Проективная геометрия. Учебное пособие

Ð ø íè . Ñîñò èì îïð ëèò ëü:

mÏðèìíûé. ð ïð ð[7.2]. Í

òî÷ê

плоскости н

ê

Вычисли о, н й1 ì1

−1 = 0.

2

−1

1

óð í íè

u1

u2

u3

Ñë î ò ëüíî,

3u2 + 3u3 = 0, èëè u2 + u3 = 0.

òè

S(0, 1ð, 1)сшир ннойп р с ч ния прямых `

R = {A1, A2, A3, E}

котором т чки A1 è

ящ йн соч ст ннуюы. Состточкуить

-

льной

ïðÿìï ð ëëй, прохо

E

M(1,3,−2) è

прямой

Ð ø íèнной ,прямой. 1)ннойплоскостиИуруслон ияни лям тсячи прямслуят, что .н о

ñò

a

2x1

−

x2

+ 5x3 = 0

èì

óð í íè :

. Ñîñò -

îïð ëèò ëü,

= 0

EA1

(aêîîð èí òû

x1

x2

x3

= 0.

ст Вычислиннойпрямой

1

1

получим1

î ù óð í íè í ñî -

2) Í é ì

со ст нной точки

x2 íx3

.

−

í ñî P∞

ной прямой

ñò ííîé-

прямой (см. 7.6к):к точки п р с ч ния

ñ

ни прямой

3) Ñîñò èì óð íP∞(2, −1, −1).

î ù óð í íè

b, ï ð ëë ëü îé

ìîé a

прохо ящ й ч р

точку M, ê ê óð í íè ïðÿ-

MP∞:

1

3

2 =искомой0.

прямой

Отсю получим

x1

x2

x3

2

1

−1

−

−

êòè íîé

b:

èí

îéñòплоскостинностиí ïðî êòè í ÿ

систŸ Пусть8.м коорПринципí ïðî 5x1 + 3x2 + 7x3 = 0.

опрля соотлитьой-

íî

îòñòчкиоринè :òûëÿ.êÓñò íîпрямойèì н про ктиостиной.моТ плоскости

ê

R = {A1

, A2, A3, E}

û,

0

Mим, ющк яой прямой

M(x1, x2 x3) −→ `0 (x1

, x2

, x3)

ò. e. òî÷ê `(u1, u2, u3) −→ M (u1, u2, u3),

ùñòÿ è êîîð èí

÷òî

òî÷ê

0 , èì þ

Mсоотст итстся и соот тст и прям я `

îð èí òû, ÷òî

ïðÿì ÿ

òî÷ê M

0 ,

ò êî-

`

ñÿ

1)

è êòè íî,

`. 31òî ñîîò òñò è :

мпрямыя"21. "Ч"Д( пксиомррточпрохок ютсяточкипринящи прохоолной итточкоонойн". ипрямой"только ←→î í "Äïðÿ-

î íîé

ой) то к"Д"( ксиомпрямы п р с к ются

только I1−2 ←→

3 "Три точки, н л щи н о нойIпрямой"9).

óх прямых,точку"ольникоми. сотрних- "Три

íó

îòð

ðê. èÒðсостоящ

î,

ñò[8÷..2]

ðíîòî÷

íыяющих,коллинÎïðн тсяихëìðïîïíèîûõ

←→

прямы

Тр у ольник ойст н н с мому с .

Ò îð ì [8.1]. (Принц п ойст нно

ñïð

ïð

сти про кти ной плоскостè.) Åñëè

ïðî

-

нноточ

ë

ÿ

îéñò

ïðèí

î îðèò

кпрктих,сти,прямыхлонойтоTниплоскостиспр,которомихлиимнойо

оритсяфДокíè.соотПримтпртстнимльстлои , онииккотором.0 .тУстм точкноимоморитсянпрпроойстмым,ктинчннонойкотол лосрых

ëîкостир

T

T. Получим

ï

к кностик этоточсоотк прямыхтстини прн рушло ни -

спримной ли 0î,í. Òë

T

òî ïð ëî íè

T

33 T0 ò ê

ñïð ëè î.

ÿò òóÇ êìпринцип÷ ,íèê ê. Âпринципïðîîéñòêòèнности,íîìîéñòпрострнностикоторыйíñòн фопроòмулируêêòè íîéò-

плоскости, но исполь у т м ну сло :

"прям"точкя

←→

ë

скость",

"êî èò í û "←→

ÿì ÿ",

ëëèí ð

←→ "ïðî

èò ÷ ð ",

óõî ïðÿплоскостð ñ ÷ èÿé"

←→

прямсõîящия, сося",иняющ я

"ïðÿì

ûпринципомîéñòòü:îñòîéñòточнонностиîéñòнностиойстокпропронностикти;тьктинноститочки"толькоинойноух..оплоскостипростроноойст. н-н-

ñòìíûõëûì21)ПринятоБлпрпринциппринципомольшимло н нийпринципу ←→

Ÿ 9.

Ò îð ì Ä ð

Îïð ë íè [9.1]. Д тр у ольник н ы

þòñÿ

соот тст нными, ñëè ì ó èõ

í ìè

уст но л но имно-о но н чно соотршит-

ñò .

, ïðè ýòîì

0 0

C

0

Ïðèì ð [9.1]. Тр у ольники ABC è A B

ñîîò ò-

í ûõ ðøèí (î î í 0÷, íû

B

0 ,íîé óê0 ïé)ðû.Òî

A

A B

C è C

è

AB

ñòîðîí0 0 .,

0

C

0 ,

340

0 ï ðû ñîîò òñò ííûõ

A B

BC B

AC A C

Ò îð ì [9.1].

(Ä ð.) Åñëè óõ

соот тст нных тр у ольник х ABC è

ютсящи0 0 ñîîò0 прямыо нойтстточкнны0 , ршины,0 0 соп риняюс к

A B C

AA BB

CC

L, то точки P = AB

î÷0 íèÿîé0 , прямойсооттст0 ííûõ0 ,

сторон0 ë0 ï ðò ñí∩

-

A B Q = BC ∩ B C R = AC ∩ A C

Äîê ò ëüñò î.

-

`

т ор мыстнойкВоспольДу тойплоср уточк.мсяторости-пр ст ипротcooм,ктичто

т ль. Пусть0

A →0 ,~a, B0

~

Ðèñ. 5

→ b0 ,

C

~c,

A

~a B

~

0 →

→

→

b

0 ,

~0 . Ò

C

~c

L

`

ê ê ê

0

Àí →

, òî→

L AA

0

~

0

~a

` = α~a + α

0

ëî è÷í

è

.

L

BB

0

ñë ó

÷òî

L CC0

ò,

~

0

è

~

~

~

` = βb + β b

` = γ~c +

0 0

~

0~0,

α~a + α ~a

= βb + β b

~

0~0

0 0,

βb + β b

= γ~c + γ ~c

ò ì ï ð ïèø ì èõ 0 0 è :

0 0,

γ~c + γ ~c

= α~a + α ~a

~

0

~a0

0

0~0,

α~a − βb = −α0

+ β0

b0,

~

~

+ γ ~c

βb

−

γ~c = β b

−

0

0

0

0

35

~c

~a

.

γ~c − α~a = −γ

+ α

ïðÿ ëÿÐñññмотримлялинт йнойп р комо

иннихци. йТ кторокк

êòîð

~

è α~a − βb

ò

точку, прин л щую прямой~a

~

ðb íû,òî í

AB. Â êò ð

0

0

0~0

пр ст ля т точку, прин л щую прямòîé

α ~a + β b

~

~0

−0 0

0

A B . А т к к к кторы α~a − βb

0

0

b

−α

~a + β

î÷

коний ïрр сстч нияляютпрямыхо нупр туст итточку,ль я ляющуюся

точчк

AB

A0 B0 , кторы. . точку P . Èò ê,

имссут кторя,получим,-

÷ ííî

~. Àí -

ë è÷íîP ð

p~ = α~a − βb

~

~r = γ~c − α~a я ляются соот тс

~q = βb − γ~c

ïð ñò èò ëÿìè

ò Qëüíî,R. Í é ì

~

~

p~ + ~q + ~r = (α~a − βb) + (βb − γ~c) +

ñîîòÒ

кторы~

~

~. Ñë -

л т н о ной ольникпрямой. х

ABC

(γ~c − α~a) = (α~a + βb + γ~c) − (αa + βb + γ~c) = 0

÷êè

p~, ~q, ~r лин йноисимы и, н чит,

P Q R

îðòñòì [9ííûõ.2]. (Îòðð óòí ÿ.) Åñëè óõè

A0 B0 C0 точки P = AB

∩

A0 B0 ,

Q = BC

∩

B0 C0 ,

R = AC ∩ A C

ных сторон0

ë0

ниянойсоотпрямойтст н

ñ ÷î

ршины,

ðò

ï

прямы

`, òî

0 ,

0

0

-

, соп риняющис к ются

ííû

т тсной точк

î

AA

BB

CC

îêíîëî èò íèëüñòòü,ì,÷òîî нойстотрр íунымтсяят. орторм мД р

ÿ è-

поэля

Номусятрупр

L.

36

Îïð ë íè

[9.2].

Тр у ольники ABC

è

îð0 ûìè0 (прямой0 , ó òðî ëóèëèòольникоряющио р тной),ìèусло; точкн иямы тютсяор мы Д ð

A B C

ûð, îïðÿìûì öÿ нтром

èëè ц нтромíï ûðñïòñÿê-

òè

L

ниxностьнточкиûìî1ïð..ëôèКонфититурирующихлнномтрóðìðсмыслпрямым,оцияойýòîéосьютñèììîðòê,îðìûилитричнмДосьюÿ10ïðÿì.òî÷Êð êÿ-,

ñî.10ÿ.ïÇсорточкпрямых,ðñïìитоку÷ êòèíè

`

òðè

. Âñ î÷êè è ð þò

÷ ñò

ðîëü

ëþ ÿ è

ûòü

û ð í

ð î-

ö íòð . Ëþ ÿ ïðÿì ÿ ìî ò

ûòü ûî èí êî êóþ÷

ñò

Çð ìî îé÷ íèîñè.

2. Постро ни конфи ур ции Д р см.

прило¾Конфиíèÿõ:óð öèÿ Ä ð 1¿2 .

Ïðèì ð [9.2]. Ó èò

,

Ä ð , è -

конфи

нной н рисунê

5, ï ðó

ых тр у ольникî

у ось, приня р о ур нтрцииточку

B

îíè

ð

Ð ø

èð

. × ð

ð î ö íòð

0.

ìû

B0 прохо ят три пря

о тAсольно,P иняющиLB C Q ( ля их о о н ч ия н исполь у м

0

0

B0!),

ñîîò òñò

п рынными тстðøèííýëûõì íòя ршинляются:ìè . Ñë -

ûõу ольники

A0

конфи ур ции 0

0

0

P

L B, C

Q. Îíè î ð óþòíîòð

A LC

P BQ стороны(н которыхлья проя37оляютсяить

прямых!).ннойто

Ð ø íè

ð îñü

LA0

.

р у. ольникоД

LA0

со р ит три точки L,

òð ñó îðîíольникн исполь, у м

CR

,

B

P

C

R

( ëÿ

÷òî ûí ÷ íèÿ

BB

CC

BP

0

0

0

0

óþò

L, A, A0). Îíè î ð

-

ð ñòîñ óê îíûþòñÿции!),тр у отольникотст (cлннûимлими эл ршимтм,н

íìи которыхннойршиныконфияляются:BB

P

CC

R

0

0

искомыï

B

C, B0

C0, P R. Прямы

0

0

òî÷ê

. Èò ê,

0

P

è

BC, B

C

, P R

Q

4BB

нойŸискомыйТ10иðîðî.îìîìóûõè×клиныДèõðñòíûслоорïðèìойцующимонтрплоскостиñëó÷ð.íîíî ðûíèссмтрè. Íòóêòòольники;îððèîðñøèðøòüìûìûíèþнннойÄрточксширплоскоð í÷-

4CC R

Q

ñòè

ñëó÷ è

Ä ð ëÿ

1

ö íòð L ñè `:

прямя я.

2

L

` í ñî ñò íí

3

L

í ñî ñò íí ÿ òî÷ê , `

4. L

òî÷ê , `

ïðÿì .ÿ

L

38 `

.

1

AA0 00

∩ BB0 ∩ CC0 = L , AB ∩ A0B0 = P , BC ∩ B0C0 = Q

AC 2∩ A C0

= R0, P 0

`, Q `, R `.0

0

= P , BC ∩

0

0

= Q,

3

AA0

||0 BB ||CC

= L, AB ∩ A B

B

C

A C0

.

AC

4∩.

= R0

0

0

=

0

0

0

0 0

||

0

0.

AA0

∩Ðèñ0. ∩6

L,

|| 0

Ðèñ||. 70 0

0

0.

BB

CC

AB A B ,

BC B C ,

AC A C

AA ||BB ||CC = L,

AB||A B ,

BC||B C ,

AC||A C

Ðèñ. 8

Ðèñ. 9

Ò îð ì [10.1]. (Для кли о ой плоско

ñòè.) Åñëè óõ ñîîò òñò ующих

у ольник х прямы , со иняющи соот

cooтются тсттр хточк , х, л щих

í

î íîé

тст нны ршины, или п р с к трю

î íîé

èëè

òî

прямой, ли о поп рно п р лл льны,.

нны стороны ли о

ð ñ ê -

39