Проективная геометрия. Учебное пособие

í

(x1

x2

x3)

òî,

прсиммст тричлят-

3Коэффиции= точки,нты. . м триц

ñî îéÇ ìê ÷ ðíèòè.÷íóþF (x1, x2 x3) = Pi,j

aij xixj

нирхслио

aijí íèé,

Еслиформу.

м н ть тройку ко р ин т

êî ð èí ò

íèþëüí(17.1)ï. ð, îé, он , сно т кук тк уэто лтройкт орять ур

öèîí

0

0

0

íîéопркпоэтомукоторыллинииныêëляс.точностьюссификТсостлятсякимх им,о -

òî÷6,

îïð

ê

öèè ëèí é òîðî î

.) Í ïðî êòè íîé

плоскости

со линий торо о поря к . К ый кл сс х

щих к нонич ских

óð í íèé:

1)X12 + X22 + X32 = 0;

2)X12 + X22 − X32 = 0;

5) ï ð ïñîð ñ

ших прямых.

нопоряпр к ;

я форм тпольстощьюоли

éíî

ñòíî,í ûðî

3, 4, 5

н ыро ннылинии тороторопо

.

1, 2

линии

только о ному

è ó. Ë û ÷ ñòè óðð òè÷í -

Äîê

. Ê ê è

ûòü

ñÿê ÿ

ê î íîìó

ð î

ï ð ì ííûõ

ïðè

íèé 1 íèÿ5

я ляютсянорм льномульными

и ми к р тичной

ííûì

ûðîííûõ

ëüíî,ì

í

формулрм ннымми: ,

x2

x3)

. Ïìîð õîñëò îòîï ò

x1, x2

, x3 ê

ï

F (x1

í éíûì ïð î X1

,

X2

,

X3

опр ля тсяли-

плинии

(X1, X2,1)X3) Èò ê,

x1 = c11X1 + c12X2 + c13X3

|í(cij )| 6= .0

òè íûì êîîð í ò

(x , x2 x3) ур нимния -

поряр хоиполучку,ктоприноэти1тсяойо5-

линий(17оклпорянорм.тссу.пут.торо.кОтсюльн.м опму

ïÿòроолучЕслиьсяктклкотносятсяютсяссонойурономунлинийурниякотомунторокоорномунияух

2)è òîìó линииêë ññó,òîðî îîíèïîðÿïðîê ,òïðèííî-ýêë è ùèë íòíû;ð ëè÷-

íûì êë ññ ì, í ïðî êòè íî-ýê è ë íòíû.

линии

Ÿ 18.

 èìíî

торо о поряр сполок прямойни

н про кти ной плоскости

X`им нюткотор я

ïðÿì ÿ, прохо ящ я ч р точки

î ïîðÿ ê γ, îïð ëÿ ì ÿ óð í íè ì:

и пусть

aij xixj

= 0,

i, j = 1 2, 3 ( ñü

ë )

(18.1)

i,j

2):

ù ííî(x1, x2, x

M `

прямой,

,

a3)

,

B(b1

,

b2

,

b3). Ï ð ì òðè÷ ñêè óð í íèÿ

A(a1 a2

`

è :

(18.2)

3)

пиш м уркоорнинияты(18лю. ой точки

. Ñîêð -

Вопрос о имномxi =ðαaсполоi + βbi.нии линии

(18.3)

1)ится.Получим:(18кр.ш. Пониюстсистиммы,р состнст л (18нной.3)и иурпрямойн ний

(18ñ î.

γ

`

ÿ ò ñî îé

,

γ

`

О инлимп р м тро

отлич н от нуля. Пусть β

0óð. Ð í íè :

α

β

2. Получим6=

î ÷ ñòè óð í íèÿ (18.6) í β

α

2

α

β

β

,

β

иссли:о нию ур н ния (18.7).

со п ши корни;

α

α

ê ,

,

мнимы

корни.

îîíî óð

Òè P 6= 0

γ; 2)

ñëó÷

` í

γ.

P = 0òî÷ê õ;

èì ò è :

α

ïðÿì ÿ

α

β

1

β

2ïðÿì ÿ

)

β

1

β 2

α

α

Â

β

1

β )2

ялинию

óõ

р личных

ñëó÷ ` п р) прямс к тт

γ

` к с тся линии

ñëó÷

)

Óð í íè. (18.7)

α

Ò ê ê ê

2

Q + R = 0.

(18.8)

P

A

íñò î

P = 0 è P =

aij aiaj

(18.5), òî èì ò ì ñòî

P

γ

A γ

ó î ë ò î-

ñëè

í íèè

.8):

85 ,

поэтому

. Ä ë ,

Q

= ,0òî

α

=

−

R

. Им м щ о ну точку п р

ñ ÷ íèÿ

6ïðÿì é β

2Q

` ñ ëèíè é γ.

íî ìíîQ = ñò0 Rî ð= ø0 ,нийтоур. Внт ником случ(18.8) импрямтя ско ч-

 ýòîìQñëó÷= 0, R ïð6= ì,0òîÿ

(18.8) í

ð ø íèÿ.

òî÷ ê ï ð ñ ÷ íèÿ ñ ëè` йим т ру их, кром точки A,

Êëòî÷êñíèòê[19ëüí.1]. Êïðîÿ ñ. линииòêòèльнойнойторолинииплоскостиоòîðî î

Ÿïîðÿ19Îïð.ê ïîðÿ

γ

ê ñ ò ëüí ÿ

Pi,j

aij xixj = 0,

к линии

(19.1)

a2, a3

Äîê ò ëüñòPi,j

aij aixj = 0.

о. Пусть

(19.2)

хо ящ я ч р П точкурм трич ски ,

,

этой прямой.

A,

B(b1óðb2 íbíèÿ3) прямойру я точк

þò è :

` èì -

èëèx1 = αa1 + βb1

,

x2 = αa2 + βb2

,

x3 = αa3 + βb3

,

ñîêð ù ííîì è

Ðèñ. 20

мойН м точку п р с ч ния(19ря.3)

xi = αai + βbi.

ïî -

нстниим` (19линир.1).нстйПолучимγ. Äëÿ(19.ýòî3) îóð

X

ýòîÐ aij (αai

+ βbi)(αaj + βbj ) = 0.

2

aij aibj +

aij biaj )+β

2

aij bibj

= 0.

α ñóììaij aiaj +αβ(

i,j

i,j

i,j

i,j

ïî ëèÿ ò P aij biaj

èí êñû i è j, ÷òî í

н р ультп т:р о о н чим

X

X

X

Ò ê ê ê

òðèö

= ajibj ai = ajiaibj .

ì aij biaj

i,j

i,j

i,j

P ajiaibj

(aij ) симм тричн я (aij

= aji),

òî

= P aij aibj . Ò êèì î ð îì,

ïðèì ò èaij aibj =

i,j

i,j

X

X

X

α2 aij aiaj + 2αβ

i,j

i,j

i,j

i,j

i,j

β

ïðÿì ÿ

β

X

(19.5)

X

îòð ó ì, ÷òî2 ûaij aibj +

aij bibj

= 0.

α

i,j

α

i,j

Ïðè

` ûë

к линии γ.

` линии γ: x1

= αa1,

x2 =

. Т точкк

x1 : x2 : x3 = a1 : a2 : a3

, òî ýòîé

точкой я ля ся

αa2, x3 = αa3

íèè

A. ×ò û ïðÿì í `íèÿê ñ ë ñü ëè-

ð γн,0:н о ч о ы и торой кор нь ур

(19.5) ûë

β

2 aij aibj

i,j

Отку получим

2 =

P

= 0.

α

− i,j aij bibj

P

aij aibj = 0. Ò ï ðü í é ì

i,j

P

ким о р ом, коор ин ты лю ой точки

=0.aÒij aixj =

aij ai

(αaj +βbj ) = α

aij aiaj +β

i,j

aij aibj

i,j

i,j

i,j

X

X

X

X

т льной

M ê ñ

линии:Ïðèì ð [19.1]. Сост ить ур н ни`. к с т льной к

P

2

2

88

= 0 òî÷ê (1, −1, 1).

x1

+ x2

− 4x1x2 + 6x2x3

Ð ø íè . Óð

2]

к с т льной прои ольной точ-

ê A(a1

, a2, a3) имур тнини

коор ин ты нной точки. По. -

èìí è

лучимПо урстa1x1

+ a2x2

− 2a1x2

− 2a2x1

+ 3a2x3 + 3a3x2 = 0

è,

оконч т

ëüíî,

x1

íèèльныхкс тèòîðîльнынполярыñóùîêïîðÿстлинии,у линииòû.êè, тсяслиíóòðèòîðîí íøí-

ëþñûò

ñòè

ñ

Полярноê

ïðî

é,íî.точкойñëè

ïîðÿ ê .

ñîîò òñò è

1.Сопря нны точки относит льно линии то-

ííîé ñëточкойíè [20.1]относитк. Т

B

Îïð

срякущ й

A

Ç ì òèì`, ,прочто ннойк

нныхнныхнйточ к

A

Р ссмотримт скон чно мно ст о

опрясопря

ñò

. B.

н которы с ой-