базовые методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Знакомство с этими методами необходимо для изучения материала последующих глав, хотя стоит заметить, что оно будет полезным и безотносительно к предмету нашего изложения. В частности, в параграфе 1.1 мы излагаем метод построения общих решений однородных линейных уравнений в частных производных первого порядка, основанный на сведении их к соответствующим характеристическим системам обыкновенных дифференциальных уравнений. В параграфе 1.2 мы существенно расширяем класс уравнений, решаемых указанным методом; после некоторой модификации он оказывается применим и к более общим квазилинейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Дальнейшее обобщение приводит нас к системам дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, решение которых представляет собой уже гораздо более сложную задачу. Некоторое представление о существующих методах интегрирования даётся в параграфе 1.3 на примере системы двух уравнений с двумя независимыми переменными и одной неизвестной функцией.

Во второй главе приводятся основные положения теории однопараметрических групп Ли преобразований. Фактически, здесь даётся весь необходимый для решения наших задач инструментарий: инфинитезимальная техника, понятие о дифференциальных инвариантах, операция груп-

4

пового продолжения и т. д. Несмотря на обилие новой терминологии, непривычной для студентов технических специальностей, ничего существенно сложного здесь нет. Для освоения материала второй главы достаточно уметь дифференцировать, интегрировать и иметь некоторое представление о теории поверхностей в n-мерных пространствах. В частности, параграф 2.1 служит для введения основного определения – однопараметрической группы точечных преобразований. Параграф 2.2 посвящён развитию инфинитезимальной техники и её применению к построению инвариантов группы преобразований. В параграфе 2.3 даётся определение операции продолжения группы точечных преобразований до группы, преобразующей производные от зависимой переменной.

Непосредственному изложению основных теоретико-групповых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена третья глава. В параграфе 3.1 вводится определение дифференциального уравнения, допускающего группу, а также важное понятие дифференциального инварианта. В этом же параграфе обсуждается задача построения наиболее общего класса дифференциальных уравнений, допускающих данную группу. В параграфе 3.2 излагаются два метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих группу. Первый метод основан на поиске необходимой замены переменных, в то время как второй – на вычислении интегрирующего множителя. Наконец, в параграфе 3.3 рассматривается применение группы, допускаемой обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, для понижения порядка уравнения.

Как уже отмечалось, изложение материала сопровождается большим числом конкретных примеров. Кроме того, тщательно разбираются примеры решения типовых задач, а в конце каждого параграфа предлагаются задачи для самостоятельно решения и приводятся контрольные вопросы, акцентирующие внимание студентов на наиболее ключевых понятиях и теоремах.

5