Проективная геометрия. Учебное пособие
.pdf
|
|
A2 a 2 |
|
|
|
относит |
льно линии γ. Òî- |
||||
a 1 |
|
|
|
|
|
f(a )= A (i = 1, |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
A1 p |
q |
|
A3 |
|
|||||||
|
|
Ðèñr . 31 a 3 |
|
|
i |
|
|
iршинникук як. Прляпîчкилютсям |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íèÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кститльной,ск |
|
||
A6 |
L |
|
|
|
øò |
5 |
6) |
|
|||
|
A4 |
|
2ксомнимсточк3íèÿ,4 |
|
|
||||||
a 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A5 |
a 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ð ñ ÷A1A2A3A4A5A6 |
|
|||||
П ск ля. То точки п |
|
íèÿ |
|
|
|
|
ò îð ìó |
||||
Q = A2A3 ∩A5A6 |
, |
R = A3A4 |
P = A1A2 ∩ A4A5, |
||||||||
|
∩A6A1 |
|
|
|
|
|
|||||
рон ш сти ршинник л т н прямойпроти Пополок ляных сто |
|||||||||||
ê мк полярит т о л |
с ойст ом имности, то`. точТк |
||||||||||
`Áðè. Ïî× íøîíстныпринципу. (пр ойстльнынности) случспри т лиор ымыч стны |
|||||||||||||||
|
|
|
|
÷ уютнияð (ппрямыры проти |
|
|
|
|
- |
||||||
|
|
|
|
ополо иняющиныхр |
|||||||||||
|
|
|
òñòñ ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ÿò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотп р |
|
|
|
|
|
|
p q r |
|
|
|
||||
|
прохо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
шпопн)Pðíî, Qточки,R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(ïð ëüíû ) ñëó÷ |
|
|
îð ìû Áðè- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a1 ∩ a2 |
a4 ∩ a5 |
, |
a2 ∩ a3 |
è |
a5 |
∩ a6 |
a3 |
∩ a4 a6 |
∩ a1 |
, |
||||
ýòè |
|
|
|||||||||||||
|
прямы |
|
|
|
о ну точку |
|
|
|
|
||||||
тыр хсторонн |
|
тр хсторонни |
a 5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
полюс прямой |
||||
ншон ля пятисто онник , ч |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
, |
получ ющи ся |
|
|
ò îð ì Ï ñ |
|
|
|
|
a 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
p |
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íèêннойлях мляршинникнойïÿòèñëî ,ршинникê òðê õ í ðøèí, ÷ - |
|
|
|
Ðèñ. 32 |
q |
|
|||||||||
òûð |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 3 |
|
|
|
ò è:ëüí ÿ"øèí " |
↔ |
|
|
|
|
|
|
||||||
"сторонкс ния"§, "ê8, òñ ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
íøîí"òî÷-" |
|
|
|
|
|
|
||||
|
"ïðÿì ÿ Áðè↔ |
|
|
|
↔ "òî÷ê Ï ñê ëÿ". |
||||||||||
|
|
|
|
|
110 |
|
|
||||||||
околотисторонникТ орлинииì [21.9].). |
Åñëè(Ò îðïîðì Áðè, íøîïðÿìëÿÿ, |
ïÿñî |
|||||
иняющ я точку к с ния ктисторонникойстороны |
|||||||
|
é |
ршиной, прохо ит ч р точ |
|||||
êó ï ð ÷ ниятороух |
прямых, |
поплирноо |
соописинян- |
||||
протиющих олñт шищ ся ршины. |
Áðè íøîí |
|
ëÿ |
||||
Ò îð ì [21.10]. (Ò îð ì |
|
||||||
прямыопис |
,îê ëî |
со иняющиторо |
|
òî |
|
||
ны ршины, линии |
ÿìû , |
поряротир к со,ополоиня- |
|||||
ч тыр хсторо ник .) Åñëè ÷ òûð õñò |
|
ííèê |
|||||
п р с к ютсяп рноточк Бри ншон (рис. 32). |
|
|
|||||
þùè точки ê ñ íèÿ |
проти ополо íых сторон, |
||||||
a 1 |
A1 |
|
|
a 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
p |
a 3 |
q |
|
A1 |
a 4 |
a 2 |
|
|||
L |
A2 |
|
|
|
p |
s |
q |
|
|
L |
r |
A4 Ðèñ. 33r. |
111 A3 |
|
|
||
|
|
|
Ðèñ. 34. |
||
A |
a 3 |
|
A2 |
a 2 |
|
|
|
|
|||
околотрТхсторонникор м [21ò.11].). |
|
Åñëè(Òïîðÿîð ì ê ,Áðè íøîíри прямыописëÿí, |
||||||||||
с иняющлинии к |
|
|
ую трршинухсторонночкой к с- |
|||||||||
íèÿ ïðîò |
ополоронойо |
стороны, п р с к ются |
||||||||||
òî÷ê |
Áðè íøîí |
(ðèñ. 33). |
|
|||||||||
"Ïðèì í íè ò îð ìû Áðè íøîí ê ð ø íèþ ÷". |
||||||||||||
Ÿ 22. |
à îì òðèÿ |
н плоскости |
|
|||||||||
|
с фиксиро ной прямой |
|||||||||||
1. Про кти ноффинíî ïð î ð î íè |
||||||||||||
плоскости |
|
[22.1]. |
П о кти ноффинным |
|||||||||
Îï ë íè |
||||||||||||
ð î ð î íè ì |
|
|
|
про кти ной плоскости н ы- |
||||||||
òñÿ |
ïðî ê è íî |
ïð î ð î íè |
ïðî òè íîé |
|||||||||
плоскости, |
которо |
|
|
ото р т н с я н которую |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èöèèîïðîïðñ õêòèîïðîðнойктиплосно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямойн |
|
||
|
|
|
|
|
|
é. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
íí |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
компо |
|
|
|
|||||
|
|
|
ðÌí |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ñòèÒотноситîðнныхфиксироìнную[22прльно.прямую1]. |
` |
|
|
|
|
|||||||
кфиксирофф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ïîÄîêé ò ëüñò î. Âî-ï ð ûõ, ñëè` я ля тсяо нийруп.-
ноффинны пр о р о ния, о о р fþùèg прямуюпрокти
н я, то их компо иция |
` |
112g ◦ f ò ê îòî ð ò |
- |
муюным пр` íëèî ðïð î ð î íè ,остья, лянипотомуототся. рВо- я тлярых,тся слипро кти ноффин
спрффинноо ни |
|
|
|
î ð òíîf |
прон мукти ноо |
||||||||
|
|
|
f |
ò îðí ìûñ.ÿ.ффинноÈ ýòèõ óõ óñëî èé ñë ó ò |
|||||||||
|
ни м,прямуют к к к |
|
|
|
|
ê ê |
|
|
îð ðî- |
||||
|
ïðî êòè нок - ффиннымпр, |
|
|
||||||||||
íè |
f−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
` |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íïî-ïðîñð. я прямуюêòè íîïð- îффинноð î íèî ïð- |
||||||||
î ð î íèÿВы,Пустьот мр формулыïðîплоскостиющктир |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
кости ïðî êòè íûé |
|
|
|
`. Âû ð ì ïëîñ- |
|||||||||
что ы точки |
|
R = |
{A1, A2 |
A3, E} ò ê, |
|||||||||
|
|
|
ëè |
л ли Прн прямойо р о ,ни точки |
A3 è |
||||||||
|
|
ïðèí ëA1 |
A2 |
|
|
|
|
` |
|
|
|
||
|
|
ию япислятьтся проипрямой:кти ным,. |
потому |
|
формулыпоопр- |
||||||||
ëí íî |
|
|
|
` |
|
|
|
|
f |
|
|
||
ìî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ит прямой |
|
A1(1, 0, 0). Å î ð A1 |
ïðèí ë - |
||||||||||
ð òü î |
íñò A1 è A10 |
формулы (22.1). |
|
|
|
è |
|||||||
|
|
|
ρx10 |
= a11x1 + a12x2 |
+ a13x3 |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
A2 |
ρx20 = a21x1 + a22x2 + a23x3 |
, |
|
|
(22.1) |
||||||
|
|
(0 1 0) иформулыор A2 |
(x , x2 |
, 0) í é ì, |
|
a32 = 0 |
|||||||
|
|
ρx30 = a31x1 + a32x2 + a33x3, |
|
|
|
|
|||||||
|
Р ссмотрим точку |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |(aij )| 6= ,0 i, j = 1, 2, 3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
к ор ино тыр точом,` икпоэтому точк A01(x01 x02, 0).Получимстим
î÷ ê |
a31 |
= 0. Àí ëî è÷íî ð ññó ÿ ëÿ |
|||
Ò êèì |
|
|
113 |
|
. |
|
(22.1) приним, ют чтои: |
||||
|
|
0 |
00 |
00 |
|
ρx10 = a11x1 + a 2x2 + a13x3, |
|
||||
ρx20 |
= a21x1 + a22x2 + a23x3, |
(22.2) |
|||
ρx30 |
= |
|
|
a33x3, |
|
|
Îïð ë íè [22.5]. Простым |
îò îø íè ì |
|
|
(AB,îéíîC) отноштр х точни к A, B, C прямой |
a í û òñÿ |
|
|
(AB, CD`), D` |
= a ∩ `, . . |
|
|
[22..6]. Òî÷ê |
|
|
|
(AB,ÎïðC) = (ëAB,íèCD`) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îé îòð ê |
C í û òñÿ ñ ð è |
|
|
òî÷ê ,ì ñëè îí ÿ ëÿ òñÿ ÷ ò ðòîé ðìî- |
|
íè÷ ñêîé |
|
AB |
костиотношÒ îð íèÿì [22.) .4]Аффинно. A,(ÈíB, D`,ðèïðнтностьDî ` ð= aî∩ `,íèпростa =ïëîñAB.î
A
÷ Äîêê. 2тсохрльстня от. простоПусть отнош ни тр х то-
ни плоскости |
|
|
|
f |
ффинно пр о р о |
||||||||
прямой |
A2 è ïðA, îB,ðC о трин точки, л |
|
ùè í |
||||||||||
êè |
a. Аффинно |
|
|
|
f îòî ð ñ ê òòî÷ |
||||||||
|
A, B, C прямой a |
точки A0, B0 C0 |
прямой a0 |
= |
|||||||||
fсолют(a). Пусть н плоскости P2 ïðÿì ÿ |
a ïð ð î íèÿ |
||||||||||||
ð |
|
|
. Тющ мточк |
0 |
= |
|
0 |
` |
ñòü |
- |
|||
÷êè` точкпороD` |
|
|
D` |
|
a ∩ |
|
|
|
|||||
плоскîñòè D` |
про кти ноффин ом |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P2, |
|
|
|
|
íî |
|
|
|
|
|
|
|
f. Ïî ñ îéñò ì |
|
, C |
D`) |
- |
î î |
|
|
|
|
|
|
||
(AB, CD`) = (A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
. Íî òî í |
плоскîñòè A |
2 |
- |
|||||
ны просты отнош ния: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(AB,117C) = (A0B0, C0).
|
|
Îïð ë íè [22.7]. О льн я линия торо о по |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ффиннойP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ря тсяк плоскостин |
2 плоскостификсироï ð ñ ê òнной прямой ` í û- |
|
|
||||||||||||||
|
|
эллипс м, ñëè îí í |
|
A2: солют |
(ðèñ. |
|
|
|||||||||||
|
|
èï); ð îëîé, ñëè îí |
|
|
|
|
|
|
|
|
` |
|
|
|||||
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-ð ï личныхð îëîéòî÷ê, слих он(риск. с35 тся); солют |
` óõ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
) |
) |
|
|
|
|
|
|
)` (ðèñ. 35 ). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
 |
|
|
|
Ðèñ. 35. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
от р споло ния линии тор о по |
||||||||||||||
|
ря к исимоссотипою |
` получ м н ффинной плоскости |
||||||||||||||||
|
A |
пр ст л н. П рОМнимкттороятьльннояяпоряяокллинияльнссификлинийкт яторолиниялицциятороо. 21Аффинно поряМнимыйллипся кклэллипс.ссификКл ссификция - |
||||||||||||||||
|
öèÿ2 21Ïðî |
îðÿ ê |
|
|
|
3 |
|
|
Ãèï |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
прямыхр с к ющихся |
|
|
|
|
|
|
ð îë |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñ ê þùè ñÿ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
118 |
|
6. |
|
|
|
Ï ð ð ëë ëüíûõ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямых |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
п р с к ющихся |
7 |
|
|
ñ ê þùè ñÿ |
||
5. |
мнимых прямых |
8 |
|
|
|
|
|
|
Ï ð ñî ï øèõ |
9. П рмнимыхсоðпрямыхëëøèльных |
|||||||
|
прямых |
|
прямых |
|
îðî î - |
|||
Îïð ë íè [22.8]. Ц нтром линии |
||||||||
ðÿ ê |
|
н ффинной плоск сти A |
2 í û òñÿ |
полюс |
||||
ñîëþ |
|
|
|
|
||||
|
òèì,относитчтопрльноол этнîйимлиниит ц. нтр |
, ò ê ê ê ïî |
||||||
солют, |
|
|
|
|
|
|
||
Ç ì |
|
` |
|
|
|
|
|
|
солютлюс |
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîðÿÎïðкпринë ôô`íèл, я ннойляясьит[22.9]плоскостисолюту.точкойÄè ì. êòðîìс ниялиниип р олыторои о -
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
р лю ой точки, прин л щ й 2 солютуны тся п ля |
|
|
рслнт ИльноцуÎïðэтойсолютомяëлислиниикíèнияс ит .м[22льны(22трыэллипс.10].9).пАсимптотточкрт оролыипхмыппррролыìèсллимностичпрохонльныè,потносир.ипятолы[20ð÷.--3]- |
|
||
|
ûнтр,топрютчто |
` |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îë ñ |
. |
|
Ç ì òèì, что симптоты ип р олы прохо ят ч рц нтр (по т ор м [20.3])119.