Проективная геометрия. Учебное пособие

Н рисунк х 6

7 è î ð íû

îòðð , ñîîò чтстныующислучслучи 3 ям4 т1ори конфимы2, рисункиур ц ля8Д 9

ой плоскости.

-.-

-

ëèисхосоотполучприлиприимтн

íплоскост

íè

ссморяющхмонслучклипостро.0 ò0оипрямой0ютсяширокоыть

инльнымниирт льст.В чплстныртнчносом

ТонныруорчотслучмхооприðíïÄìóðольники,4îêДллош

рстВмны,тнойняются

клиВослучю 3 тр у ольникитр у ольникABC è A B CД ромот тич

ñ

ð ø

тся опрос, к кой и ч стных случ

ò îð

ìû Ä ð

ìî íî ñ ÿ òü

÷ é. Ïðè ýòîì

û

è

н личия п р лл льных прямых. Во р мя

ì нто конфич рт ,

мо ноч ртять

ê êè

полня тся

ы р нному ч стно

и и комы эл м нты,соот ртстш ующийтся опрос, к ки

ýë -

ó

ëó÷ þ. Ç ò ì í ýòîì

îòì ÷ þòñÿ

ííû

ñë ó ò построитьур циик к.

прои точкольно,

. Ïîëü-

óÿñüÏðèìî íîéð [10лин.1]йкой,. Д ныч р прямыточку a||b

C

ннымулисонны.ойпрямымТпрямыикискомык.к , тоитоэлпроымирнты:устиутмслучпрямую,трийп 2-

Àí

рп ллрР.лл7)льныш.льнуюОтмни .тим

C

(ðèñ

AA0 = a

è íî,0

мо но ять прои ольно0

искомточки я прям я. Оч -

BB = b, C íí ÿ òî÷ê , CC

A, A0

a; B,

èÎñü0 ольно,никкнон чопрр точкулн , т к мо но про

ñòè ïðî0 0 .

B b. То мо но построить точку P = AB ∩ A B

êè

P . Òî

построить точ-

Q

ния прямой

`

прямыми

BC

R к к точки п р с ч40

ìûõ

0 построится к к точ омп яр с ч ния пря-

ПостроAC. Точкни C

ïðÿì ÿ ó ò

0

0

1построB Qí .è .AСтроим:R. Ò êèì î ð îì, èñê

2

0

0

3

A a, A a0, B0 ; b, B b;

Ðèñ. 10

P = AB ∩ A B

4

`, P `;

5

R = AC ∩ `;

6

Q0 = BC0

∩ `;

0

7. C = B Q

∩

A R;

ÐÄîê

CC

ссмотрим0 . т льсттр уîльники.

êè

0

0

C

0 . В этих тр у ольник х по постро нию оч

ABC

A B

о ной прямой0

0 ,

Q = BC

B

0

C

0 ,

R = AC

0

0 ë ò í

P = AB

∩

A B

∩

∩

A C

ìë

ð0 0 (èì0 óþòî

тнойниит ор мы Д

ð

ê ê

прило

троряютоу ось)усло.И тиюк

ò ëüíî, 4ABC

4A B C

`. Ñë

AA0

Çí ÷èòòíîé ò îð -

Д ринстпрям я

BB0 , òî ïî î ð

CC0

èì

||ð ëë ëüí .

, ÿì ÿ

îêò. ð÷чиштьííè.построн,и постропритомíè ¿-

лосьр шим¾Çíèÿ

Ä ð

ðèìîмнинщя,нинно2чтоо..ЗВмин.тпримтрчор мыср

Èññë0 èñêï

Ç ì ÷ íè

рнисссмот

CC

Ÿ 11.

à óïï ïðî êòè íûõ

ð î ð î íèé

1. Ã óïï

ïðî êòè íûõ ïð î ð î íèé. Ïð -

ì ò ïðî êòè íîé îì òðèè

41

Îïð ë íè [11.1]. Пусть н про кти ной

пл скости

þòñÿ ïðî êòè íû ñèñò ìû

êîîð èí ò (èì ïðî êòè íûõ ð ï ð ): R=

A1,

р о ни плоскости0 ={ 0 , которо0 0 0сякой}.То точкпр{

A2, A3, E} R A1 A2, A3, E

î

ñ êîîð èí ò ìè

M

èò

точку

относит льно

R

ñò

ñîîò òñò è(x1, x2, x3)

í

относит 0льнотми коор и

M

ñòèÿ ïðî.èìñÿêòè íûìëüí ïðéø îì îð î îí ÷íèòü:0 ,ìíплоскоû ò-

1)Óñëî

(x1, x2

, x3)

R

M(x1, x2, x3)R

êîîð èí òû

÷êè M относит ль

2

R;

ð ï ðìè

R

0

ïðî êòè íî ïð î ð î íè

f

íî

f : R

→

Ç ì

èì. Ò ê0 .ê ê

R10

R è R

. Ò

ëÿ

ëþ îé

точки

ñîîò òñò ííû

Àí ëî è 0

0 , òî

A

è

0

A (1, 0, 0)R

A1

(1, 0, 0)R

A1

точки1 .

íî

1

A2 è A20 , A3 è A30 ,

ð 0 Ëîïììрыни соот[11плоскости.1]. тстПустьнныхпроточктик. но

î -

E è E

M (y1 y2, y3)

(ò

.

ìè

òèéíîòû)ðð ï ð,

íî ð

î îðÿ,

êîîðf òðèí

f

R

,

R

0

R1

é-òî

a

î ð

0

û-

î: ñëè

M = f(M)

Mполняплоскостится с ойст

,

M(y1, y2, y3)R1

0

0

Èí ÷

R1 ñëè ïðî êòè íî ïð î ð

î íè

ï ð ìè

R è R0, òî î42ìî íî ò ê òü ñ ïîìî-

ùüþ ð ï ðî

ïð î ð, î íèé

ð ï ð, a

R1

R1

R1

прои ольно ы р нный

0

-

èöèèîðíûõò ìльстсть[11о.1]лрупп.ммыÌíîсмотноситний..ñò[5],îпрострльнос. кти32х 33комной.

î Ò

ïктлоскости

Äîê R1 = f(R1)

0

Äîê ò ëüñò î.

Èì1 . Смойст о мкнутости.

ïðî êòè -

◦

x2, x3)R

è÷íî, g

òè íîR

R

M (x1

ïð î ðf : R → R

g : R → R1

0

0

íûõ

î íèÿ. Í î îê 1 ть, чтони их компо иция

Воспольто упромсяктилммн й:прляо прр о р о . ния

g ◦ f

g ð ï ðû

0

ð ï ð ìè

0

00

0

. Ä ëÒîÍ é

ê

ì íèòü

R

R = g(R )

Rò 1êèêR1 ìî íî

M .1)Äîêòî

ëè,

R00

g

f

пусть

R0

= f(R)

= g(R0), òî R00 = (g ◦f)(R).

,

M

ëþ ÿ

очк плоскостио Míè(x,1

x2, x3)R.

0

M

00

= g(M

0

). ÒÀí ëîM

00

= (g ◦ f)(M).

Ò ê êMê = f(M)

ð ìè

f

ïðî êòè íî ïð î ð

ííî ï

ïð î ðòîî íè , ííî0 . ð ï ð ìè

ïðî ê

0

0

этому

R0 R00 . Ïî-

M

00

(x1 x2, x3)R

òî

ïð00 о коорр о и ты т , что и у точки

0

è

:

р точку

◦

2

ëþ óþ

R → R00 ;

M(x1, x2, x3)R

ото р т опрточку

M

00

(x1, x2 x3)R

ë íèþ

ïðî00 (ñêòè ìèíî ê îð èí ò ìè). Ïî

-

íèé

◦

gАссоци◦ f ти

ïð î ð î íè .

ст тся,с потомухпро чтороэто-

с ойст. о ыполня

ыполня

тсяностьн мно43

2 .

Ä éñ

e..Îñò òñÿ îê òü, ÷òî e ïðî êòè íî ïð -

с ктия,Сущ)нымсткипркмоконякðт осиммуюкоорниточкумтрично.(люинтотыой орпоэтомуотоп рр я рляс тсямут

íïðî

e : R → R

òñÿî ð î íè , òî è

f

ïð

ëÿ

ÿíî

òíî

ïðíè êòè

íè ì.

f

−1

про ктипрнымо р о

оПусть

íè . Òî

R

→ 0

R0 ëþ î ïðî êòè íî

òè

f :−1

R. Во ьм м лю ую точку плоско-

0

f

: R → −1

0

). Òî M

0

= f(M). Ò ê ê ê

M

, и пусть M = f

(M

фитипроо Ннойурнийктиличи.плоскостипоно оляпрруппоотрнр ыхкло итьñниссыîéñòмно. проусткти ноктис-хэкныхфи урпрл пронтныхо рк-

f

про к и но пр о р о отони р, иопрт л нию,

x3)R

M(x1

x2

ñë ó ò

M0(x1, x2

x3)R0 . Ò êèì î ð îì, ïð î ð î

êîîð −èí1 ò ìè

0

í ï ð R точку M

0 ñ

f

îòî ð ò ð ï ð R

ò ìè

0

точку

M

ñ ò -

ìè êîîð èí(x1

, x2

, x3)R

(x1, x2, x3)R. Ïî

f−1

44

Îïð ë íè [11.2]. Áó ì

ôè óð Φ

о орить, что

0 ïðî êòè íî-ýê è ë íòí ôè ó

íèΦ , отосли рсущ стющу тфипроурукти пр о р

-

трэкл нтность

Φ í ôè óðó Φ0

-

Òíìèèîðëðìнтностфлфи[11кс.ур2],. ности,Проя.ля.ктисиммтсяолнотноштричности,ятэкснииойм.

ти ности.

Äîê ò

òñÿ ÷èò ò ëþ.

Ïðî êòè í ÿ îì

пррия остэтолят к я ом трич ск я

т ория, котор льстя

îò

î ùè îéñò

-ýê è-

ë òíûõ ôè óð, ó÷. . ò ñ îéñò

число ы личины,

к торы н и м няются

ïðè ñ õ

про ктипроныхкти прно о р -

î íèÿõ.

2. Н которы с ойст про кти ных пр о -

ð î íèé

-

í ë òù, î, ïîëîí, î íîéí

прямойíèÿû Îïð,ютсясли. ник÷ë òíèêèðêîé[11òðè.3]òî÷и45. Точкинихê î A B C D

ρx10

= a11x1 + a12x2 + a13x3,

ρx20

= a21x1 + a22x2 + a23x3,

(11.1)

Äîê ò ëüñò î.

1) Пусть f : R → R

мн которопрои

êòè íî ïð î ð -

(относито ни льно

Í é 0

чк плоскостиM(x1

.x2 x3)R ëþ ÿ

ëüíî û ð íí ÿ

скости,стороны,

= f(M), пусть M0(x10 , x20 ,

M0

xð30 )R. Ñ ðó îé

ò ê ê ê f ïðî êòè íîû )ïð î

ты точки

M0(x1, x2, x3)R0 . Èì ì êîîð è

M0 относит льно ух

ûõ ð ï ðî

формулR стмиры , относит льно R

полькти ныхумсякоор ин т (т поðìî ð[4.3]о ),нияприм 0

ор ихныхкточк.Воспро-

M0:

(1)

|(aij

| = |(λicij )| =

ρx10 = λ1c11x + λ2c12x2 + λ3c13x3

ρx20 = λ1c21x + λ2c22x2 + λ3c23x3,

ρx3 = λ1c31x + λ2c32x2 + λ3a33x3

0

ò ëüñò )

 ì î î í ÷ íè :

.

получим формулы

Ïðè ýòîì

(i, j

ìíî èò.Òëè-

λ.icij

= aij

= 1, 2, 3)

òèнымпрямуюо Òïðíèîðíîî ìротопро[11ркти.5]. нойПро(т11í.1плоскостикти),прямуюокто нооно .яïð î ðлясякуются. - к-

λ1λ λ3|cij | 6= ,0

ò ê ê ê

λ1, λ2

, λ3

è

ìóò

ð íèí íóë: û

ñëè ïð î ð

ìè

òíè

2) В рно иформуло

í |(cij )| 6= .0

Ÿñë 12îÎïð.

`0

òî÷ M0

óð í íè ì,

промноп рктистRно. тос х нточит,к что прям я ` пр ст ля поэтомусо ой

êîîð èí òû

рых у о л т оряютп о рэтомуM, нияур онрниюы. (Ïîx1, x2ïðx3)Rлкотонию-

èì þò ó