Проективная геометрия. Учебное пособие
.pdf
Ò îð ì [21.1]. |
(ò éí ð.) |
Пусть им |
|
|
|
|
0 |
|
стьктинияктилиниясоотнонымприн. тстТоторо, тстующихмломнои ут-, |
||
|
íòðû÷ |
|
|
точпрэтихпучкчксямпучконорöрямыхпрорсп |
Π(L) |
Π(L ) |
|
ряпрямыхнкоторымиютсястяк ляющ,о |
|
||
ýòîéÑëÄîê ñòлинитèльст.1. Еслио ([соот5], стртст.66и 69)0 ì . ó ó÷ê ìè
L, L
со иняющую |
|
|
|
|
Π(L) |
|
0 |
|
|
|
|
íûìых:, то осьлинèяпрямуюторо о по- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ðó ïðÿ |
|
|
|
|
|
êòè |
|
|
|
|
|
ï ðñï |
|
|
|
|
|
ыроя ля тсятся |
|
|
|
|
|
ðÿΠ(êL ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
íòðû.2]..(O ð òí ÿ.) Пусть |
0 , |
|||
Ò îð ì ö[21 |
|
|
|
LL |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния торо о поря пучкк ми |
ñîîòγ |
ëèò |
|
||||||
|
|
точтст и. Т |
, ñëè òî÷ê 0 ëþ û |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
L, |
|
L |
|
|
|
î |
|
прямуюу |
|
|
прямыхM γ, Пто |
|
||||
|
Ï |
|
|
|
|
|
|
êòè (íûìL) |
|
||
|
|
|
0 |
|
è ì прямой |
|
ñò èò |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
- |
|
||||
|
|
|
|
которо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è , òñò |
|
|
LM |
|
|
|
|
|
|
|
ò(L ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ñë ñò èДокоотля тсят пятьюльст2. О. точкльнсм, .мияятлиниялямо щтся[5оторо].полопроо поряния.к полн |
|||||||||
îïðñ |
|
|
|
L M |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
í Îïð ëû òñÿ ìíîè [21ñò .1]î . ñËèíèõ ÷éê ïòîðîð ñ ÷î íèÿïîðÿñîîòê - |
|
|
||||||||||||
|
|
тст нных прямых ух про кти ных пучко . |
|
|
||||||||||||
|
|
2. Ò îð ì Ï ñê ëÿ |
è ÷ ñòíû ñëó÷ è |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Îïð ë íè [21.2]. |
|
|
состоящ и |
|
||||||||||
|
|
øèíñòèìèòî÷, èê øAi,ñòèi =ð1, 2ë, 3чныхМно4 5 ïðÿ6ñò íî, û ìûõ ð- |
|
|
||||||||||||
|
|
A3A4 |
|
A4A5 |
|
A5A6 |
|
A6A1 |
|
A1A2, A2A3 |
|
|
||||
|
|
, |
, |
, |
|
|
ольниñëèû ìèñò--, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í û òñÿîÎïðïèñ.ршиныííûìëøíèïðèíñòè[21линиюл.ршинником3]. т, торолиниистиы мыхоршинник.поря(ø ñòèóксторон,н |
|
|
||||||||||||
|
|
ñÿêîì) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ò îð ì [21.3]. (Ò îð ì |
Ï ñê ëÿ. Åñ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ëè |
|
|
ш сти ршинник |
(ø ñòèó |
ольник) |
|
|
||||||||
|
|
A1A2A3A4A5A6 |
ïèñ í |
|
линию |
òîðî- |
|
|
||||||||
|
|
î |
|
|
ïîðÿ ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
γ, òî |
точки п р с ч ния |
|
|
||||||
|
|
P = A1A2 ∩ A4A5, |
|
Q = A2A3 ∩ A5A6, |
|
|
||||||||||
|
|
R = A3A4 ∩ A6A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
сторонìîéÄîê Ï òñêпринльстëÿ. ло. Вт102оо ноймпротин прямойплоскостиополо проïðÿныхкти- |
|
- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñèñò ìó |
|
|
|
, ïðè |
||||||
|
|
Ðèñ. 26 |
|
|
|
|
|
|
яиничнуюточки |
|
|
|
,êîîð, èí ò |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íис ы точкиA1 |
|
Aточку2 A3 |
ó ì- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì òü: |
|
|
|
|
точку. То A4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1(1, 0, 0), A2(0, , 0), |
|||||||||
a22 = 0, a33 = 0. Óð í íè (21.1) ïðèì ò è : |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è пусть, |
|
, |
A4(1, 1, 1) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
(0 0, 1) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A5(a, b, c), A6(a0, b0, c0 . |
|||||||||
è : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З пиш м ур н ни линии γ |
||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
óñëî èÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
aÈ11x1 |
+ a22x2 + a33x3 + 2a12x x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 = 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A1 γ í é ì a11 = 0. Ан ло ично получим: |
||||||||||||||||||||
è ò ê ê ê |
|
|
a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 = 0, |
(21.2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
A4 γ, A5 γ, A6 γ, òî |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a12ab + a13ac + a23bc = 0, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a12 + a13 |
+ a |
3 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ò êèì î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a12a b + a13a c + a23b c = 0. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
ðì.2),õ óð òорн нийяпр, имтрст, мят лянн хонулисоятсястойо- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
р ом, коэффици н ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рными |
|
|
|
|
|
|
|
|
ñèñò(21 |
|
|
|
|
a12 |
a13 |
a23 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
íèé |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
к нэтму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ную, ктоурксист |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ìû |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
систни.Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
íîðî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îè ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
ð íñò î |
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
(21.3) |
||||||||||||
Вычисли опр лит= ëü,ab0 0 получимac0 bc0 |
0 |
= 0. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
a c b c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aa0(bc0 |
|
|
cb0 ) |
|
bb0 (ac0 |
|
ca0) + cc0(ab0 |
− ba0) = 0, |
(21.4) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которо с я ы ткоор ин тыточ к A , A
Ò ï ðü é ì 5 6.
чтоимониóð ëí íèÿт нс ох сторонной прямойш сти. ДляршинникэтоP , Rî,ñíQ ич покл состм,-
A1A2A3A4A5A6.
A1A2 |
x3 |
= 0 |
A2A3 |
x1 |
= 0, |
x1 x2 x3
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 : |
|
= 0 |
, èëè |
1 2 |
, |
|||||
A A |
|
01 |
02 |
13 |
|
x − x = 0 |
|
||||
èëè4 |
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
5 : |
|
1 |
1 |
1 |
|
= 0 |
, |
|
|
||
A A |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x1 |
−x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(c |
|
|
|
b)x1 |
|
|
(c − a)x2 + (b − a)x3 = 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
í õ |
|
= |
|
|
A1A2 |
|
A4A5 |
|
|
|
|
|
∩ |
|
|
|||||||||
óð í íèé |
|
a0 |
êîîð èí òû |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
èëèA5A6 : |
|
|
|
|
b0 |
|
c0 |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
0 3 |
|
, |
|
(bc |
|
|
|
|
cb )x |
|
|
(ac |
|
|
ca )x + (ab |
|
ba )x = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ÒAï6A1 : |
|
a b c |
|
|
= 0 |
|
|
|
cx2 |
− b x3 = 0. |
|
||||||||||||||
ðü |
|
|
|
|
î 0íèì0 |
|
|
0 |
|
|
|
, |
точкиили |
|
0 |
|
|
A4A5 |
|||||||
я ляются |
|
прямыхи р ш ний систP = A1A2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
Q = |
A A ∩ëî è÷íî |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìû, ñîñò ë ííîé. Îíèè |
||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñë î ò ëüíî,(c − b)x1 − (c − a)x2 + (b − a)x3 = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Àí |
|
|
|
|
|
|
|
Pëÿ(c −ía,õîc − b,íèÿ0). коор ин т точки |
|||||||||||||||||
2 3 A5A6 ñ ñò èì ñèñò ìó óð í íèé |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(bc0 |
− cb0 )x1 − (ac0 − ca )x2 + (ab0 − ba0)x3 = 0 |
||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
И,ннйконм оц,нон ий мркоорш нинй. Тоты точкиQ(0, ab0 −ba0, ac0 −ca0).
R = A3A4 ∩ A6A1
Ò ê, ï ëî èì |
|
|
|
|
|
x01 − x2 |
0= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
c x2 − b x3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ïðî рим, что точки |
|
|
0 |
. Òî |
|
|
|
|
0 |
) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
= b x3 = c |
|
|
|
|
|
R(b , b , c |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислимч к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pñîñò,Q, Rлл тнный ни окоорной инпрямойт то-. |
|||||||||||||||||||||||
è ñèñò ìû óð í íèé. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P |
|
Q |
|
îïð ëèò ëü, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
c − a |
c0 |
− b 0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
00 |
ab −0 |
ba ac −0 |
ca |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|||||
= (0c−a)(0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ab |
0−ba0 |
|
c |
|
+(c0−b)(0ac |
|
−0 ca )0b −(c−0 a)(ac0 |
|
−0ca )b0 |
= |
||||||||||||||||||||||||
(ab −ba )(cc −ac )+(ac −ca )(cb −bb )−(ac −ca )(cb −ab ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
)cc0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
(ab0 |
− ba0 |
|
− ac0 |
|
(0ab −0 ba0 ) + (0ac0 |
|
− ca0 |
)(0ab − 0bb ) =0 |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
(ab0 |
−ba )0 cc |
|
0−ac ab0 |
|
|
+ac0ba +0 ac ab0 |
−ca0 ab −0 (ac −ca )bb |
= |
||||||||||||||||||||||||||
ур Пн лучния нно(21.4)ûðè,ë òñë íèî ïðò ëüíî,ñò ëÿ ò ñî îé ë óþ ÷ ñòü |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ab |
− ba )cc − (ac − ca )bb |
+ (bc − cb )aa . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ч точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= 0 Â ò êîì ñëó- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P , Q, R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
П Тскорлям.) Åñëè[21.4]. (íÎ îðøíîéòíñòèпрямойÿ ршинникò. îð ì |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ти ополо ных |
|
точкисторон |
|
|
ï ð ñ ÷ íèÿ |
|
ïðî |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
A1A2A3A4A5A6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
P = A1A2 ∩ A4A5, |
|
|
|
|||||||||||
|
принной прямой,л ттолинииршиныторо105 шостипорял ршикт.ííèêî |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q = A2A3 |
∩ A5A6 |
|
|
R = A3A4 |
∩ A6A1 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Äîê ò ëüñò î. òî ó ð íè ñë ó ò è òî î,
лчто,ч ностиксли опрðøèíëèò ëü |
0 = 0 (усло и прин л ности |
ïîðÿ êP , Q, R о нойшпрямой),стиу ольникто о=íîé0 (услолиниии принторо о- |
|
кисоотльнику)Ï .(пятиуñêÒ× ортстстнылямуи)ольнику),.нноÏòð(ïðñêîõ íóëÿршинн,кмоëüíûч тырнотриприм)õ(òðñëó÷ршинникуршиныун ольнику),èòüò ïÿòèîð(÷ìûойныпринимтыршиннихуточоя--- |
||||||||||||
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷òî |
|
|
è |
|
øèí |
|
|
|
|
к , Прпис полонно оим,линию |
|
|
ïîðÿ ê , ï ð ì ù ÿñü ïî |
|||||||||
линии, стр мится |
ðóî îéí ðøèí , |
|
î |
- |
||||||||
èì |
|
|
с т льную |
линии торош стио п ршинния к о |
||||||||
íû ïðèí ë ò î íîé |
сторон . То причэ |
сторм |
|
èì ò |
||||||||
ной к линиикоторо о поря кршинэтой |
. |
|
|
|
||||||||
шинник, ó |
|
|
î í |
|
|
îéí ÿ |
сторон , со |
|||||
с иняющпр я лом с |
п ши ршины,пр ря тилсял тся к с т ль- |
|||||||||||
òîðîé òî÷ê , |
ï |
ø ñòè |
ршинник |
|
|
|
ïÿòè ð |
|||||
|
|
льный п р о ршинтри р мы по |
||||||||||
ны Примлиниюняя торо о поря к . |
|
|
|
|
|
|
||||||
лучим соот тст |
ííî |
ч тыр х шинник (ч тыр х |
||||||||||
ó îëüí ê) |
тр х ршинник (тð у ольник), |
ïèñ í- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
тиТ орршинниклиниюì [21.5].).òîðî(ÒÅñëèîðî ìïîðÿÏ ñêê ,ëÿ ëÿ ïèÿ |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
ï ð ñ ÷ íèÿ |
ê ñ ò ëü |
пяти линииршинникк кой |
|
|
|||||
|
òî |
|
|
проти ополо ной стороной л |
|
|
|||||
|
|
ит ршинпрямой, |
со иняющ й |
точки п точкр с |
|
|
|||||
|
|
ч ия ух ост шихся п р н см ных сто- |
|
|
|||||||
|
ðîí. |
|
|
|
|
ì ñÿ ïÿòè |
|
|
|||
|
Док т льст о. Пусть |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
òорошо стипоря ршинникк . |
|||
|
Поло им, писПримнныйнимðëèíссмотримþ |
γ |
|||||||||
A1A2A3A4A5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A5 = A6 |
|
|
|
|
|||
A1A2A3A4A5A6. |
|
|
ê |
н му т орРисму. 27 П ск ля. |
|||||||
Òî |
точки: |
|
|
A1A2 ∩ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P |
= |
|
|
|
|
||
A4A5, |
Q = A2A3 ∩ A5A6 = |
|
|
|
|
||||||
èíèè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A2A3 ∩ p ;î(píîéê ñ ò ëüí ÿ ê |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ртникòûðîпротичкийÒпрямойîðïèñõ ìополоршинникрнтос[21ли÷.прямой6]киíè.íûõ(ï.þÒ.)ðпротиîðЕслитороПñðøèíì÷ñêíèÿîÏî÷ëÿïîõòûðñê.лоряк ëÿñêíûõòò, льныхëÿршинтонстоо÷ - |
|||||||||
|
|
|
γ òî÷ê |
A5), R = |
|
|
|
|
|||
A3A4 ∩ A6A1 |
= A3A4 |
∩ A5A1 |
|
|
|
|
|||||
ë ò í |
прямой |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
` |
|
|
|
|
|
Äîê ò ëüñò |
|
. Пусть им тся ч тыр х ршин |
|
- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
íèê A1A2A3A4, пис нный 107линию торо о поря к γ.
|
Ïîëî èì: |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a) |
|
|
|
øA3ñòè= A6ршинник |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
нимр ссмотримA1 = A5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ê í ìó òò ïîð ìó Ï ê ëÿ. ÒîA1A5получим,A2A3A6A4что. Примточки |
||||||||||||||||||||||||
P = a1 |
|
∩ a3 |
, |
|
( |
a1 |
|
), |
ê ñ ò ëüí ÿ òî÷ê |
A1 |
a3 |
|
|
|
|
||||||||||
ò ëüí ÿ |
òî÷ê |
|
|
|
Q = A1A2 ∩ A3A4 |
|
|
|
ê ñ - |
||||||||||||||||
ë ò í î íîé A3 |
|
R = A2A3 ∩ A4A1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿìîé |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ïîëî) èì |
|
|
|
ü: |
|
|
|
`. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
íèð A2 = A5 |
|
A4 = A6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ссмотрим, |
ш с и ршинник |
A1A2A5A3A4A6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëÿ, |
|
|
|
|
|
|||||
òî÷ê í ìó ò îð ìó Ï ñê |
|
|
получим, что точк. Прим |
- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ñ ò ëüí ÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a2 ∩ a4 |
|
|
|
ê èò |
|
|
|
|
|
|
|
òî÷ê A2 |
a4 ê ñ ò ëüí ÿ |
||||||||||||
|
(a2 ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Ðèñ) . 28. |
|
|
|
òîé |
|
прямой `. Ðèñ. 29 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
A4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Ò îð ì [21.7]. |
(Ò îð ì Ï ñê ëÿ ëÿ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
òð õ ðø |
|
íèê .) |
|
Åñëè |
|
|
|
ííèê |
|
|
|
|||||||||||||
|
ïèñ |
|
|
линию |
|
|
òîðî |
|
|
|
|
òî òðè òî÷ |
|
|
|
||||||||||
|
êè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê îé ñòî îíû ñ ê ñ ò ëü- |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ï ð ñ ÷ íèÿ |
|
|
|
|
|
поряршинòðê õ, ëðø ò í |
|
|
|
|||||||||||||
|
о ной прямойоти ол |
прямощ й П ск ля. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Äîê ò ëüñò î í ëî è÷íî . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
"Ïðèì í íè ò îð ìû Ï ñê ëÿ ê ð ø íèþ ÷". |
: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к линии торо о поря к |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построитьч |
|
|
|
|
|
|
γ |
|||||||||
|
Ç ÷. Ä íû ïÿòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A1, A2, A3, A4, A5. |
|
|
|
|
|
|
|
108 к кую-ли о ш стую точку |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линии γ (рис. 30). Р ш ни1) .Постро ни . Строим:
Ðèñ. 30 |
2 |
P = A1A2 ïðîè∩ A4A5ольно, |
|
|
3 |
` ÷ ð P |
|
|
4 |
A2A3 ∩ ` = Q A3A4 ∩ ` = R, |
|
|
|
A6 |
= QA5 ∩ RA1 |
|
римДок т льст о. искомРссмотя. |
||
|
|
A1A2A3A4A5A6 |
|
|
|
ию точки р с ч. Понияпостро- |
|
òñÿОпрОпр3ôè. Òóðîðëë, ìíèíèîéñòÁðè[21[21.4].íí5]íøîí.. ÿ øстисторонникомстисторонниксти ршиннику÷ ñòíûí. ñëó÷ûí û.òñÿè- |
|||
|
|
|
линии,P Q |
|
сторонля точкл т принпрямойл .итТо по |
||
R протитной тополор м ныхПск |
|
` |
|
îïð ля мой нными пятью |
A6 |
||
|
|
|
точк ми, . . линии |
γ
îïèñ ííûì около линии торо о поря к , сли о сто- |
|||||
роны я ляются к с т льными этой линии. |
|
||||
Ò îð ì [21.8]. (Ò îð ì Áð íøîí .) Åñëè |
|||||
ðÿ ê , |
òî три прямы , |
иняющи |
|
îòè îïî |
|
ø ñòèñ |
ронник опис н |
êîëî ë |
|
|
|
|
ршины ш стисторонник , п торос коют- |
||||
ëîñÿ íûî íîé |
òî÷ê òî÷ê Áðè íøîí . |
|
|
||
Док т льст о. Пусть |
a1a2a3a4a5a6 |
îïèñ í îêî- |
|||
ло линии торо о поря к |
|||||
109γ. Р ссмотрим полярит т f