Проективная геометрия. Учебное пособие

тстТ орующимы [12т .ор4], мы[12.5] Ÿ îê11.

û þòñÿ ò ê , ê ê ñîîò-

Ò

[12.6]. (O ñ ÿ è

î

о орр мо ния плоскости

ïðîñ êòè íî -

î êòèîòîíîð íèî ð î íèм прямыхото.плоскости) Пустьр ни

íûì

f

î íèÿì. Òî

ïðÿì

î ðÿ

ïðмоямойн пркот

`

` н прямую `0 = f(`), îïð ëÿ

мут.коорльстино.т В м ,ня плоля тсякостипропрок-êòè -

нуюДоктисистным

f

,

,

R = {A1, A2, A3, E}

0ò ê, ÷òî û

1

2

3

,

E 6 `

.

Пусть

1

A0

` A 0

` A 6 `0

0

A1 = f(A )

A2

= f(A2)î Að3 =îì,f(A3),ïðîE

=êòèf(Eíûìè) `

= f(`). Î÷ è íî,

плоскости0 Ò êèì0 0 ó 0 ò 0 íî0ííî0

0. êòè íîð ï ðìèî ð î íè

A1

` , A2

` A3

6 ` , E 6 `

0

0

0

0

0

},

ïðè ýòîì0

R = {A1,

A2, A3, E}, R

= {A1

, A2

, A3

, E

ëþ ÿ òî÷ê

Н й м точки

Ðèñ. 11

0 .

M(x1 x2

, x3)R

îòî ð òñÿ

точку M (x , x2, x3)R

3

3

1

2,

E0

= A0

E

0∩ A

0A 0

E3

= A3E ∩ 0A1A2.

н прямых.

Р ссмотримE3

= f(E3)

ïðî êòè0 соотнытстр пнноры

Î÷`

` è íî,

îòî ð ò ð ï ð,

0

0

0

}

. Ïð î ð î íè

R3

= {A1

, A2, E3}

R3

= {A1, A2,0

E3

f

R3

í ð ï ð R3.

50

(x1, x2, 0)

èëè (x1

, x2) . Ò êèì î ð îì,

M (x1

, x2)

. Ïî îïð ë íèþ

[12.1]

Ïóñ ü òî÷ê òî ð ïðèí, íèÿ ë èò

, x2, 0)

èëè

(x1

x2)R3 .

Î ð òñÿ

M

`

M(x1

ð èí òû0

R

0 èì ò êî-

M

точки M

прямой `

0

0

рпроникти ном пр о Rð î íèè

R3

îòî

н прямую

f плоскости прям я ` т к

õî èò

÷êó

`0, ÷òî ñÿê ÿ òî÷ê M(x1, x2, )R3

0

0

ï

ïðÿìîé

прямойR3 н прямую э о ото -

` н прямую `0 ÿ ëÿ òñÿ ïðî êòè íûì.

íûíîíèèíêîîð, тыотопучкопроинпрямыхòêòèð íîéíèÿплоскостиïó÷ê .

ííпучко

ìî

ïð113Ê. Проктик. лиустпрямыхПктиноíîðñïëотоныííîктиркоорð

ÏðîŸ

ê

принцип ойст нности. Бл о ря

ïó÷ê

ÿìûõ

ст ст нным о р этому

ñòè

î

îнятия

ñèñò ìû

êîîð èí ò (ïðî êòè

í

ï )

ûõ

ÿìîé. Ò ê, ê

ÿ ïðÿì ÿ

ïðî êòè íîé

плоскости опр

ëÿ òñÿ î íî

.

нтыни м п р îé ñò ï íè

íûì óðí

эффици

ìîéð

u1x1 +u2x2 +u3x3 = 0

Ê

þò u1

, u2, u3

í û þòñÿ êîîð èí ò ìè ïðÿ

êòîð

Îïð ë íèÿìîé.

[13.1]. Ïðî, êòèí û íûììûéðïðï ðîìñò è-

ò ë ì

~u(u , u2

u3)

отнош

трни хмпрямыхó÷ê í û òñÿ ìíî ñò î, ñî

rстоящ= {a1, a2, e}

êò ðû-ïð ñò èò ëè

a , a2, e ïó÷ê , ïðè ýòîì

íû

~a1, ~a2, ~e этих прямых с я -

Îïð ë íè [13.2]. Ïðî êòè íûìè êîîð è

îðíèñòèíìèòûпрямойêòîðm -ïó÷êïð ñòпрямыхит ля относитн ы ютсяльно ко-

èÿточмы,ð

-

-

понятияторх

û

ниямт

лиыин

î

ííû

ëè

ð

î êîîð

ïð î ð î

ñïð

прямойктипринципуннытêòè, êíûì..íûтопроротоòîòîмойстîрляютсямойстмðниямпромнностинностиíèÿкктик спрпрèныхойст

êпучкокипроойстнÏðîÏî {~a1 ~a2}

õ. Ïî

1 5

ìû,

ïðÿì .

ïðî êòè íûõ

ото р ойстнийпринципунныпр о р о ний

2. Ï ðñï êòè íû

îòî ðíèÿ

ркти льстным. о. Вын пучокр м н плоскостия ляпротсякти

-

íûé

Докпрор п

`

Π(L)

52

`, A2 `, A3 6`,

R т к, что ы точки A1

E 6`

. Н прямой

`

ê ÷ ñò ïðî êòè íî î ð ï ð

R3

о ьм м тройку точ к

ìîé òñòMó òëþ ÿ òî÷ê ïðÿ

Ðèñ. 12

ð èí` òûM(m1, m2)R3

. Òî

тносит льно пучк.Точк

M

ñî

M(m1, m2

, 0)R

ì ÿ

Π(L) -

LM. Ï ê ì, ÷òî ê -

прямой

LMр ппучкр Π(L)

r3 ò

(m1, m2), что и у точки M í

Ïðÿì`. ÿ

í íè

LA1 èì

óð

льно,ст прямойотносит льно

пло костно о р п р R.

Ñëêòîð-

ïð

x2

= 0

ëü

LA1 ñî ò òñò ó ò

êòîð-ïð ñò è-

ит ль. Ур н ни прямой

LA2

x1 = 0

è

-

~a1(0, 1, 0)

н ни .прямой

Ñîñò èì óð~a2(1, 0, 0)

LE:

x2 x2 x3

èëè

0

0

1

= 0,

1

1

1

ктиямойно о

. Çí ÷èò, êòîð-ïð ñò èò ëü èíè÷-

проной x1

− x2

= 0

LE ñòü ~e3 (1, −1, 0)исныон с я н

òîð ìè

~a1

~a2

соотнош ни м

~e3

= −~a1

+ ~a2

, ïð ñò

. Поэтомупрям

ê ÷ ñò

ляющих

ð ï ð

LA1

LA2

êòîðû

−~a1

a~2

r3

н пучкй прямых Π(L), ьм м

íèïó÷ê

LM

,

. Ò ï ðü

м коор ин ты прямой

Π(L)

относит льно р п р

r3

. Ñîñò èì óð í -

прямой

LM:

0

0 53

1

= 0,

x2

x2

x3

m1

m2

0

Îïðíèî ìð ïó÷êîì,ë íè LM(m1, m2)r3

ль прямой

стили итm2x1

− m1x2 = 0, è î î í ÷èì m~(m2, −m1, 0) ïð -

LM. Ð ëî èì êòîð m~ ïî èñó

{−~a1,~a2}. Пусть m~

= α(−~a1) + β~a2, èëè (m2, −m1, 0) =

ñòèò

ñîîò íèòñò,

и точку

m Π(L)

αÒ(0êèì, −1 0) + β(1 0 0). Îòêó í õî èì: m2

= β, m1 = α.

À ýòî î í ÷ òm~ ÷òî= m (−~a1) + m2(~a2).

прямых[13.4]. Ï ðñï. êòè íûì îòî ð

н прямуюпрямой

`

í û-

ñÿ îòî ð

которо (Lсякой)

Òíèîðïó÷êì [13.2]. Ï ðñïMêòè= m íî∩ `.

îòî ð -

ни м прямой ` н прямую `

0 ö íòðîì ï ð

ñï êòè û

êîé òî÷ê

L н ы тся ото р ни , которо ся-

соот тст и т кую точку

M

0

0

M 0 ` ñò èò 0.54

`

, ÷òî M = LM ∩ `

ото. Очр иний:но, но я ля тся компо ици й п рсп кти ных

L

ϕ : `

Π(L)

Ðèñ. 13

ψ : Π(L) → `0. Ê î→

è îòî

онымт льно,(т ор мыслияля13тся.1,13про.2)-.

Слкти

ϕ

ψ

R = {A1, A2,

Eìîé} ïðî0 êòè íûéð0 0 ï 0рн тыпрямой-

òñò` ующийR ={A1ìóA2, E }

ñîîò-

0

îòî ð

íè

R0. Ò êèì î ð

îì, ï ðñï êòè

ê

îòî ð òñò

ующий

ï ð

ëüíî

пучкотносит` r = {LA1

, LA2, LE}

Π(L), то сякой точ-

M, имкоорющ йин т ми

ñîîò òñ

ð ï ð

(x1

x2)

ò ,ìè

íè ϕ ñò èò

и прямую LM с

R

ñò è

íè

(x1, x2)

ð ï ð r,

точку

ψ прямой

LM(x1, x2) ñò èòíî ñ îò ò

0

ñ

êîîð èí ò ìè

(x1, x2)

í ñè

ëüíî ð ï ðM

ëþ îé òî÷ê

M(x1

, x2)R

f = ψ ◦ ϕ 0

ñò èò ñ îò

тст и точку

òè íûì.

M (x1, x2)R0 ,

поэтому я ля тся пр к-

55

прямую

m

Π(L) èò ñîîò òñò è ò êóþ

ï ð0 ñ ÷

0

0

m Π(L ), котор я со иня т точку L

ñ

íèÿ

Òíèîðïó÷êì [13прямых.4]m. ∩Ï`.ðñï êòè íî

òî

ìûõ

ïðîΠ(êòèL) нымпучîê ïðÿ-

-

ктирляê ê, тсяным,нилиойстнийсякомтопряпоконноп ìпринципурсппоыхт ицкторпучкоям.нолю[13ойстотоо.ÿ3]о.лярчислннотся

ïнистирорспЗяктитмляктитпртим:нымтсяорΠ(íûõLломото) ÿñïð

0

.

Ò îð ì [13.5]. (Óñëî è

ðî êòè íî î îòî ð íèÿ.) Äëÿ òî , ÷òî

прямуюы про кти но ото р нип рсппрямкти йности` í

ê

`0 (ïó ê Π(L) н пучок Π(L0)) ïó÷

0 ост) ылоточно,п рсчтоктиы точкным, нп ор хосчи-

ниямо Π(ипрямыхL )

ö íòðû

` è `0 (прям я, со иняющ я

L è L0) ñîîò 56òñò î ë ñ ì ñ .

îòî ð íè . Åñëè îíî ï ðñï êòè íî, òî ò îð ì îê -

í.

ляоПустьтсяумяп рспототройкктир ныммини точ. fÇ íê ÿèì-

Ðèñ. 15

A,

é

0

0

, C

0

ïðÿ

B, C прямой `

A , B

`0, ïðè ýòîì A0 = f(A), B0 =

0

ìî т, льную прямую. Построим спо-

f(B) C = f(C)

`0 = B0C0,

0

B0 = AB0 ∩A0B, C0 =0 AC0 ∩

ти Дныхйстн йит мльно,

A C

îòî ð

íèÿ:

имПок рспкти ы-

A0

= AA ∩ `0. Ð ññìî

0

0

ϕ : ` → `0

ö íòðî

ï ðñï

A , ψ : `0 → `

ö í ðîì ï ðñï êòè û A.

ì, ÷òî

ψ ◦ ϕ = f.

îòî ð íè

òî÷ ê

ϕ

о ит тройку

-

A B C ïðÿì

р тройкуо

òî÷ ê

A0

,

B0

,

C0 прямой

ï`

`0,

îòî ð íè ψ

èò ë

тройку точ

A0, B0,

ò ëüíî,

компотройкуицияточ к

0

,

0

0

0. Ñë î-

A

B

, прямой й

`

C0 прямой `0

C

ð íè

отония

ψ ◦ ϕ, т к отокк р

f, п р о ит тройку

A, B, C

`

тройку

0

0

0

0

ïðîA êòèB

Cíûìè,ï ÿì é `

ютсяпро пр о рспктиить,Ñëктинок коñòныхо ниотокомпоèрото[13поэтомунияпрямойициюр.1]..ониВсякоОнийпонсомоэти. орполïðîномюттр[12ïð.êòè.4]õ ïñòíîð-я нииля-

По принципу ойс нности

èì ò îð ìó è ñë -

ñò è î ïðî êòè íîì

ото р нииполó÷êî .

58

про3.ктиПостроно ониотосоотр тстния нных эл м нто

Ç ÷ [13.1].

но тройк ми точ к 0 ïðî êòè í îòî ð íè , í-

Ä íî: f

` → `A, B, C ïðÿìîé `

A0 B0 C0 прямой

`0 è M `.

0

1) Р ш ни .Строим:Построить:ПостроM = íèf(M. ).

`0 = B0 0C0:0 B0 = AB0 ∩ A0B,

Ðèñ. 16

C2 0 = AC ∩0 A C;

3

M0 = A M

`0;