Проективная геометрия. Учебное пособие

151

Eíèé,(c 49, c2, c3)

îñò0 ëÿ

н м ст точки

прямойпр о ртуо нипрямую.

x3

= 0

ро точку.

ò êî ïðî êòè íî

x3 = 0.

, êîòî-

A3(0, 0, 1) ост нляпот и мнымистр, о ния

A3A1

иничнуюисныплоскоточки.-

î

èò

ïð

î

ïðî êòè íû

и,152которы. Н йтиостс ляют

(ñx2

= 0) A3A2

(x1

= 0)

ото р ,ют точку

(0, 0, 1)

,

точку

E

A1(1, 0, 0) A2

(0, 1, 0) A3

153. Ä íî ïðî êòèE0íî(a, b,ïðc).о р о ни плоск сти:

ρx1

= x1 + x2

− x3

,

ρx2 = x1 − 4x2

,

ρx3 = x1 + x2

0

0

0

о р ы исных точ к

. Í éòè

154.

,

A2

,

A3

иничнойплосктîñòè:÷êè

E

.

ïðî êòè íîA1

ρx10

= 2x1 − 3x2 + x3, ρx20

= 3x1 − x2 + 4x3, ρx30

= 3x1 −

2x2

+ x3

Í éòè î .ð û òî÷ ê:

A(1, 2, 3), B(2, −1, 4), C(−1, 0, 1),

156

P (2155, 2, 1). Ä, Tíî(−ïðî4, 1,êòè3) S(2, 3, 1)

ρx1

= x1 − 2x2 + x3, ρx2 = 4x1 − 2x2

+ 3x3, ρx3 = x1 − x2

0

0

0

Н йти о р ы прямых:

.

ρx10 = 2x1

− x2

a(1, 2, 3), b(−1, 2, 5), c(0, 4, −3),

, ρx20

=150x1

+ x2

− x3, ρx30 = x2 − 2x3;

d(1, −3, 1), e(2, 3, 1), h(−2, 0, 1), k(3, 3, −2), m(−4, 1, 3),

3)

ρx1

x1

x2

, ρx2

x2

x3, ρx

x1

x3;

4

=

−

=

=

+

0

0

− 0

3

= x3;

6 ρx10

= x1

−

2x2, ρx20 = 3x1 + x2

−

4x3, ρx0

0

0

0

= x2;

3

7 ρx1

= x3, ρx2

= x1, ρx3

ρx010

8)ρx30

= 2x1 − 2x2 + x3;

0

− 2x2 + 4x3,

ρx01

= x1 + 2x2 − x3, ρx2 = x1

157ρx. 3

= 3x1 + x2 − 2x3

Д но про кти но пр. о р о ни плоскости:

x1 + 2x2 − 4x3, ρx2 = 2x1 − 3x2

ρx10 =

+ 5x3, ρx3 = 2x1 − 2x2 + x3

0

0

A1A2A3

.

òè íûé ð.

ðûñò R = {A1

,

A2

,

A3

,

ст, котором точкиплоскости,

E}

A1

A2

п р хо. Нятйтирун со ру нныпри точки

пр онкоторсо -

íèè:ííû

ρx10 = x1 − 2x2 + 3x3, ρx20 = 2x1 + x2 + 2x3, ρx30 =

4x1

− 2x2 + 5x3

A, B, C,

D ñîîòïðòñòî ð ííîî íèточки,

A0,

B0,

òñò ííî

точки:

иничную точку

E

ñîîò-

A1, A2, A3

(2, 3, 8)

(3, −5, 9)

(−7 4, 1)

(1, −1, 0);

(2, 1, 0)

(0, 1, 1)

(1, −1, 1), (1, 3, 0)

(1, 1, 0),

(−2, 1, 1),

(0, 2, 1)

(1, 0, 0)

) (1, −2, 1),

(0, 3, 1)

(1, 1, 4),

(1, 1, 3)

(−2, 1 0),

(0, 2, 3)

(−2 3 1)

(2, 5, 0);

точки160(0. Í, 2,éòè1), ïðî(3êòè, 3, 1)íî,

(−2, 0, 3)

(0, ï−2ð, 7)î. ÿù

C0,

D0, ñëè:

151

A0(1, 0, 1)

B

0(2, 1, 1)

C0(3, −1, 0),

D0(2, 5, 2)

B (2, 1, 3)

C (2, 3, 8)

D (3, 0, −4);

A(0, 0, 1)

B(1, 2, 0)

C(1, 0, 1),

D(0, 1, 0),

B0(1, 0, 1),

C0(0, 1, 0),

D0(0, 0, 1)

A0(2, 1, 1)

B

0(1, 2, 1),

C0(1, −1, 1)

D0(−1, 1, 1),

B (2, −1, 3),

C (−1, 2, 3)

D (1, 2, 1)

A0(1, 2, 3)

B

0(2, −1, 4),

C0(−1, 0, 1)

D0(1, 0, 3),

B (1, 3, 2),

C (−1, 1, 2),

D (5, 5, 8);

A0 (2, 1, 0)

B

0(3, 1, 1),

C0(1, 2, −1),

D0(0, −3, 2),

, нон опопр ио рныо, точкиния: и ин , ри нтны пря. -

B (2, 13, 2)

C (4, 3, 1)

D (8, 0, 3)

ρx0

= 4x1 − x2 ρx0 2 = 6x1 − 3x2,0

0

0

0

) ρx = x2 + x3 ρx2 = x1 + x2, ρx3 = x1 + x2;

ρx1

= x2 − x3, ρx2 = x1 + x3

, ρx3 = 2x1 − 2x2 + 3x3

0

0

0

èì

ïîëî,, íèÿ, î ù î

ëî íèÿ

÷ ò ðêó

î ù îA1

A2

A3 E

и ными п р ы три точки Построить0, îñò ëÿÿ í ïî-

. оо полони плоскостиния: но

M0 прои ольной точки

152

Ñîñò èòü

0

(1 1)

,

A1(1, 0)

A1

нно166. Нумяйтитройк.про, ктми точно кпр о р. о ни прямой,формулы-

A2(0, 1)

A2(1, 0) E(1, 1) E

(1, 3)

0

0

1)

A, B, C

A0, B0, C0 ñëè:

2

A(1, 0)

B(0, 1) C(1, 1)

0

(−1, 2)

0

(2, 1)

C0

0

(−1, 3)

A0

B0

3

A(1, 2)

B(−1, 1) C(2, 3)

A0

(0, 1)

B (10 , 1)

C (10 , 0)

4

A(−2, 1) B(1, 1) C(1, 2)

A0

(1, −1),

B0

(3, 5)

C

0

(1, −1)

B,

C A , Bпрямой,C

A0

(1, 0)

B

(3, −1), C0

(4, −1);

6

A(−1, 3) B(2, 1) C(1, 2)

A0

(2, 1)

B

0

(0, 1)

C

0

(3, 4);

7

A(4, 1)

B(1, 1) C(5, 2),

A0

(3, 2)

B

0

(0, 1)

C

0

(2, −1)

8

A(−3, 2), B(1 2) C(2, 3)

A0

(2, 3)

B

0

(1, 1), C

(10 , −1)

10)9 A(2, 5)

B(1, 4), C(3, −1)

A0

(1, 0)

B

0

(2, −1) C

0

(1, 1)

A(4, 3), B(−1 1), C(3, 4),

A0

(0, 1), B

(20 , −1) C

0

(5, 3);

нно ои ,ы точкиумяпро,тройкктими,íî òî÷î ïðê. î -

ð î167A(1íèÿ., 1)Í, Béòè(−2í 3)ïî, C(3, 2)

A

(−1, 2)

B

(3, 2)

C

(1,

2)

ïð î ð î íèÿ,

A,

1)

0

0

0:

2

A(−1, 2) B(−2, 3), C(3, 1)

0

(4 1)

0

(1,

0), C

0

(30

, 7);

A0

B

0

3

A(1, 2)

B(1, −2), C(2, 1)

A0

(0, 1)

B

0

(4, −7), C0

(1, 2)

4

A(1, 1)

B(3, −1), C(−1, 1),

A0

(3, 7) B

(10 , 9), C (10

, −1)

5

A(0, 1)

B(2, 1), C(4, −3),

A0

(−5 1)

0B (1, 3), C

0(27, 1);

6

A(3, 2)

B(1, 4), C(0, 1),

A

(5, 3)

B

(15, 11), C

(4, 3);

B(2, −1) C(1, 0)

0

0

0

(20

7

A(1, 1)

A0

(1, 2)

B

0

(5, 1), C

, 1);

8) A(5, 7), B(9, −2) C(4, −9),

A0

(7, 5) B

0

(−2, 9) C0

(−9, 4);

168A(2,.−Í1),éòèB(1, 3)ñ , Cïðî(4, 5)êòè, 153íûA (1, 3)

B

(2, −1), C

(9îñò, −1).-

2 ρx10 = ax1

−

bx2, ρx0

= bx1 + ax2, (a2 + b2

6

= 0);

0

0

2

3 ρx1

= x1 + kx2, ρx2

= x2;

4 ρx10 = x1, ρx20 = kx2;

5) ρx10 = ax1 ρx20 = bx2

(a

6

= ,0 b

6

= );0

0

0

Ïðî êòè, íî îòî ð íè,

(a

.

170.ρx1

= ax1

ρx2 = bx1

+ ax2

6= 0) 0 íî òð -

f :

`0 → `

0

=

A, A = f(A), B, B

f(B), C, C0

X = ` ∩ `

171. Ïðî0. êòè íî ïð ð î íè

но умя тройк ми точ к:

f прямой ` -

A, B, C è A0 = f(A), B0 =

f(B0 ), C0 = f(C)

í òî÷ê M `. Построить точку

M 172= f.(M).

îòî ð íè f:

ко прямых

a, b,

c

Π(строить:L) a0 = f(a),

b0 = f(b), c0 = f(c) ïó÷ê Π(L0). Ïî-

L ;

Π( )

LL

íî óìÿ òройк ми прямых

f пучк прямых (L)

ïðîèa, b, cольнойa = f(a), b =

0

0

0

Построить о р

прямой

m

fïó÷ê(b)174, c.

.=Íf(прямойc).

` íû

н по и ны точки X è

ï ð ñî

òñò í-

точки

A

M прямой `.

154

Р л 2. ОСНОВН Е ФАКТ

ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

10 Ä îéíî

отнош ни

прямой,176. У нийтишись,ойнчто(слоточкиотношноA,íèB,) C, D ë ò í î íîé

сл ующих случ :

(AB, CD) ê îì è

)A(1, 2, 0), B(−1, 0, 1), C(1, 4, 1), D(0, 2, 1);

ê îì ñëпрямых,ующих случ :

(ab, cd)

177A(.−1, 5, 3), B(3÷òî, −2прямы, −1), C(9, 7, 5), D(12, 5, 4).

ойно отношпринни л т

о ному пучку

í éòè a, b, c, d

a(0, 0, 1),

b(−2, 1, 3), c(6, −3, −7), d(2, −1, −2);

a(3, 1, 4),

b(−1, 0, 2), c(11, 2, −2), d(11, 5, 28);

è øèñü,

A(1, −2, −1), B(1, 0, −2),

a(1, 2 1),

b(3, −1, 2),

c(5 3,

)a(2 2, 3)

b(0, 2, 1), c(1, 0 1)

d(5 −2 4);

a(0 1, −1), b(3, 2 0), c(6, 7 −3) d(−3, 1 −3);

a(5 1, 0)

b(1, −2, 1), c(7 8 −3)

d(2 7 −3);

178a(2. Ó3, −1), b(1, 3 ÷òî0), cточки(0, 3, 1), d(−2, 3, .

Cточки(−3, −4 8) ë ò í î íîé

í éòè êî ð èí òû

отношDíèë ù é

н ртойно:

è

÷òî îéíî

, 6)

, 8) 2

aè(2, 1ñòíî, 0)

,b(0, 1, 3), c(2, 0,

òî÷ê10),

5

.

, 4) 1

5)

1 ,(7) 4 , 8) 2 , 9) 3

, 10

−

6

−

−

2

ны три точки

4

4

.

21796).−Ä3

3

3

òa êóþ,b c

, 5)182

точку

что они прин Aл(1 о2,нойт3), Bпрямой(−3, 2,и4)н, Cйти(−2т, 4кую, 7).

4 , 7) 5

,(

9) 1 )

2

3

3

−3

4)

180D. Ä íû(AB,òðè CDÿìû) = −1.

пучк181ч. Прот ртуюрионпрямую,чтопрямыd ñëè

о ному пучкучто(ab,и нcdйти)= −1.

−÷òî3) п ойнорс к отношются нионой

н йти прямую

d

,

ð íî: 1) 1 , 2) 2

−3

ab, cd

−5

, 3)

2 . Í

2

4

про кти ной плоскости ны прямы

− x2 + 6x3

3

= 0;

74x1 + 4x2 − 8x3 = 0;

25x2 − 3x3 = 0;

)

x1 + 5x2 + 4x3 = 0

;

126

0, 8x1 + x2 + 4x3 = 0;

157

10) 2x1

+ 3x2

− x3 = 0, x1

= 0, 2x1

−

7) 2x1

+ 2x2

+ 3x3

= 0,

+ x3 = 0,

58)x1 − 2x2 + 4x3 = 0;

x2 − x3 = 0, 3x1 + 2x2 = 0, 6x1 + 7x2 − 3x3 = 0, 3x1 −

2x + 7x2 − 3x3 = 0

ойноДок отношть,.чтониони прин л т о ному пучку и н йти

3x2 − x3 = 0

. Äîê òü, ÷òî(ab,прямыcd).

d

,

xò2 = 0

L

ны ч тыр точки

A,

èñíû ,

ìîé

-

ничную точку

D(−8, 3).

158

ить точку

R = {A, B, C}. Постро-

188 Í Dпро. кти ной прямой ны три точки

A(1, 2),

B=(−1, 1), C(3, 5) ñ

относит льно р 1ï ð R

A , A2,

E . Ê

îì òî î, íî (AB, CD) =

. Í é

про кти ны коо ин ты точки

2

òè {

}

ð

D относит льно р п

íû Rр. .личныВыкр ртоточкинойр сшир нной прямой прои оль

189

A(1, −1) êîîðB(2,èí1) тыприпис н со

ñ ííîé òî÷ê

ить точку

D этой прямой

(6, 1), постро-

î÷êè:190.  C(1, 2).

ñèñò ì

прямой ны

191. Â

a,

bíîø, c, díè

y = x, y = 2x, y = 3x, y = −x;

) y = 3x, y = −x, y = 0, x = 0;

x − 3y + 6 = 0;

, ,

,

,

A,

п рщилл нльны

B

, Äîê ë òü,

a A1

B1

C1

D1

C D

ñò ííî èõ

про кции н н которуюсоотпрямуют-

a1.

÷òî (AB, CD159) = (A1B1, C1D1).