Проективная геометрия. Учебное пособие
.pdf
193. Н про кти нойспрямойо мо нымч тырпр точкистно Aê Bì, ÷Cñëè:ê,Dсоот. Вычислитьтст ующин ч ния ойно о отноших ния этих то-
A(2, −3) B(3, −1), C(4, 1), D(5, 3);
A(1, −1) B(2, 1), C(0, 1), D(1, 5);
) A(5, 7) B(3, 4), C(2, 3), D(0, 1);
A(4, −3) B(1, 5) C(−5, 9), D(13, −4); ;
194.AÍ(3, 1)ïðîBêòè(4, −íîé7), прямойC(2, 9), D(7,íû−6)три. точки;
A, B,
C. Н йти н этой прямой точку D(x1, x2), ñëè: .
A(−3, 1) B(2, 11), C(1, 9) (AB, CD) = −2;
A(−4, 0), B(0, 8) C(1, 10), (AB, CD) = 3;
) A(1, 2), B(−3, 1), C(5, 3), (AB, CD) = 23 A(0, 5), B(1, 7), C(−2, 1), (AB, CD) = 5
2 1 A(4, 1), B(−5, 4), C(−2, 3), (AB, CD) =
195. Н кли о ой прямойсо мо нымч тыр точки2 ï ð ñò íîAê Bì,
÷Cñëè:ê,Dсоот.Вычислитьтст ующин ч ния ойно о отноших ния этих то-
A(−1), B(2), C(−3), D(4); ) A(5) B(−3), C(4), D(7);
A(2), B(0) C(5), D(6);
196.AÄ(4), B÷(−2)ûð, Cточки(9), Dпрямой(8).
щисэтих í÷7òûðð íõûточхкоторы:сстояниях.мо то имн тьA,ðóBîéíî,îéC., ВычислитьDотнош,сл уюни-
A÷ (3)íèÿ,, B(8), C(7), D(13);
198. Äîê òü, ÷òî(AB,ñëèCDточки) = (AB, C).
∞
160 A, B, C, D коллин р-
íû,î íî199òîî .(ïó÷êAB,Í CDêëè) + î(AC,îé DBплоскости) + (AD, BCíû)÷=òûð0. прямы
a, b, c, d. Äîê òü:
|
|
sin (a, c) |
|
sin (a, d) |
11. |
тыр хсч.скиГтыртороннмониччх икот ршиннркиски точикок |
|||
|
исГ чпрямыхойстрмонич(ab, cd) = |
sin (b, c) |
: |
sin (b, d) . |
Польнич200скуюуясь.Нточкунойклилино оййкой,прямойпостроитьны тричтточкиртуюA, Bðìî,C-.
201. Ä íû òðèD.прямы
муюо ной лин йкой, построить чa,ò b,ðòóþc пучк монич(L). Польскуюуясьпря-
рмонич202d. . В скуюкли о ой плоскости ны три р лл льны
ïðÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðòóþ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ ò ïó÷ê |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямы |
|
|
|
|
ûõ Äa íûb ñîc. стпрямуюРссмннымтриц нтром,яa b, пострc ê ê èòü |
|
|
|
||||||||||
203. |
три точки d, ïîëü óÿñü î íîé ëèí éêîé. |
|
||||||||||||
прямой |
|
|
A B C ë ùè í êëè î |
|
||||||||||
|
ть, чтоточк |
D |
÷ ò ðò |
|
рмонич ск |
íèì. |
||||||||
Äîê |
|
` |
|
|
|
|
|
|
|
точкой прямîé |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íû |
||||
|
|
D òîÿ ëÿ ,òñÿ |
|
|
|
|
ííîé |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ñò |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ïðî |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ñî |
|
|
ð èíèññîòðктрисыê |
. |
||||||||
|
|
тр у ольник ко î |
C |
|
||||||||||
` то204. Втолько |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
||||
êè |
|
|
|
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
BD |
|
BE íóòð íí î |
í øí |
|
ó ëî ïðè |
ðøèí B. Òî÷ |
||||||||||
ìîéD |
|
E сть точки п р с ч ния этих исс ктрис |
ïðÿ- |
|||||||||||
AC. Äîê òü, ÷òî (AC,161DE) = −1.
205. В ли о ой прямоскостия, ны три прямы a, b, c îмонично опропучñêîéоликпряоннийìло й,слир. Копрямк нныхяпрямя я у т ч т ртой
ðтик льных у ло , |
cпрямымилит попол м п ру |
|
|
|
- |
олчр207206ниясм.ч. ДокДокния ть,ть, чточто окослиточкыхлиттрñторооîñíîу ольникияющтрíèÿп ятрцииточкупсцииточкой. п пор |
||
ïñ |
a b |
|
|
|
|
|
|
|
ABC ïðÿì ÿ |
||
`точк, п р лл льн я сторон BC, п р с к т сторону AB |
||||||||
B и сторону AC |
C |
|
|
|
|
|||
ющ я точку0 |
|
|
|
0, òî ïðÿì ÿ, ñî èíÿ- |
||||
сторону |
A |
ê é D = B0C ∩ C0B лит попол м |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ëòè éпрямой,ичуюрколночскточр яо- - |
|
|
|
|
|
|
|
ëü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оторуютырполно209208.иняющОнхстор.. ДДокпрохосоксостоитч.йнникэтутырть,ть,яющихят хсторонничточтоипрохоршинуччрухрритсторон,иêк онпрохомоничуюльнуюуюí ëèскт. ршинуйноняîíточкой,лирмоч |
|
|||||||
кумыхч |
BC |
|
|
|
|
|
|
|
ч т рк прямых. Он состо т ух |
точку |
óõ |
||||||
ÿìûõ, |
|
|
ýòó |
|
ï ðîé |
|||
ïðоти ополо ных ршин. |
|
óì ñòî |
îí ì. |
|||||
Док210.ть,Н чтокличт ортойойплоскостирмонич скойн трку ольник ABC |
||||||||
CAстороныCB тр у ольник |
прямой CMп р, лл льнM яс р ин |
|||||||
|
AB, ÿ |
ÿ òñÿ ïðÿì ÿ CX, |
|
прямой |
||||
AB211. . Н кли о ой плоскости про п р нылл ло р мм |
||||||||
ABCDè |
и ч р точку O = AC ∩ BD |
|
прямы ` |
|||||
m, `||AB, |
m||BC. До ть, что прямы AC, BD, `, |
|||||||
m о р уют рмонич с ую162ч т рку прямых. |
|
|||||||
212 |
|
|
|
п р лл льны прямы |
í î íîé è |
||||
них отр. ДокныAB. Ïîëü óÿñü ëèí éêîé, ð ëèòü îòð îê |
|||||||||
AB213попол м.отр ок |
|
|
|
||||||
р нную точку |
AB îòì ÷ ííîé ñ ð èíîé C. × - |
||||||||
ìîé |
|
|
|
|
P ïðî ñти пр мую, п р лл льную пря- |
||||
214AB..Ч р точку п р с ч ния прямых |
|
||||||||
ïðÿì ÿ |
|
|
|
|
|
|
прямымиa b ïðî í |
||
|
|
|
|
|
|
|
яммк опрямойнный .Поль уясь |
||
|
|
|
|
|
|
ó îë,ëî ð ð |
b |
|
|
|
|
|
|
н икулярн |
|
|
|||
|
|
|
рпоить |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ëèí éêîé,c ïó |
|
|
|
|
|
|
|||
215. Ä í |
|
ð ë |
|
|
a è b. |
||||
ñòè |
|
|
|
|
|
|
|
|
íîé- |
|
6прямыч р, пëèòüточкурллольныпррммс чABCDониясторон.о ми. он л йо про |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
м. нуясьнойонойи |
|
|
|
|
|
|
|
п р оллсторльны прямыополлин.Польйкой, |
|||
|
|
|
íû |
|
|
|
|
||
|
Äîêð |
|
|
ABCD |
|
|
|||
нихл н217отрйкой,. |
|
|
|
|
|
|
|
||
îòð êè, |
|
AB. Ïîëü óÿñü î íîé |
|
ïîстроить |
|||||
218. Ä |
íî: |
|
3AB, 4AB, 5AB. |
|
|
||||
лин йкой, р a||литьb, отр ок AB a. Поль уясь о ной прямымчточкч рст220219й,эту...н.ДДточкулнныотрщпроокярнстиличнынихпрямую,.ПольABп руясьнлл3,льныольнуюной4, прямылин5 р ннымйкой,ныхи
ìîé |
|
|
AB, о с р инлинC йкиточк M пря |
|
êó |
AB. П строить с помощью о ной |
ò êóþ òî÷- |
||
|
прямой. Д н тр у, олчтоник, о ср . няя линия и прям я |
|||
X221 |
AB |
MX = AB |
|
|
|
|
|
ü о ной лин йкой, прямую, прохо ÿ-. |
|
щуюПостроить,чр польннуюуясточку |
` |
|||
P163п р лл льную прямой `.
12. |
Про кти н я кл ссифик ция |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
линий торо о |
|
|
|
|
|
|
|
í ïðî êòè íûé ð |
||||||||||||||||||||
|
222. Í |
|
|
|
|
|
ной плоскости |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
ñë223èí òíû.=ующихтороОпрпроточки, линийпорялить,кти.к торк,прохок. муНпоряо порятипуйтиящйприн л итккчщий:р ис чуртырк ян нияко |
|||||||||||||||||||||||||||||
иорлинп р R |
|
{A1 |
A2 |
A3 |
|
E} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
224x. |
1 |
+ 6x2 |
+ 7x3 − 4x1x2; |
+ 6x1x3 |
|
+ 4x2x3 |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x12 |
+ x22 |
+ 5x32 |
+ 4x1x2 |
− |
12x1x3 |
|
− |
6x2x3 |
= 0; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x x2 |
− |
x3 |
+ 3 |
− |
x1x3 |
+ 2 |
x2x3 |
= 0 |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
22 |
1 |
+ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x + 4x2 |
+ x3 |
− |
4x1x2 + 2x1x3 |
− |
4x2x3 = 0; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
) 5x1 |
+ x2 |
+ x3 |
+ 2x1x2 − 4x1x3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x1x2 + x2x3 + x3x1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н йти точки п р с ч ния линии торо о поря. к |
|||||||||||||||||||||||||||
2x12 + x22 − x32 + 3x1x2 − x1x3 − 2x2x3 = 0 с прямыми: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x1 − 2x2 + x3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 + |
|||||||||||
|
2 |
(3 −2 2) |
|
|
линии, |
|
|
= −2λ + µ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
= 5λ − µ, x2 = −3µ, x3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
) 2x1 + x2 − x3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
н ни к с т льной. |
линлинии |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
x1 Í= λйтиур+ µ, x2 |
= λ − µ, x3 |
= 2µ |
|
|
|
|
|
2x12 − x22 − |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1A2A3? Ïîê164 ть, что прям я, котор я |
|||||||||||||||||||||
x3 + 36x1x2 − x1x3 + x2x3 |
= 0 |
|
|
òî÷ê A(1,ê2, −1). |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1x2 + |
||
точки227. |
|
|
|
|
|
|
òî÷ê Aÿ(1 1 −ò1)льных,. про нных |
è |
||||||||||||||||||||||
x1x3 |
+ x2x3 = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ííîé óð í íè ì x2 |
|
|||||||||||||
|
228. Линия торо о |
−ðÿx2x3 |
=èì0. ò |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 − 5x3 |
+ 2x1x2 |
+ 2x1x3 |
|
|
|
|
x1x2 + |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
íûé |
у ольник. К к |
ð ñïîëî |
|
относит ль |
î í èñ- |
|||||||||||||||||||||||||
x2x3 |
òð+ x1x3 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со иня т точку |
A1 ñ ò |
чкойпрохо ритс ч ния к с т льных к |
|
|||||||||||||||||||||||||||
линии |
|
|
òî÷ê õ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
êó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëî è÷íî |
спрч ли оиничную точ- |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 í A3, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
òî÷Eê(1, 1, 1) è ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò ê è ëÿ |
|
|||||||||||||||
13 |
A2 |
è |
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
229. .поряПолюсыД н .линияк и полярыторо о порялиниик торо о |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
230 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x12 + x22 − 2x32 − |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ùèõ òî÷ ê: |
|
|
|
; ) н пис ть ур н ни поляры сл ую- |
|
|||||||||||||||||||||||||
6x1x + 4x2x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 (1, 0, 0), A2(0, 1, 0), A3(0, 0, 1), E(1, 1, 1), |
|
|||||||||||||||||||||
M(2, −1, 5); ) н йти коор н ты полюс прямой 7x1 + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Нк йтик относитполяруомиточкильноинияующихотноситннойторолиниислучльноо поря. линии:к торо- |
|
||||||||||||||||||||||||
4îx2поряточк− 10. x3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( 4, 2, 1 |
|
6x12 |
− |
4x22 |
− |
x32 |
− |
5x1x2 + 3x1x3 + 2x2x3 = 0; |
|||||||||||||||||||||
|
− |
|
, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
x2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(6 |
, |
4 |
|
−1 |
) |
2 |
x1 |
|
x2 |
− 6 |
x1x3 |
− 2 |
= 0 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
+ 32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
) (2, 1, 1 |
|
|
4x1 |
− |
x2 |
+ 3x1x2 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) йтик полюсом ипрямойлиниясл ующихотноситторослучольнопорялинии:к торо.- |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîðÿ231ïðÿì. Íêÿ |
|
|
3x1 + 5x2 + 10x3 − 4x1x3 − 6x2x3 = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
î (1, 0, 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
232 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1x2 |
+ 2 |
x1x3 |
− 6 |
x2x3 |
= 0 |
; |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x − x + 6x = 0 x1 2+ x2 |
2− 2x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x1 − 3x3 = 0 |
|
|
|
|
2x1 + x2 − 3x3 − 4x1x2 − 2x1x3+ |
|
|||||||||||||||||||||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+6x2x3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
4x12 + 15x22 + 2x1x2 − 6x1x3+ |
|
|
||||||||||||||||||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+10x2x3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x1 + 3x2 + x3 = 0 3x12 + 5x22 + x32 + 7x1x2 + 4x1x3+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостист165нны . стîстчки ляютлиниио ычнуюторо о |
|
||||||||||||||
поря к. Докнр сширть,чтоннойсо+5x2x3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линию |
ïîðÿ ê í |
|
|
|
ïë ñê |
|
. |
|
||||||||
про233.нтороЧ хорр о ющинутр сяннююпостркличку оÄîêP îé ííòü,й окру ности |
||||||||||||||||
|
|
AB |
|
|
òî÷ê íû ê ñ ò ë íû |
|
÷ê õ |
|||||||||
AотиошB, ïíèÄîêð ñ ê òü, окру ностьюC. |
|
|
|
÷òî éíî |
||||||||||||
ч ия прямой(CP, KM) = −1, èMì òðK |
|
точки п р с |
||||||||||||||
íых,ос ьюпро. ííûõ`сони имточкииняющт я точкиточ кк с |
Äîêияннойк òü,ñ ò óëü |
|||||||||||||||
234. |
CP что сли точки. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ит льно нной окру ностискости |
|
P íèP 0 èí ðñíû îòíî- |
||||||||||||||
ñ òî÷ê ìè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB коллин р н |
|||||
òî÷ê235õ . Í P êëèPточки, о ой ойнол отнош н окру(AB,ностьP P ) = −î÷1-. |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
í . È |
|
|
P |
ï |
|
íû |
ñ ò ëüíû |
P A1 |
P A2 |
|||||||
Pру ности с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
êóù ÿ |
|
|
|
я окру ность |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
`, ï ð ñòî÷êþù |
|
|
|
|
|
||||
M |
N |
õîð ó A1îA2ùèõ |
|
|
Q. |
|
|
|
÷òî |
|||||||
(P Q,236MNÏðÿì) = −1ÿ,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ííûõîñòè, ï ð ñ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îêðó |
|
|
|
|
|
|
к т прямую |
|
|
|
|
|
|
A ` ïðî |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
ющ я точки к` с точкниякBс. тДокльных,ть,точку прям я, исо точкииня |
||||||||||||||||
|
кли про ойхоплоскостиит ч р |
н окруA. ность |
ïðî- |
|||||||||||||
B 237нокру.хорНности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
поляр точки AB, òî÷ê P |
ñ ð èí |
Äîê òü, |
||||||||||||||
238. Òî÷ê P ï ð ëë ëü |
прямой AB. |
|
|
|
|
|||||||||||
цс нтром |
A |
|
|
нутр нняя носит льноокру ности |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
концр чтоточкухточкик ïðÿìойрорхорйс чыныниял с тон |
||||||||||
|
|
|
|
|
×òü, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
икулярной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
îêñòè. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ðï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íûпрямой,хокрухорыпности,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
îé |
O (A 6=O) |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||
ìîëü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
239. Òî÷ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AO. |
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñ î ìî |
|
|
|||
|
|
|
íшняя относит льн |
|
|
|
|
|
||||||||
кущиточкиO. Ч р точкуотличныA про прямойны |
|
|
û ñ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
÷òî |
п р с ч ния к с 166тльных к окруAOности.Док точть, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê õ ï ð ñ ÷ íèÿ |
ñ êóù é ë ò í î íîé |
|
|
нныикулярнойностип ростицлл.х .к.льныДокэтимойхорихорть,ычтоми |
|
рпойпрямой |
|
|
îêðó |
|
|
пльных |
AO |
|
точкилпрямой,ихпрохо241240концтн.. ВПрямпящоокрурпноййчнкчнияяпрямой,икулярнойсрноститк цльныскнтрпрот |
|
|
сДокт льных,ть,чтопропрямы` ннныхим, сот олюиняющищихой òî÷точкик с окрук с нияостьюк. ности,242прохо.Дн ято чльнр яо линияну ту тороточкуо поряM. к` иокруточк -
M. Построить поляру точки M, ñëè:
M øíÿÿ òî÷ê ;
) M ð ííÿÿ òî÷ê ;
3 MПострл иèòüнполюслинии. нн й прямой
нной245 оИ льнойн шнлиниийточкиторо о поря к . ` относит льно
ря кокруи. точкВностклè, опольой плоскостиуясьP проной стилиннклинияйкойст .льнытороко пон-
точк P нутрин ы.Построитьтся хор у, лящуюся кшины246прохо.я.ДPТрнопополÿùóñò ÿрольнм.икястьл нияполярторопр титополярнымпоряополо, нойршин,сли
óP ольник ч р н сторон q тополярно о тр -
P QR. Построить167этот тр у ольник.
14. |
Конструкти ны т ор мы т ории |
|
|||||||||
|
|
линий торо о поря к |
|
î - |
|||||||
В ч х 247 268 ыполнить постро ния, |
|
||||||||||
íîé ëèí éêîé. |
|
|
|
|
|
поль уясьпятью |
|||||
|
247. О льн я линия торо о |
|
|
||||||||
с оими точк ми. Построить к кую-ли ш стую точку |
|||||||||||
линии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
248. О льн я линия торо о поря к н пятью |
||||||||||
с оими точк ми. Построить к с т льную |
î íîé è í- |
||||||||||
íûõ òî÷ ê. |
|
|
|
îðî î |
|
ðÿ ê |
н пятью |
||||
|
249. Î ëüí ÿ ëè èÿ |
|
|||||||||
ñ îèìè òî÷ê ìè è í прям я, прохо |
÷ ð î íó |
||||||||||
è |
ííûõ òî÷ ê. |
Построить точку |
п рящс чяния нной |
||||||||
прямой |
ëèíè é. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
250. Д ны ч тыр точки линии торо о поря к и к - |
||||||||||
ñ ò ëüí ÿ |
|
î |
è íèõ. |
|
|
щ н сколько оч к |
|||||
линии. |
О льн я линия Построитьпоря к н ч ты ь |
||||||||||
|
251. |
||||||||||
ìÿ òî÷ê ìè è |
|
тороо ной и них. Ч р о ну и |
|||||||||
ííûõ òî÷ ê ïðî í |
прям я. Построить точку п р |
||||||||||
÷ |
|
|
|
|
к прямойс т льнойлин й. |
|
|
è ê- |
|||
ò |
252. Д ны ч тыр точки линии торо о |
||||||||||
ëü ÿ |
ннойной и них. Построить к с т льнуюпоря к о ной |
||||||||||
íèÿí ûõ |
|
òî÷ ê. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
253. О льн я линия торо о поря к н тр мя |
||||||||||
ñ îèìè |
точк ми и к с т льными |
ух и них. Постро- |
|||||||||
ить к с т льную тр ть й точк . |
|
|
|
|
|||||||
254. О льн я линкрияойторо о поря к н тр мя с оими точк ми и к с т льными ух и них. Построить щ о ну точку 168.
|
|
о л н я линия торо о |
|
|
|
|
|
|
í |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ннонойпис. но.ирнй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оршину |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,ршинуэтих |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ольникртуют, яточкписк |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
льнпорялинии |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
хуттр |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
чрльны,тырукольниксчлинии |
|
|
|
A |
|
|||||||
шинлиниюточкихо о257256хпрямA.илинию.тоДОпПостроитьуюðныямольноПтриянпоряторояПскй. скляккоршины.сляпоря,Построитькт. Построитьльнуюс к |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8 |
|
ê í éлиния. |
|
|
ùïîðÿî íóê ê ñ òíльнуюпятью. |
|||||||||||
259. |
|
|
|
|||||||||||||
260. |
|
|
|
òîðî î |
|
|
|
|
í |
|
÷ òûðü |
|
||||
к с т льными к н й. Построить |
|
ê êóþ-ëè î |
точку н |
|
||||||||||||
ной линии. |
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
í ÷ òûðü |
|
|||||
261. |
Î ëüí ÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
мя к с т льными |
точкой к с нпоря ок ной и них. По- |
|||||||||||||||
262. |
О льн ялиния торторо о поря к н тр мя |
|||||||||||||||
мя к с т льными |
точкой к с ния |
|
|
|
|
è íèõ. Ïî |
||||||||||
строить щ о ну |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
строить щ о ну кточкус т льнуюнной лèíèè. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
к с т льными и точк ми к с ния ух и них. Построить |
||||||||||||||||
ù |
к с т льную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
í òð ìÿ |
||||||
263. О льн я линия торо о |
|
|
|
|
||||||||||||
264. Ä íû ïÿòü |
|
|
к линиипоря к |
ðî î |
|
ê |
||||||||||
к с т льными и точк ми к с ния ух |
|
|
íèõ. Ïîñò îèòü |
|||||||||||||
щ о ну точку нной линии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ííóþ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîðÿ |
|
|
|
|
ê òûðñèè,êíèÿоспрохонойтльныхиящуюних. чПострор точкуть щ |
|
|||||||||||||
ки с тн льнуюточк M÷ëè |
|
|
|
|
|
линии. Ч рторо. по |
|
|||||||||
точря 265и. Д ны |
|
к с тн льнойольныхнойи кних |
|
|
M |
|
||||||||||
M í ðó îé |
|
169 ïðî ñòè ù î íó ê ñ - |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|