Проективная геометрия. Учебное пособие

ð î2 .íèé,ÑóùÏðð îî ñòíèÿûóþòо муюния поруппойî èÿ î ïîð óþòîïðèÿоруппу.р о ни м-

◦

1) ïð3 .î

п про оия,р отоо рния порющиоо ияточкнияточкуõ

:

◦

êó

точкупр о; р2)о ниíèÿ

ïîI оточия,

îòîIр точкующиJ точку

J

но сВыойст ум формулыI

точку J точкупооJèÿ. Ñî ëI.ñ

ть формул1◦ìè:ñÿêî

ìî íî

-

ρx10 = a11x1 + a12x2 + a13x ,

ρx20

= a21x1 + a22x2 + a23x ,

(23.1)

ρx30

=

a33x ,

1.

= a33(a11a22 − a12a21) 6= 0

è òî÷ ê

f îñò ëÿ ò ê óþ

êèÀí ëî è÷íîI J

íîé. Ïî ñò èì êîîð èí òû òî÷-

I

î ð I0 = I ур н ния (23.1). Получим:

точки

ρiëÿ= a11i + a12, ρ = a21i + a22.

J è

î ð J0

= J получим:

È

ýòèõ

ì

, ρ = −a21i + a22.

ð −íñòρi = í−aé11i + a12

ρx20

= a21x1 + a11x2 + a23x3,

(23.3)

ρx30

=

121

a33x3.

x1

x2

0

x10

0

x20

x =

, y =

, x =

, y

=

è î î í ÷èì:

x

x3

x30

x30

a11

a21

a13

a23

формулы

.3) ïðèìóò è

:

= a33 .

Òî

a = a33 , b = a33 , x0

= a33

, y0

(23

x0

= ax − by + x0,

y0

= bx + ay + y0,

(23.4)

2

2

 = aì î+ îb í>÷ 0íè. :

a

b

íèÿ:

То получимcos ϕóð= √í

2

2,

sin ϕ =

√

2

2.

a

+ b

a

+ b

0

= k(x cos ϕ − y sin ϕ) + x0,

x0

y

которып р2.отоАно √

2

2

ïî î èÿ,èÿ

k =

a

+ b

рость

I точку J

точку J ò ÷êó

I, í é ì óð í íèÿ:

x0

= k(x cos ϕ + y sin ϕ) + x0,

y0

= k(x sin ϕ122− y cos ϕ) + y0,

ë лярными

èêó

í

ðïðèí

a b

ï ðó Aсолютных= a ∩ `, Bòî÷= êb ∩ `

ðÿ ê ,

` è

ð ëÿ ò

:-

A(x1, y1), B(x2, y2), òî

(Имихрплоскости.Îïðняющстня формул|ëAB| = q

.

(x2 − x1)

+ (y2

− y1)

2

2

-

íðíèсстояниы !)тся[23.6]мпр. Ä è íè ìо ур люо ымини поумяклоèточкя,о соой

И формул

íèé ïî î èÿ ï ð î î è òîðî

î

ñëó÷: î è íèÿ

k = 1

и формулы

и нияро н й имм, чтоютпр ои р

x0

0

y = x sin ϕ + εy cos ϕ + y0,

ε = +1 èëè −1. (И стны формулы!)

124

1.

тр нст пропроктиктинонойо

Îïðîñкостил ни

Опир ясь н ксиомы

ñòð íñò ,

ÿпрямуюсякиплоскостьуютощилькон хотянплоскостьоскрпринопн

îê òü:ñòè

ë

í

ð

онтолько

ÂñÿêÑóù

a

A

×

точки,охон54321ит.è

ùèõ òî÷ ê

прямы ).

-

н, л щитольточкщющяни,о н нойпрями я,этихпрохопрямыпрямых,ящ, я точточрсу

ò î(ñêð

ïðèí

щк ,ст6н уЕсли

a b

A

точку

8

òî÷ê ,

í

ñòè.9. Ñóù ñò ó ò ïðÿì ÿ,

он прин0 Еслил точкит прямойA прин нрл с читнияплоскплоскости,тямкостαé β, òî

ïðîè.-

α β

к м ньшя и й котомр-

рнок т прямую

рыхтри п роп

2.

о ютщуюо прямточкщуюó.точкую. .

Òðè

a

1543.Ð

ð ñøèð ííî

простр нст о

Ч р точкуплоскости

α

β

76 Всяки

A н прохо ящую ч р н

þ

скостьмют.о щую точку.

a прохо

ñÿêð

A

трипрям

чкийл ит плоскости

α

.

a

î íîé

прямыпро н-

A

aточки,им ютbî6543. íÊî

7

Сущ ст уют точки,

í

ïðÿ

ìîé.8

ë ùè í

29.. Ñóù ñò ó ò ïðÿì ÿ,

н л щ я нной плоско-

кости.

3.

í

` í ïðî êòè íûé ð ï ð R = {A1

30. Н прямой` н про кти ный р п р R = {A1

,A2

F (2, −1)îé,

Kñò(2ÿ ,í−ñî3) ñòL(5,ííîé−3), Mточку:(1, 4), )N(3, −1), P (5, 2), T (3, −4), ñ÷è-

` прои ольно р личны

í

A1

A(1, 2), B(−3, 2), C(−1, 1)

D(1, 4) F (3, −4) G(4, −1), K(−2, 3), L(−5, 2), M(5, 1),

,

.

H(−331,.3)Í Sпрямой(4, 3) T (2, 1)

−−→

A1

`

A2 = O

~a =

OE

−−→

A2

точк прямой `, A1 = O è ~a =

OE; )

−−→

íE éòè

`, A1 = O è ~a =

M(x , x )

, ñëè

OA2,

1

2

x1

,

x2

í ñî îðñò è òû.

34. Точкпро кти ны

. Í é

òè ïðî êòè íûE(1 1)

`

ñ ð í

ï ð

A1A2 ð -

прямой, ,

E}

.

35R. Í= {A1

A2

ïðî êòè íûé ð ï ð R = {A1, A2,

`

) (2, 1), ) (−2, 1), ) (1, 3), )(−1, 3), ) (1, 4),

(3ñòíî,, 2)

ннточкия точк прямой `. Н й-

M, ëÿù é îòð îê

36.

Н прямой λ.

A1A2

ÿ ëÿ` òñÿ

A2,

E}

, ïðè ý îì

E

ñ ð èíîé îòð ê

A1A2

коорн инсо тыст нн яст

ойточки прямой

. Í éòè

37. Í

`.

`

ðû

A1, A2. Построить и-

÷òî

E ðòî÷êï R = {A1, A2, E},

ñëè

P∞ èì ò êîîð èí òû: (−1, 2)

)