Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Проективная геометрия. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

р 38. Н прямой ` ны точки A2, E про кти нои рстно,п

. Построить точку

÷òîRí=ñî{Añò1

Aíí2

Eÿ}òî÷ê

êîîðA1 инслиты,

íû 39

÷ 37.

P∞ èì ò

óê í-

. Построить точку

ñî ñò íí ÿ òî÷ê

коор инслиты,

÷òîRí= {A1

P∞ èì ò

Í прямойч37.

óê í

íû 40.

` í ïðî êòè íûé ð ï ð R = {A1, A2,

E}. П иня точки A(1, 2) B(−2 1) 0

ëþèñíûîé , точку

ти ф рмулыиничнуюпро р оточкунияркооп ð èí ò

точки, н й-

C(3, )

R = {A, B, C}

ïðÿìîé

êîîð41èí.Ñîñò`.т н итьпрямойформулы пр о р

î íèÿ ïðî êòè íûõ

A2, E}

` ïðè0

0ï ð0 õî îò ð ï ð R = {A1,

ð ï ðó R

= {A1, A2, E },

ñëè:

1) A10 = A2, A20

= A1, E0 = E;

2) A10 = E, A20

= A1, A10 = A2;

3) A10 = A1, A20

= E, E0 = A2;

4) A10 (2,

1),

A20

( 1, 1), E0(1, 0);

−

(1, −2);

5) A1(−1, 1),

(2, 3),

6)A01(2, 1), A02(−3, 1), E0(−1, 2);

7)A01(4, −1), A02(2, −1), E0(−3, 1);

8)	A10	(3, 4),			A20	(2,		5),		E0		(4, 3);
9)	A0	(1,		2),	A20	(3,		1),		E0		(3, 8);
	10		−		0		,		,	E	0		,
	A		,	−3)	, A2	(3		−4)				(−1		5);
10) 01(5					0					E	0
11)A1(1, 5),					A2	(5,		3),130			(1, 3).

Про кти ны коор ин ты точки

н про кти ной плоскости

42. Н плоскостисти н про кти ный р п р R = {A1

, A2,

A3, E}. Í éòè

îð èí òû òî÷ ê E1 = A1E ∩ A2A3, E2 =

A2E ∩ A1A3

= A3E ∩ A1A2

R = {A1

, A2,

A3, E} è í òî÷ê P (1, 2, −1). Í éòè êîîð èí òû òî÷ ê

= A1P ∩ A2A3

P2 = A2P ∩ A1A3

P3 = A3P ∩ A1A2

44. Н плоскости н про кти ный р п р

R = {A1

, A2,

÷A3ê, E} è í òî÷ê M(x1, x2, x3). Í éòè êîîð èí òû òî-

M1 = A1M ∩ A2A3, M2 = A2M ∩ A1A3, M3 = A3M ∩

A1A2

Н плоскости н про кти ный р п р

45..

R = {A1, A2,

A3, E}. Построить точки A(1, 2, 0), B(−3, 0, 1), C(0, 1, −1),

D(−1,

3, 0)46, H. Í(2, 0плоскости, 3), K(0, −1í, 2)пропоктиихкоорный инрптрм р п р R.

R = {A1, A2,

êè

при этомточк

со ст нн я. Построить точ-

A3, E}

Äîê òü,

ñò

A(0,−2,−1), B(1, 2, 0), C(−1, 0, 3), D(2, 1, 0), H(0, 3, 4),

коорктиинномт м

ï ðð ï.ð

K(047, 3.,Í−1)плпоскостиих

R = {A1, A2,

Aòü3, E}

, ïðè

точки

ò ÷êè

н со ст нны . Постро-

êîîð í ò ì ïðî, ï ð

C(2 0, −1)

D(0, −1, 2)

ïî

точкиõ

A(0, 2, 1) B(3, 0, −2)

ííû. ð ï ð

48. Пусть

í ñî ñò R

R = {A1, A2, A3, E}

÷òî ëÿ ñî -

нных точ к р сшир нной плоскости:

= x,

= y,

ффинны коор131ин ты точки относит льно

ффинно о р п р

{

−−−→ −−−→}

E = A E ∩ A A

, A3E2

, A3E1

2 3,

1) 4) (2, 1, 3), 5)(3, 2, 1), 6) (−3, 2, 1), 7) (4, −2, 1), 8) (−1, 2,

=49A. Í2E плоскости∩ A1A3. í ïðî êòè íûéð ïð ï ð

R = {A1, A2,

, E}

, при этом точки

строить точки по их коор ин т м

í ñî ñò ííû . Ïî-

точки,

R: A(1, 4, −1)

B(250. 3)Í, Cплоскости(3, , 1), D(−í2, 3, 1), H(4, 3, 1), K(−5, 2, 3).

R = {A1, A2,

E}. Построить точки: 1) (1, 2, −1), 2) (2, 3, 1), 3) (−2, 3,

точки,

3), 519) .(−Í1,плоскости3, −3), 10) (2í, 5ïðî, −5)êòè. íûé ð ï ð

R = {A1, A2,

точки,

ч, 50. н со ст нны . Построить

A3 52E}.,Нукприплоскостиэтомнныточки нA1 E

R = {A1, A2,

ч, 50. н со ст нны . Построить

53E}.,Нукприплоскостиэтомнныточки нA2 E

точки,

R = {A1, A2,

иничнчн, 50я. н со стр ннып . Построить

A3 54E}.,Нукприплоскостиэтомнныточки A3 E

Aï 3ðEñ}ч, приния мэтоми ны тр у ольникî÷ê

R = {A1, A2,

E ÿ ëÿ òñÿ

очкой

ñò 55ííûõ.Â

A1A2A3

íîéòнроитьсо

òû.

)ïîñ

ннырточп рк сторон

50;исно)коорно йтитринуïðîтыорльникêòè:

кости точки R = {A1, A2, A3, E}

ïëîñ-

A, B,C, D èì þò

(1, 0, −1), (2, 1,

0), (01),Ïð0,ïîëî1), (1ð , 1íèÿ,,2)чтосоотточкитст нно.

Состт приитьп рформулы.хо от рпрп, ор,р , о янияляютсяпро ктиточкныхми

кооро щ2 ино

A B C D

C, D}.

R ê ð ï ðó R0 = {A, B,

132

56. Сост ть формулы																																							ïðî êòè íûõ
ркоорп руин т при п р хо от																																							ïðî êòè íûõ
	R			0			=			0		0				0				0		ïðð ïîðð Rî =íèÿ{A1, A0 2, A3																										, E} 0
	R						=			A1	, A2, A3, E										}		, ñëè								ð ï ð R точки A1,
A20 , A30 , E0 èì{																					}
									þò êîîð èí òû:
1) A10	(1,		0, 0),								A20	(0, 1, 0),													A30	(1, 2, 1),													E0		(0, 1, 3);
A10		,				,	−1)			, A20				,			,			,					A30				,			,	−,						E0				,			,
2) 0	(1		0				−1)				0	(2			1			0)							0	(0				0			1)							0	(1			1					2);
3) A1	(0,		1, 0),								A2	( 1, 0, 1),													A3	(2, 1, 0),													E	(1, 2, 1);
4) A1(0,			1, 0),								A2(0, 0, 1),														A3(1, 0, 0),														E		(1, 1, 1);
0											0		−												0															0
5) A10	(1,		1, 1),								A20	(1,					2, 1),								A30	( 2, 0, 1),													E0		(0,						1, 3);
0					,			,			0				−			,							0		−			,					,			, E			0			−				,
A1	(−2				,		3	,	1)	, A2			(1		,	0		,	−2)					, A3			(1			,	−1				,	2)		, E				(2		,	1			,		1);
6) 0	(−2						3		1)		0		(1			0			−2)						0		(1				−1					2)			E		0	(2			1					1);
7) A1	(1, 2, 1),										A2		(0,			1,				3),					A3		(1, 1, 1),												E		(2,				−					6,		1);
0	(0,		−								0		(2,			3,			−						0		(				2, 1, 5),								E		0				−							−
8) A1	(0,		0, 1),								A2		(2,			3,			1),						A3		(				2, 1, 5),								E			(0, 4, 1);
A					,		1	,	0)	, A2			(0		,	2		,	3)		,				A3		(3			,	5		,	1)			,		E		0	(−5					,			3	,	−5);
9) 10(−1							1		0)		0		(0			2			3)						0		(3				5			1)							0	(−5								3		−5);
0											0														0			−													0
	плоскостиУрН пронктин ной. Урпрямойпл костин ни нпучкпроро ктиктипрямыхныйнойр п р
510). 57A1.(3, −1, 5),											A2		(1,			0,			4),						A3		(−2, 1, 1),												E (−2, 1, 3).

о, тр ,у ольник,. Сîñт ить ур н ния: 1) сторон
R =èñíî{A1 A2 A3	E}	A, B, C í î íîé
Ïðî ðèòü,	133	A, B, C í î íîé
	A1A2A3	; 2) прямых A1E, A2E,

A3E58. . Н пис ть ур н ни прямой
м трич ски ур н ния прямой	ABñëè:ñîñò èòü ï ð -

A(3 0, −1)	AB,
A(3 0, −1)	B(−1, 3, 0)
A(−1 2 0),	B(1, 1, );
A(0, 5, 1)	B(−2, , 7)
) A(1, 3, 1)	B(−2, 1, 0);
A(−1, 1, 0)	B(2, 3, 5);
59. A(3, 2, 1)	ëB(−ò5,ëè0, 1)точки.

прямой, сли:	K(3, −2, 1), L(0, 1, −1), M(1,
òü,	K(3, −2, 1), L(0, 1, −1), M(1,
A(1, 2 −1),	B(−3, 1, 1), C(−1, 5, −1);
A(0, 1 3)	B(−5, −1, 3),	C(10, 3, −3);
прямой,	B(−5, 13 −3),	C(−3, 5, −1)
A(2 1, 0),	B(−5, 13 −3),	C(−3, 5, −1)
) A(0, −4, 1)	B(1, 2, 1),	C(3, −2, 5);
A(1, −1, 2),	B(0, 3, −1)	C(−1, −5, 0);

0 ДокA(−2, 0, 3)чтоBточки(1, 5, −2),

C(0, 5, 3).

р сширляют ннойтр у оплосоьниксткости.нными про кт ный р

−ï ð26, 5)1. îïðÍ

ñëè,í

. Сост ить урточкнминия нляютсо -

ñÿ:ò ííîéR) = {A1 A2, A3 E}

)

A1, A2; ) A2, A3; ) A1, A3; ) A1, E; ) A2, E;

62,. Н. р сш р нной плоскнстисо ст прннойк и ный

ï ðA3

мойст R = {A1

коор, ин, которомты

точки

ííû . Í éòè

точкин прясо

AB, ñëè:

A(−5, 2, 1) B(1, 3, 3);

A(2, 1, −3), B(1, −2, 1)

A(7, 6, 4),

B(3, −3, 2)

) A(3, 1, −1) B(−1, 2, 3);

A(−1, 3, 1),

B(2, 2, 1);

ï ð63. ÍA(−ð2,ñø3, 3)ð, ííîéB(1,плоск−2, 5)н.стисо ст прннойк и ный

мойст R = {A1

коор, ин, которомты

точки

ííû . Í éòè

й точкин прясо

ч р62нной. плоск сти

ï ð64AB. Í ð ñø

мойст R = {A1

коор, ин, которомты

точки

ííû . Í éòè

точкин прясо

AB ÷ 62.

134

Нр,сшйти, ркоорнной, ин,плосктыкоторомнстисо стточкипропрнн кти,точкиныйн прясо

мойстп р нныR.=Í{.A1

66AB

÷ 62.

мойст нныR = {.A1 A2

í ñî

ï ð67AB. Н р сш р62нной. плоскнстисо ст нн

мойст нны . Н, йти,

коор, ин, тыкотором точки

,точкин прясо

R = {A1

ï ð68. Í

ч 62нной. плоск сти

ð øèð

ðñò R = {A1

котором точки

ñò èòü óð ï íð íèлл льнойпрямой,

хо ящнйсоч -

ннынную. Соточку

ñëè:

M è

íí

прямой a,

1) M(1, −2, 3), a : 2x1 + x2 − 3x3 = 0;

2) M(4, 1, 1),

a : x1 − 7x2 + x3 = 0;

3) M(−1, 1, 3), a : x1 + x2 + x3 = 0;

4) M(−1, 2, 2), a : 3x1 − x2 + x3 = 0;

5) M(2, 1, −3), a : 2x1 + 2x2 − x3 = 0;

6) M(3, 3, 2)

a : x1 − 4x2 + 2x3 = 0;

7) M(−3, 1, 2), a : x1 + x2 − x3 = 0;

8) M(1, 1, 2)

a : 2x1 − 3x2 + x3 = 0;

) M(1, −1, 3), a : 3x1 + 3x2 − x3 = 0;

плоск сти н сопрост ктинныминый р

ð6910). ÍM(2ð, −øèð1, 1),ííîéa : 5x1 − 7x2 − x3 = 0.

ëÿþò, ÿ:, )

, ур , нкотниîðîì

òî÷

ê ìèRÿ= {A1

прямой,; )

; )

;

)

A2, A3; ) A1 A3

,нную. Состточкуить

ïð õî ÿù é ÷ -

ð A3 E

M п р135лл льной ннî

прямой a,

óê ííûõ	÷ 68.	ур н ни прямой, прохо я-
0		ур н ни прямой, прохо я-

щ й71ч. рН йтиточêîîð(1,èí2, −òû1),точки(3, 5, −ï2)р. с ч ния прямых:

	x1 − x2 + 2x3 = 0		2x1 + 5x2 + 4x3 = 0
	2x1 + 2x2 − x3 = 0		3x1 − 5x2 + 2x3 = 0;
	x1 − x2 + x3 = 0		2x1 − x2 + 5x3 = 0;
) x1 − 2x2 − 2x3 = 0			x1 + 3x2 − x3 = 0
	2x1 − x2 + x3 = 0		x1 + x2 − x3 = 0;
	2x1 + 3x2 − x3 = 0		x1 − 2x2 + x3 = 0
	x1 − 3x2 − 3x3 = 0		2x1 + x2 + x3 = 0
è) 3x1 + x2 + 2x3 = 0			x1 − x2 + 2x3 = 0;
пучку:	3x1 − x2 + 5x3 = 0		3x1 + 2x2 − 5x3 = 0;
Док ть, что прямы è			x1 + x2 + 3x3 = 0	.
72. x1 + 5x2 − 3x3 = 0			x1 + x2 + 3x3 = 0
1)		a, b, c ïðèí ë ò î íîìó
2	a(5, 1, 3)	b(−2, 4, 3) c(8, 6, 9)
3	a(1, 1, 0)	b(2, −1, 3)	c(5, 2, 3)
4	a(1, −1, 2)	b(5, 3, 0),	c(3, 1, 1);
5	a(0, 2, −3)	b(1, −2, 4) c(1, 2, −2);
6	a(−3 1, 2)	b(2, 0, −1)	c(3, −5, −4)
7	a(−1 2, 0),	b(1, 1, 5)	c(2, −7, −5);
8	a(1, 3, 3)	b(2, −1, 2)	c(3, 2, 5)
10)9	a(1, 2, 5),	b(3, 0, 1),	c(− , , 2);
	a(1, −2, 3),	b(1, 4, −1) c(3, 0, 5);

ï ð73. Ía(2ð, 2ñøèð, 1), ííîéb(0, −плоскости2, 5), c(1, 0,í3)ïðî. êòè íûé ð -
êîîðR = èí{A òû:,A21), A3, E}. Построить прямую `, ñëè íû
	(274, 3. ,Í1); ð10)ñøèð(−2, ííîé1, 1) 11)плоскости136(3, 2, 3); 12)í (1ïðî, −3êòè, 1).íûé ð -
4)	(1, 2, 0); 2) (0, −3, 1); 3) (4, 0, −1)
9	(1, 2, 2); 5) (1, 2, 3); 6) (− , 2, 3); 7) (3, −2, 1); 8) (2, −1, 4);

ïí ðÿ.RПостроить= {A , A ,прямуюA , E}, плосккоторомкоорточкин тEì, í ñî ñò í-

1 2 3

ñò ííû ÷75. Í72ð. ñøèð ííîé ` по сти н про ктиук ныйннымр

R = {.A1	A2	A3	,	E}	,	точкикоор ин т м,
						A1	A2	í ñî
Построить прямую

ольшому.нным76пр.ПринципСфорло сякиучниям:омуиро72. принциптьойстпр ломнностипония,о ннностиойст нныслукуюпо-
ùèì6			`
	÷ ð	точки прохо ит		только
	ñóù ñò ó ò ïî êð éí é ì ð òðè			точки, н л ощин
ïðÿì ÿ;				точки прохо ит
	÷ ð ê û òðè
н о ной прямой;
î í	и только о н плоскость;
			л т н плоскости
) сли точки A, íBколлинпрямй aðíû
	стя принупрямытл литм н щплоскчятырстих точ; к, н л щих
αн, тоо)нойпрямсущслиплоскости;AB			α
ñò ó ò òî÷ê ,		a, b	òê ê ïлоскостиряой α, òî ñóù
ìîé				a, ò ê è ïðÿ-

b; ñëè òî÷ê

A прин л ит о им плоскостям α è êîβ, тоти)й;онслипринпрям ля ит прямой п р с ч ния этих плос

р с ксущэтустплоскостьу т точкa , о 137нойл щплоскоститолькоя н о ннойнойα, тоточкпрямой;онп -

òî÷ê , í	ííîé
ê) ñóù ñò ó ò ïðÿì ÿ, ë

к плоскости, м) сли прям я a лскритщи плоскостиющил щся япрямыα то сущплоскости;, ст у т

í)		α òî÷ê , í ïðèí	прямой a
				-
	ò îïíðëñ êтолькоþù ÿнио н нойпрями я,этихпрохопрямых,ящ я точточр
стн уприн			A
щточку		a, b	A
î) Añëè		тр у ольникпрямых a è b;
		ABC è A0B0C0 прямы AA0,
BB0, CC0		þòñÿ î íîé òî÷ê O, то точки P =

ABìîéïрямой7∩ольшому87A.ÎïðÄ0.B0íû, Q =литьмBCплоскости∩ôèìóB0Cупринцип0,û,R = îéñòACì∩Aнныойст0C0 л трнностиут нольнику.о ной

αβ, ï ð ñ ê þùè ñÿ ïî ïðÿ-

ин. л щ я прямой . Опр лить

óðó

фиплоскости,

îéñò79`,. точкную M

ïðèíα ëβ, ðùèñ ê þùè ñÿ ïî

ëèòüòñò ííî

плоскостям`,

÷êè A

ñîîò

Îïð

ùè

α β

прямой `, и ïðÿ

я ч р точки

îé-

ольник

ó .

ÿù

прохофинòðóðó

ñò 80ííóþm., Ä

п р о плоскости. СтроимтруABCпрямыольникпрои ольн я точк M

строк ют стороны

AMòî÷ê,BMõ

CM. Îíè

ñîî ííûé

íòñòû нно. Строим

тр у ольник

A0B0C0, ïèñ

ííûê-.

ольнинточ

õó.òõ

ойстиняющих

состоящтри.попВыполнитьирмйстих(чхннноститырчсолтыр

о,ршинник138

êè

нияшчмноломуститыр(íèêпрямых,принципустх

òñÿì

нойщм)81прямой)ло.о Пниянымпо

ABC

êî

Îïð ëèòü îéñò óþ ôè óðó ïî	принципу
ойст нности.

ку 82. Н прямой s ны три точки A,ìB,ëîìóC. Ч р точку-

A про м прои ольно прямы ` è m, ÷ ð

C ойстпрямуюн n. Н й м точки Y = ` ∩ n, W = m ∩ n, Zполнить=83BY. Ä ∩остиыméñò,òðèX. ííûï= оскостиBWпостро∩ ` нияточкупо D = s ∩принципуXZ. Âû

построщи ся ниятр м р личным прямымα, β, γ, ïîï ðíî ï ñ ê þ-

											Îïðù ÿ ëèòü
									a, b,	ë.
	84. Д ую фиуольникуру.								a, b,	c
плоскости. Прям я					ABC è ïðÿì ÿ p,						î
	÷ê õ			p п р с к т стороны AB, BC, AC
î ð óþòH, òðK, M соот тст нно. Прямы HC, KA, MB
			ломуя		принципу. Выполнитьойст нн ойстсти. нны
	85. Пр Прямпо м				P QR
ì ÿ			a п р с к т плоскость α								÷ê A, ïðÿ-
Îïð86b .лПрямылитьит			ойст нную фин урупр. хо ит ч р точку .
Îïð86b .лПрямылитьит			плоскости α								A
	òî÷ê		a	b ë ò					α è ï ð ñ ê þòñÿ
	плоскостиP .			c прохо ит ч р ннуюочкуфиP урун л ит
								ойосно.и ныопрс ойстлить фи.конфиуру,-
							ììó
						ð
						плоско
					ртить
				ëî
	òð êèрсшир.ьтпОпр:рД рнллнной
	ннуюД
	îð ì
ур.ойст8887ции..ТПроН		α
7		α

öèè,ïî 1î◦.рляДлятькоторыхлю ой точкиннтр яук139òî÷êнфильникуру этойциит Д крîíôèûìоурцнон-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]