Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Проективная геометрия. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

ñë î ò ëüíî,

ò êîï û,ðû êòî î ñòe~1

~e1 e~2

e~1 ||e~1, e~0 2 ||~e2

e~3 ||~e3.

λ1

λ2

λ3

Ò ê ê λ~êeð= ëλ1~e1 íè+ λ2~e2êòîð+ λ3~e3

~e = λ

~e1 + λ ~e2 + λ ~e3.

òî

~e ïî èñó B èíñò ííî,

λ1 = 1

λ2

= 1, λ3

= 1. Îòêó λ1

= λ2 = λ3

= λ

A3. Ä ë , e

= e~1

+ e~2

+ e~3

= λ~e1 + λ~e2 +

= λ~e2

= λ~e3.

2) Пусть

e~1èñû= λ~e1

e~2

e~3

÷òî

e~1

0 = λ~e1, e~2

0 = λ~e2,

BÇíB÷èò

e~3

0 = λ~e3. То я ляютсяим м три п ры коллин рных кторо

è 0

èò ëÿìè,

~e2 e~3

~e3

òî÷ ,ê

ñîî òñò ííî ï

λ~e3 = λ(~e1 + ~e2

+ ~e3) = λ~e. Сл т льно, кторы ~e

прмой, ст ïðîèò ñëÿûêòèя. ютсяныíîéñ î íîé

тытой

прокторкти-

íîé

ñèñò A3

ò ÷êó

. Äîê ëè,

÷òî

0 присыст ляют о ну и ту

BêîîðB èí ò

êòè, íûìè,

ò(î÷-

кинороÎïð ë íèíûìè) êîîð[4.2]èí. Протми (x1

x3)

î êòèM

сист мы коорплрскостииин т

относит льно

m~||−−→

R = {A1, A2,

(

SM) îò

îñèò ëüíî èñ

мойо,р коор,ом, по,инопрят. ннол ониюсэтой про кти ной

ТBсистким= {~e1

~e2

~e3}

M(x1, x2, x3) m~20= x1~e1 + x2~e2 + x3~e3.

ыТ ор мточки с[4.2]. Просущ стк

иуютны и кооропр

èíëÿ

ютсяля.

с точностью о н нул о о ìíî è-

. Ñóù

è ñóù

î íèÿ

îð èí ò

кторст. Ио опрни

[4.2] ñë

йкотточрльстинк тыоточки

исят слотл нияуы орт

ó Äîê, ÷òî

ñò èò ëÿìè

M, A1, A2, A3, E. Пусть ря упр ст

ëè

m~, ~e1, ~e2, ~e3, ~e ý èõ òî÷ ê èì þòñÿ

òî÷ ê-

~ ,

, ~

Òî

e~1

òñò ííî ýòèõ

e~2

e~3

èì 0 м ря соотнош0 íèé:

m~ = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3,

~e = ~e1 + ~e2 + ~e3,

e = e~1

+ e~2

+ e~3

m~0 = x10 e~10 + x20 e~20 + x30 e~30,

(λ 6= ),0

e~10

= λ~e1

e~2

= λ~e2,

e~3

= λ~e3,

Í é m~ì = ρm~ , (ρ 6= )0.

m~ = ρ(x1~e1 + x2~e2 + x3~e3) = (ρx1)~e1 + (ρx2)~e2 + (ρx3)~e3

ру ой стороны,

m~0

= x10 (λ~e1) + x20 (λ~e2) + x30 (λ~e3) = (x10 λ)~e1 + (x20 λ)~e2 +

(x3λ)~e3

ð ëî íèÿ êòîð

В силу. инст нности

èñó

ρx1 = λx10 , ρx2 = λx20 , ρx3 = λx30 .

m~0

ïî -

B èì ì

Îòêó

x1, x2

=21λx2, x3 =

x3.

	ïðîÒ îð ìêòè (пропорционíû [4.3]. систПустьëüíû)ìû. им ютсякоор ин т
	Сл о т льно, тройки про к и ных коор ин т (x1,
ìíî, èò ëü 0			0	0	точки	M	отлич ются н н нул ой
x2	x3)	(x1	x2	x3		M
		ρ
		λ

	Òî ïðî êòè íû êîîð èí òû0 0							0		0 }.
	R={A1, A2, A3				, E}		R0={A1, A2, A3		, E
	è						(x1, x2, x3)
	0	0	0
	оотношит льно ниями:этихо нойсист тоймкоорточкиинт с я ныот о-
	ñ (x1, x2		, x3)				M
		ρx1 = λ1c11x10 + λ2c12x20 + λ3c13x30						,
		ρx2 = λ1c21x10 + λ2c22x20 + λ3c23x30						,

ρx3 = λ1c31x01 + λ2c32x02 + λ3c33x03

íû êîîð í òû, ñî ò òñò ííî, òî÷ ê		, c33)	я ляютсяпрок и
(c11, c21	, c31) (c12, c22, c32) (c13 c23			òíî
сит льносист мы кîîð èí ò		A10 , A20 , A30
ø íèeì	óð í íèé: R, λ1, λ2, λ3			ð -

λ1c11 + λ2c12 + λ3c13 = b1 λ1c21 + λ2c22 + λ3c23 = b2,

(b1

, b2

, b3)

λ1c31 + λ2c32 + λ3c33 = b3;

î÷êè E

нымчит кот-

про коорк ныин

êîîð èí òû

ò ëüíî ñèñò ìû

0 относи

ñÿ

êòè

ëÿ

остпро

прилоïîî êîîðòíèíèèор22точкиèíìû. òïðì¿ïî

льст. Постро

íèточки.

ìíèñì

ò ÷

èí

Äîê

îðëþ.Ç

¾Постро

Ÿ 5. Ïðî êòè íû êîî èí òû

н про кти ной прямой

Îïð ë è [5.1].

Ïðî êòè íîé ñèñò

коорнойè прямойинòð òõ òî÷í êû ,òñÿ

ìíî,соотношíñò î,íèïðî

стоящмойкти

R = {A1 A2

ïð ñò èò ëè

которых

ÿ , íû

кторы-

ñ A1 A2

тннымèñ ñ ïðî êòè íîéûñèñòñÿ

ÿÁ

èí.

= {~e1, ~e2

}

êîîð

èñîì,

~eìîé= ~e1 + ~e2

íîðîÎïð ë íèíûìè) êîîðR[5..2]èí.

Протмикти ными (о -

(x1, x2)

î÷êè

ëüíî

относит

èí êòîð

Mïðî êòèí ïðîí é ñèñêòè ìûíîéêîîðï ÿìîé

R = {A1, A2,

Eèò} ëÿû þòñÿ êîîð èí òûèñ

-ïð

относит льно

èí ò

~e2}, ÿ-

ííî îm~ ñèñò ìîé

B ~e1

ÇПопрямой÷онютсятсистлîоииноромымточностьюс [4проны.2]) ктиок ынойплонулнытñя,костью.окоорчтоомнонин(смпроитты. ляокточкикти.

опрнойт

ëüñò

кти н я [5.1]. Нкоор ин т	прямой ` н про-
точки:	R = {A1, A2, E}. Построить

A(1, 0), B(0, 1), C(123, 1), D(2, 0), F (2, −1).

прямыР ш ни . Вы р м прои ольно S 6 ` è ïðî ì

è ïðî SAì1÷, SAð 2,íSEпрямы. прямой

SE о ьм м точку P

òñò ííî

q точкиr, ï ð ëë ëüíû ñîîò-

SA1 è SA2 Í é ì

K = SA1 ∩ r, L =

SA2Â∩ q. ì î î í ÷ íè

−−→

−→

èñ

−→

~e2. Òî

~e, SK

~e1, SL

ìîé êîî

ò êñòü èñ, ñ ÿ ííûé ñ ííîé ñèñò -

B =èí{~e1, ~e2}

~e1 k SA1,

~e2 k SA2, ~e k SE

êè

= ~e1

+ ~e2

ê ê

ктору-стп . оимстточи-

ль.ТВп рьктор

ð í~a точки A(1, 0)

Ðèñ. 4

п этому

A A1

~e1,

Äëÿ

îè÷íî,

. Àí -

точкиB=A2, C=E.

è êòîð-ïðD èìñò -ì:

2~e1

ò ëü d

. Ñë î-

íî,

í êîí ö,

D = A1

êòîð- .ïðÈ,

ñò èò ëü

точки F

ð í: f =

2e1 − ~e2

прямойпопр илу п р лл л р мм и

получим. Построим

f =

−→

с ч ния прямойSQ. То точку F í é ì ê ê òî÷êó ï ð -

плоскостиУрíèìÿ ñèòñíÿò ïðîìíс коорктипрямойниня т.плоскостьí ïðîè í êòèí é íîéí

проŸ 6Пусть.кт

Ç ÷ [6.1]. Д ны точки	R = {A1, A2, A3, E}.
Сост ить ур н ни прямой	A(a1, a2, a3) è B(b1, b2, b3).

24 `, прохо ящ й ч р точки

A èÐ ø íèB.

. Пусть

тст нно лю я точк прямой

M(x1, x2, x3)

, ~

`. Р ссмотрим кторы ~a(a1, a2, a3)

, b3) è m~(x1, x2,

b(b1, b2

ê ïð ñò èò ëè ñîîò

точ кторыA, B M

. Ò ê

xê3)

M `, òî ~a

, ~

, è òî

b, m~кооркомплин тномн рны

m~ = α~a + βb, èëè (

è ):

= αa2

+ βb2

= αa1

+ βb1

н ниямиÓð íпрямойíèÿ (

= αa3

+ βb3.

трич скими ур(6.1)-

6.1) í û þòñÿ

ð ì

, ~

`. Ó ëî è

омпл н рности кторо m~,

è :

b ìî ò ûòü ïèñ íî ò ê

Óð

= 0

éí ÷íèðè(6ïðèí.2)

точкиûë . Èноститсяурóð íòðííèÿíèõ.

òî÷(6ì.2)прямойкë êî ,получпрохо(6.2)

ÿù óñëî

òñÿ

B(b1, b2, b3),

Ç ïèø ì

óð í íè					è :	A(a1, a2, a ,
C(c1	, c2	, c3) о ной прямой. Îíî èì ò è

		b1	(6b.22)25b3		= 0.	(6.3)
		a1	a2	a3
		c1	c2	c3

î î í ÷èì

óð í íè :

x3 = 0

x1 −

Всяко0

+ íî ð ì í

Óð í íè

н которой

: u3Îï

óð í íè

Êîîð èí ò ìè

−

a1 a2

Òî u1 получим=

, u2 =

u3 =

0Î÷ è íî,

u1 : u2 : u3 = u1 :

û(6.4),òñÿ (î ùèì) óð í

è ì (6.4)

мойно .

р ны нулю, я ляляются

н нияур н ни м

ïðÿ-

u1x1

u2x2

u3x3 = 0 è

прямой то

только то ур,кон ниями о ной и той

u x1

+ u2x2

+ u3x3

= 0

ë íè [6.1].

прямой

ур н ни мтройк коэффици нто (

í û-

` òñÿ

u1x1

+ u2x2 + u3 x3 = 0

òî÷-

ÎÇ ìî íòèì,÷íчтоули . коороо мноин тыитпрля.мой,

остью

опр )ляются.

í òû

`(u1, u2, u3) ïðÿì ÿ

` èì ò êîîð è

íè,ðточки[6,.1]. .Сост ить ур н ни прямой, прохо я-

ù éÏðèìÐ÷øð(u1

u3)

. ÑîñòA(2èì, 1,óð−3)í íèB(0прямой, 2, 1).

AB è :

То получим			2	1	−3	= 0.
			x1	x2	x3
			0	2	1


Ÿ					Óð í íèя плоскостьï искомоðêòèñ íîéпучкчíóðíèÿí éí íè .-
	7Пусть. прямыхНèìóõõîòñÿ7прямыхx1 2x2 + 4x3 = 0
		ïðîíèêòè.точкиí
		−

рн (яличныксиомсистмпрямыкоор ин прот

плоскости.

пВсякин рпрос кктиются

R = {A1

, A2

, A3, E}

Ç ÷

[7.1]. Ä íû I9

Р шим сл ующую чу.

).прямы

Н йти коор ин ты точки

`(u1, u2, u3) è m(v1, v2,3 ).

Ð ø íè. Î î í ÷èì S èõ ï ð ñ ÷ íèÿ.

Ð ëèì ê î

ур н ни сист мы (7.1)н примн р, x3 6= .0

êîîð èí òû

S(x1, x2 x3). Òî , ò ê ê ê òî÷

ит, состпрямымл нной и, уркоорн нийинтыпрямыхуо л -

принсист

т оряютS

(7.1)

u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0

−

(7.2)

Ò ê ê ê

v1x1

+ v2x2 + v3x3 = 0.

î íî ð

ííî

нулю, ,то пусть,точки

î óò ûòü

íûìè x1

ø ì : è :

−

è ïè-

u1 x3

+ u x3

= u3,

v1 x3 + v x3

= v3.

Р ш я по формул м Кр м р , получим:

(7.3)

Отнош ния

3 x3

ïèøì

−v3

u3 u2

−

u (7.3)

è :

(7.4)

−

пропорцион льí

òðîéê

S =

Поэтому

= x3 , x2

= x3 .

о т точкильно, x1 : x2 : x3 =

1 :

2 :

тшись. . тройк к ор

(Δ1, 2, 3). Ñ

÷èì:

S(Δ1,

3); осполь о

(7.4), ïîëó-

÷ ð ø í ìíî. ñò

(7.5)

, − v

ц нтром

ñ õ

u u3

u1 u2

. точкуПучкомпрямыхпрямыхточкплоскон -

ñòè,íïðîÎïð ë íèыктипрохотсянойящихплоскостич[7р.

Пучок прямых мо т ыть н

ëè

èëè

óìÿ ñ îèìè

. Пусть пучок прямыхц нтром,

ëüí ÿ ïðÿì ÿ

. ÖÏîëîíòð ïó÷êèì, p(p1, p2, p3)

ольной прямойпрямымипучк .

v3)

. Ñîñò èì óð í íèïðîè

мымии `(u1, u2

, u3

m(v1

, v2

ê îð èí òû (7.5), è ò ê ê ê

S p, òî

S = ` ∩ m èì ò

−

p3 = 0,

èëè

p2 + v1

Óð í íè

í û òñÿ

ñò ëÿ ò

S(x1, x2, x3

нно о прямыми(7.6) v1

= 0.

óð í íè

м пучк прямых(7.6),

пучкто Уро.урВнэтомнин ниур(7.7)p1x1 + p2x2 + p3x3

= 0.

прямых

è ïðèíè л ности тр. Îíîõ -

ñî îé óñëî`(u1, u2, u3)

m(v1

, v2, v3)

Если пучок,

прямых , н ц нтромо ному пучку

`(u.1, u2, u3) m(v1, v2, v3) p(p1

, p2

, p3)

имн этониит ури: н ни прои ль ой прямой(7.,

x1, x2, x3 фиксирî íû, a p1, p2,

p3 Тпкимрмонныр ом,.

	êìîê óðíîðторн[7ссм.ни1]. Нпучктрийтинтьпрямыхточкунии кп.крурс чннияни прямыхпрямой, и
Ïðèì
			u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0
			` è
			` è
m, ííûõ		í èÿìè	x1 − x2 + x3 = 0 è x1 + x2 −
x3 = 0 ñîîò òñò ííî.			29

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]