Проективная геометрия. Учебное пособие

В ни . Кр тк я историч ск я

ñïð ê

ê ê

Âî í êíî íè ï î êòè íîé

ì ò

ñêî î

ì ò ì òèê Ïîíñ ë (1788 1867)

í ì öêî

ì òèê

ôîí ò ó ò

хотя н которыот льной

ð ìû

ûëè

IV

ð íüø : ò îð

Àë

рийско о

. . э.(1798т ор1867),м Дом трииП фрпп нцу ско о

ì

÷ ñêîé

ðèè ñ ÿ û þò ñ èì í ìè ôð íöó

"Тр кт получмт т мнытик

(1593ñ 1662)îéñò . Òõ

ôèê, Ïîíñóð"(1822)ë êñðí

философотч тко пр л ни

è íî

ñ îéñò

ôè óðû,

постро прони кти ныхêòè íîé îì òðèè н исимо

ôîí ò ó ò

ð îò "Ã

ì ðèÿ ï ëî íèé"(1847) ð ñ-

смотрли ич лски м то ы. М иус

ï ð û î èò ñèñò

ó

ì òð ÷ ñêèõ

.

ì ì òèêè,

пр понятийнил

Плюккпро ктир ной ом трии н

Ì èóñ (1790 1868)

(1801 1868),

íîðî íöè ëüíû

коор ин ты. Н кон ц, ит льянскийн м цки-

êòè

õ

. Плюкк р опр лил про ти ны

ñë

íèÿ

,

ì òðè÷ ñêîé

ятилиêîîðïðîèí ò

ч стным случ

ïðî

ò ì òèê Ì.êîîðÏü ðèèí ò1898я ляющихся. о осно л

íè

с про кт ной точки р ния.

í ì ö

ê

Ан лийск й

ì ò ì òèê À. Êýëè (1821 1895)

ì ò ì òèê Ô. Ê éí (1849 1925) ïîñ

ñ îè èñ

,

ло ы илитьуч нию

îì òðèè

îñíî . Ïð ëî ííî èìè

ïî -

титнойк н ы мой " рл н нской

пром роопрр мм л нил кции,

îì òðèè. Èõ è è

ïðî êòèñ îíîé

1872êëè î ó

ýëëèïòè÷ ñêóþ Ðèì

èï

îëè÷ ñêóþ Ëî

÷ ñê

прочит нной Кл йномн шлиуни рсит т рш. рл н йнни

(Ã ð-

3

ì íèÿ)

îïó ëèêî íí é ïî í íè ì "Ñð

ò ëüíî

ìóî îÍрксиомìí öêèéнотичйшихско омДтрич. Гильскихртомисслисслтрииоо соний"л .л

ê

ñèîì òèêó ïðî êòè íîé îì òðèè.

Русски

Â. . Öèí ð (1836 1907)ïðî ë î

ïîñë î ò

ì òÊ.Àì òèêè. Анпострор нияА.К. Вл со

í ñëè îïð -

1921)

ысших поря ко ,

ñò ì

èññë î ронникот ëтсткс ия

êë ìíî î í ÷íû

(1848

ë ííûé

ð

èòè ò îðèè. Ò ê, Àí ð

ч ски с ойстпучко ,л

нр йныхссм трèпро кти ничны ских с ч

é,

прямыхи уч

ñ î

ñò êðó î ûõ ìíî

ì òðè

.

Âë ñî (1868 1922)

îð ìû

êòè íû

ì òè÷ ñêî

í ÷ íè

Ï ñê ëÿ.

Ñî

òñêè

А.Н. Колмо оро , П.К. Р ш

èíð олюцииочки

тополо и ,

í é ð ñì òðè þòñÿ

îñ-

ский, Н.А. Глм олт м тикир. пос ятили с ои р оты

íî íîì î î íî íèþ ïð êòè íîé îì òðèè è

ñî ëè

èññ

ичны сист мы ксиом. В р от А. Н.

ðî

ïðî ë ì

ñíî íèÿ ïðî êòè í é

îì

си м уикится йст ит льных

компл кс ых

Колмопро кти ных

Â

ð ìÿ ð èòèïðî êòèкти ной ксиомтрии

ð òð íñò . Ä

ð òû Ï. Ê. Ð ø ñêî î

(1940) ïîñ ÿ-

щ ны и уч ниюр ниякс

íîé îì òðèè í

êòè íîì òèêè

.

ð ìè ïî

и по пути пос ро ния простр нст н

трн хмлониирностоящопро кòи ным простр нст ом н пол м.

ëÿ

ïëîñкости. Н.А. Гл л л но ую сист му

4

Ãë 1

ЕКТИВНОЕ

ÏÐÎСТРАНСТВО

Ÿ 1.

тр нст пропроктиктинонойо

Îïðîñкостил ни

простр н

Îïð ë íè

[1.1].

ñò îì

í û òñÿ ìíî ñò î

ýë ì í î ,

í û

ìûõ точк ми, прямыПро ктиплоскостяминым

,

ëÿ

которых

îï ë íû èìíû

отнош ния с помо-

ùüþ òð õ óïï

ксиом: прин л ности, поря к

и н пр ры ности.

ïð

.

I ðóïï

ïðÿìI1 яК ко ыксиомыни ылèн лточкирностиличныA B, ñóù ñò ó ò

a, прохо ящ я ч р точки A B.

I2.

û íè ûëè

точки A è

î

íîé

прямой,Чр

òðèí îë A íîéB Cплоскости,н

.

í

I5

I6

Если точкчки остиA B прямой л т н

скости

α, òî ê ÿ

прямой a ë èò í

α.

òî

они им ют щ плпосêð éí é ì ðèìî þòíó о щую точку ,

I7

α β

A

B.

îI8

н нойСущплоñткостиу т.н м н ч тыр х точ к, н л щих

ìîé,I9

Кстютиткпрямуюиясякиыоо щуюксиомнны прямытриточкутолькоточкипринточки,., рпрохоолсполон лностиплоскостьит онныщин. ин.тоольконойнойплосоня -

прямкости,321Слпрохо.ÿèì.

Ч рДСущотольконкплоскости(скрстясякиуютплосколькощихотяплоскостьоющиспннрыплоскостьлсимяк.прямыþющищуюпрямыимо.ютсяùн).у,прямыоннщуюйпрямимточкуóточкующипрохою.про. ит--

щихохон7654ит.точПрям

a

A

8 Òðè

6

òî÷ê .

C прямой a,

ó ò í ýòîé ïðÿì é a ò ê ÿ òî÷ê

D, чтоляптрп Aðó, B р ляр плярутC, D. Åñëè ï ð A, B

ðличны .

C, D, то с ч тыр точки A, B, C, D

II2

Åñëè ï ð A, B

ï ðó C, D, òî

B

A ð ëÿ ò ï ðó C, D,ûëèï ð C, D ð ëÿ ò ï ðó A

B.

II3

Ê êî û û íè

ч тыр р личны точки A,

èíñò í.

-

Bíûì, C,îDрпрямойомсостa, ил нихныр мо ляютутытьнныс п ры

ñëèIIï4.рыПусть ны н прямой a точки A, B, C, D, E;

C, D è C, E

ï ðó A, E, òî ï ð D,

ðó ,

A , BточкиC , D

E í ð ëÿ ò ï ðó A, B.

ñëèIIï5.рыПусть ны н прямой a точки A, B, C, D, E;

C, D è C, E í ð ëÿþò ï ðó A, B, òî ï ð

D, E ò ê í ð ëÿ ò ï ðó A, B.

II6. Пусть A, BïðîCêöèè,D

н п ыры тсяч к прямой a:

ï 0 îè0 иольную0 0 прямуюих

Åñëè

ê êî î ó î íî ö íòð í

A , B

C D

òî ï ðûa .

ï ðû A, B è C, D

-

ëÿþòðó

0

ðóÇ ì ÷ íè. : ïðî êöè é

0

0

0 0

ê ð ëÿþò

ìîé

A

A0 , ë ù é í ïðÿ

ð ñ ÷a0нияцпрямойнтр S н прямую a

òî÷ê A ï -

0 ñ

ìîé

ïîðÿ ê .

a.

1.СлД ст ияли ксиомныSA точки

ляютточкинк,

,лсс ,прямойщихо л êëюшихномуññûр иттомукимют

остойклльныссу,ом:р ля тнï òîû÷

ðóêë

ðèí

A

B

a

êë ññî

ï ðó

A, B; ï ð ò ÷ è í ûíûõ

A, B7. Óê ííû

-

íèÿ,точй кточк точку

P

î úÿîïðим точку

A

ïð

ñëø ñòî óþù

a

лится

îê

í ÷ ìûé; ò ì ìûì

î

B

P |AB ïîðÿ êля лю ых ух, отлич-

íûõ îò

P

прямой a. Åñëè

P |AB

C

è ïîðÿ îê

D,

òî÷ê Dн пр рыш стностиу т òî÷ê E

ø ñò óòòëüñò î ï ñòò èé

, ñëè, ê

îì òî î,

E

ïð (Äîê

P |CD

P |AB

.,

.

пслр ксиом, р1 3 смля. [1ï].)ð

F

III ðóïï Fксиом,

C E

D

Ä êèíê

.) Пусть прямой уст

íî ëIIIí 1ïîðÿ. (Аксиомок точ

P |AB

a

личны от точки

с точки

a, îò-

н; итсс о прклномуссши,сттолькооул т люющионоой-

ìè:êë

îë

îитыссо

ðêë

îéñò

.óñòû;ò

спринр

ï

2)1)иующимиîкоуксяктороклянныхяосстрточкточкклстмяностс,уух

точкмусл 3

P

Ò

ëè î

ï ð îì êë

èì òñÿ òî÷ê ,

которс м я-

ðîì êë ññ ñóùñ ìè

òî÷ê ,

ïð ø ñò óþù ÿ

личным от н òî÷ê ì òî î

( òîðî î) êë ññ .

ñë ó ò

льными о точк ми, ли о о то

8