Проективная геометрия. Учебное пособие
.pdfт льную266 |
|
ò . |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|||||||
но нихо околочклинииБри торнш но.поряПостроитьч тырк ,хсторонникт кртуюс ния, ст ронуной |
|
||||||||||||||||||
è |
точку к с ния. |
|
|
тр хсторонник , опис нно о |
|
||||||||||||||
|
|
267. Ä íû |
|
|
|
|
|||||||||||||
около линии |
òîðî |
стороныпоря к , точки к с ния этих сторон |
|
||||||||||||||||
и точк Бр ншон . Построить тр тью |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
268. |
|
Построить |
|
точки р с ч ния о льной линии |
|
||||||||||||
торо о поря к , нной пятью точк ми,сторонунной пря- |
|
||||||||||||||||||
ìîé. |
|
|
Линии торо о поря к |
|
|
|
|
|
|||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
кли о ой плоскости |
|
|
|
|
|
||||||||
 ð ñøèð ííîé |
êëè î îé |
плоскости:со стлиниюннойторо о поря к- |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ï ð |
|
ïð |
|
|
|
|
|
||||||||
í |
|
|
|
эллипс пр |
|
|
|
|
|
|
й линию |
ïðÿì é; |
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
î ùèõ òî÷ ê ñîí ñ |
|
|
|
||||||||||
|
èì- ипющуюр ол |
ëè èþ òîðî î ïîðÿ ê , ï ð ñ ê þùóþ |
|
||||||||||||||||
ê , |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
нн й прямой; |
|
|
|
|
|
||||
í ñ |
ñò í |
|
прямуюст ля т ух точк х. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ро Полюспс ряющуюсяк ля тся ц нтром линии; поляр |
|
|
|
||||||||||||||||
точку к с нниясо ст ннойст нной прямойимностиï ð îëû. Ñëñî - |
|
||||||||||||||||||
|
|
Ï ð îë |
|
|
|
|
|
прямой относит льно |
линии |
òî |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ì ò ö íòð , ò ê ê ê |
|
- |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
точки |
|
и м тром линии. |
прохо ят ч |
|
|
|
|||||||
п р олы (поляры |
|
ñò ííûõ òî÷ ê) |
|
|
|
||||||||||||||
ò ëüíî, í |
êëè î îé |
плоскости и м тры ï ð îëû |
- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê ñ íèÿ ÿ ëÿ òñÿ ïîëþñîì í |
|
|
||||||
ñò ííîé прямой. Поточк ор м |
|
ê ñ ò è ì òðû |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170 |
|
|
|
|
|
|
|
ï ð ëë |
|
|
|
|
|
|
|
ñî îé. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ст ТКннойс т îïð ë íèльны точку эллипсх п р с, пч нияр олы,ип р полы. р лы,н соих |
|||||||||||||||||||
ц нтр , симптот,я ляютсям т |
ïî îëÿ ò |
|
ü |
|
|||||||||||||||
кли прямойплоскости |
ïðî êòè íû |
т ор мыиспольпрîê è |
|||||||||||||||||
íû |
понятия |
ри р ш нии ря симптотч, с яминных лини- |
|||||||||||||||||
ÿìè |
òîðî |
ïîðÿ ê . |
|
|
|
ïîëí îïð ëÿ òñÿ: |
|
||||||||||||
269. |
Äîê òü, ÷òî |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ршинойтр мя |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
м тром, к с т льнойп р олточк п р с ч ния и м тр |
|||||||||||||||||
îñüþ, |
|
|
|
|
|
и точкой; |
|
|
|
|
|
î íîé è |
|||||||
) è ì òðîì |
|
óìÿ |
òî÷ê ìè; |
|
|
|
|
||||||||||||
ñ ï |
|
îëîé |
|
|
точкой; |
èï ð îë ïîëí |
ïð |
ëÿ òñÿ: |
|
||||||||||
270. Ä |
|
òü, ÷òî |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ми и точкой (или |
к с т льной); |
|
|
||||||||||
ñè ïòîòîé |
|
òð ìÿ òî÷ê ìè (èëè òð |
ê ñ ò ëüíû |
||||||||||||||||
íèõ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н пр л ниями и тр мя |
- |
||||||
)ìè); óìÿ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ê ìè. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
271. Дсимптотичнрлл лоскимир мм ABCD. И нной точки |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р лл лопрор ммсти к с т льнуюкс ющэллип- |
||||||||||
Mсу,, принпис номупрол эллипсом,щй AB |
|
|
|
эллипсс р н инумусяо). |
|||||||||||||||
сторон. Д них |
ð èí õð (è î ð íèìì |
||||||||||||||||||
î272 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCD |
|
|
|
||||
ð ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCD. × ð |
îò- |
|||||||
этой прямойABк с ющимсян |
|
|
|
|
|
|
пллмрлострыч ниямм |
||||||||||||
прям пися.Нннымйти точкисрп рини |
|
|
|||||||||||||||||
ABCDни273эллипс.Прямын но).о стор |
|
|
èõ |
|
|
õ (è î |
|
||||||||||||
|
|
|
точки |
|
|
AB |
è |
сопрят |
ííû |
ýë- |
|||||||||
ëèïñ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CDë |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A, B, C, D 171 |
|
н эллипс . Построить |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ о ну точку |
|
|
|
|
|
ð íè |
|
|
|
|
|
|
í íî). |
||||||||
липс274, .точкиПрямы эллипсAB CD(и о сопря эллипснны и м тры эл- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èïточкуннойоттриðíîëûриточкипличныточкр(икс.олыоПостроитьтипточкильнуюр р колыниси. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òé |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðñ276275òîëûîëûль.итьчкÄД.уюПостроить.íûнщкно)оэллипсу,он. ну,симптотыточкущ, нол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
пэтойПострэллипск р |
|
|
|
|
A B C D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т льную |
|
|
ýòîé òî÷ê . |
|
|
|
три р личны |
è |
|||||||||||||
277. |
. |
|
|
|
о н симптот |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ê êóþ- |
|
|
прямую |
òîðî î ñèìï |
|||||||||||
тотич ско |
|
í ïð ë íèÿ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
279. |
|
Построить. |
торуюсимптотутоту. |
|
èï ð ëû, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
симптот |
èï ð îëû, òî÷ê |
||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
о н симптотли отри р личны точки и- |
|||||||||||||||
ï ð îëû. |
|
|
|
|
торую |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
îðîé |
|||||
ê ñ ò ëüí ÿ |
|
ý îé òî÷ê |
ïðÿì ÿ, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
280. |
Ä íû |
|
|
|
|
|
точки |
|
ð î û, ê ñ ò ëü |
||||||||||||
281. |
|
|
í î í ñ |
|
|
|
ип рполыолы,р лл льн яточки и |
||||||||||||||
ê ñ |
ëüí ÿ |
|
о нойр личныних. |
Построить |
|
ù |
о ну точку |
||||||||||||||
í ÿ |
î íîé è íèõ |
|
|
прямы , |
|
|
|
|
ëüíû |
ñèìï- |
|||||||||||
ипсимптотр олы |
и к с т льнуюмптотн й. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
. Построить с |
|
мптоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðÿ- |
|||||||||
282. |
Ä íû |
÷ òûð |
|
|
|
|
|
точки èï ð îëû |
|||||||||||||
м я о но о симптотич ско о н пр л ния. |
|
Построить |
|||||||||||||||||||
284. Ä íû ÷ òûð |
|
р личны |
точки ипПостроитьр олы пря- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ýòî î í ïð ë íèÿ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
чкусимптотур с ч ния нной прямой с ип р олой. |
|
ïðÿ- |
|||||||||||||||||||
283. Ä íû ÷ òûð |
|
|
|
|
|
точки ип р олы |
|||||||||||||||
ì ÿ |
но о симптотич ско о н пр л ния. |
|
|
òî- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
прямую285о нотороо симптотиччо тыр |
сколичныоскон опр л ипния.ð. îëû. |
ïðÿ- |
|||||||||||||
ê |
|
|
симптото ной |
|
ч сконныхо |
точки. |
|
|
|
||||||
|
286. Ä íû |
òðè |
|
|
|
|
|
точки ип р олы,gПостроитьк с |
|||||||
|
с т ольнуюной и нихр прямличныя симптотич ско о |
ïð |
|||||||||||||
ì ÿ. |
|
точку |
|
|
|
|
ния этой прямой |
|
ð îëîé. |
||||||
пр л ниями |
òð |
|
í |
|
|
. Построить к сипт льную |
|||||||||
|
287Í .éòè |
|
|
|
умя симптотич |
скими н- |
|||||||||
î íîé è ííûõ òî÷ òî÷ê. ìè |
. |
|
ê êóþ-ëè î |
||||||||||||
ïð |
Ãèï ð îëòð ìÿ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
288. |
|
|
|
ï ð ñ |
н умя симптотич с ими н - |
|||||||||
|
|
|
точку ип р олы. |
|
|
Построить |
|
|
|
||||||
|
289. Ä íû |
ñë óþùè |
точки |
|
|
|
|||||||||
чой.тПостроитьлсртуюниямипмптор олу:;точкуточксимптотипрточкср, чолыпрямминия кпрямойяспрямытп льнрлл,яопрльнэтойя ляютруч |
||||||||||||
êùè |
|
|
|
|
|
|
|
|
` |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê ëüñé. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðñ îëò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
солыльнуюîëûниятльную.иè òðèî точкуí. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ðíèÿñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êð |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñëê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èïíó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òü ощнчкунупро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íûíû симптотыù |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Постро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
льных29290. 21.. .ÄÄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
òèÿû |
3 |
|
|
точки ип р олы |
`прямы , им ю |
|||||||
щи симптотич ски |
|
|
|
. |
Построить |
ö íòð è- |
||||||
ï ð îëû. |
|
èï ð îë |
этой точк . Построить торую |
|||||||||
ê ñ ò ëüí ÿ ê |
||||||||||||
294. Ä íû ö íòð èï |
|
лы, симптот , точк и |
||||||||||
симптоту ип р олы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
295. Ï ð îë í îñüþ173 `, ршиной M и точкой
N 6 П р ололс т льлиникуюоосьюкиточк N.
`, ршиной M и точкой
Nитьлы. 29Построитьнточку987п Дрокэллныойльныкчть,пкуютыррочто. -нуолыкн .сосьюточку,т льныхотличнуюк сп тр льныотол N. .Построп р о-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l, ршиной M и точкой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òðòðê..ï.ПостроПострор ол-- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îë |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èèðìì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
льнуюиолыололыкс тк.ïльнуюп |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
льных |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
÷ùïñòûðртточкильнуюполырêêïñ.олыскòðò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
íûы.кточкутри |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
íó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ýòîé |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ùù21òî÷ê.. ÄÄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
èòüитьэтой.30300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N |
|
3 |
|
|
|
три точки |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ýòîé òî÷ê . |
точку п р олы и |
|
|
льную к п р ол |
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
точку |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
ï ð îëû |
|
|
три точки. Постро |
|
|||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
||||||||||||
|
307. Ä íû |
è ì òð |
ð îëû, |
|
|
льнпяр точколой |
|
||||||||||||||||
èòü |
к 5с т льную |
|
è ííûõ òî÷ . |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
точку п р с ч нияо ной |
ííî |
|
|
|
è ì |
|
ð |
|
|
|
|
|
|||||||||||
í ÿ î í é è íèх. Построить |
к с тп льнуюр олы ру ой точ- |
||||||||||||||||||||||
ð ñ ÷ íèÿ ýòî î è ì òð ñ |
|
|
|
|
|
|
|
è òî÷ê |
ï ð îëû. |
||||||||||||||
Построитьк щ |
|
ó |
|
|
точ к п р олойолы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
точку п р олы. |
|
|
|
|
|
è |
|
ñ ò ëü |
|
|||||||||||||
|
308. Ä |
скольком тр, |
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
309. Д ны точки п р олы и |
ê ñ ò ëüíû ýòèõ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Áè ëèî ð ôè÷ ñêèé |
|
|
|||||
список |
|
2 ÷. / Ë. Ñ. |
|
||||
[1] Àò í ñÿí, Ë. Ñ. Ã îì òðèÿ : |
|
||||||
Â. Ò. Á ûë . Ìîñê : Ïðîñ ù íè , |
1987.Àò í ñÿí, |
||||||
×. II. |
|
2 ÷. / Ë. Ñ. |
|
||||
[2] Àò í ñÿí, Ë. Ñ. Ã îì òðèÿ : |
|
||||||
Ã. Á. Ãóð è÷. Ìîñê : Ïðîñ ù íè , 1976.Àò í×.ñÿí,II. |
|||||||
[3] Ат н сян, Л. С. С орник ч по |
|
|
/ |
||||
Ë. Ñ. Àò í ñÿí è ð. |
|
: Просом щтриин , 1975. |
|||||
[4] Ат н сян, Л. С. / С орникМоск |
|
ïî ýë ì íò ðíîé |
|||||
îì òðèè / Ë. Ñ. Àò í ñÿí |
è ð. ÷ Ìîñê : Ïðîñ - |
||||||
ù íè , 1964. |
|
2 ÷. / Â.Ò. |
|
||||
[5] Á ûë , Â. Ò. Ã îì òðèÿ : |
|
||||||
Ê |
И. Дунич . |
Ìîñê |
: Ïðîñ ù íè ,Á1975.ûë , |
||||
×. |
II. |
÷ ïî îì òðèè / |
|
||||
[6] Á ûë , Â. Ò |
|
||||||
Â. Ò. Á ûë. СМоскорник : Прос щ ни , 1980. 176
§ 15. Гармонические четверки точек и прямых |
75 |
|
§ 16. Гармонические свойства четырехвершинников и |
|
|
четырехсторонников |
77 |
|
§ 17. Проективная классификация линий второго |
|
|
порядка |
80 |
|
§ 18. Взаимное расположение линии второго порядка и |
|
|
прямой на проективной плоскости |
83 |
|
§ 19. Касательная к линии второго порядка на |
|
|
проективной плоскости |
86 |
|
§ 20. Полюсы и поляры линии второго порядка. Полярное |
||
соответствие |
89 |
|
§ 21. Конструктивные теоремы теории линий второго |
|
|
порядка |
100 |
|
§ 22. Геометрия на плоскости с фиксированной прямой |
112 |
|
§ 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения |
120 |
|
Приложение. ЗАДАЧИ |
125 |
|
Раздел 1. Проективное пространство |
126 |
|
1. |
Определение проективного пространства и |
|
|
проективной плоскости |
126 |
2. |
Расширенная плоскость и расширенное |
|
|
пространство |
127 |
3. |
Проективные координаты точки на прямой |
128 |
4. |
Проективные координаты точки на проективной |
|
|
плоскости |
131 |
5. |
Уравнение прямой на проективной плоскости. |
|
|
Уравнение пучка прямых |
133 |
6. |
Принцип двойственности |
137 |
7. |
Теорема Дезарга |
139 |
8. |
Проективные преобразования плоскости |
149 |
9. |
Проективные отображения и преобразования |
|
|
прямых и пучков |
153 |
Раздел 2. Основные факты проективной геометрии |
156 |
|
10. Двойное (сложное) отношение |
156 |
|