Проективная геометрия. Учебное пособие

µ ρ

d1

Äëÿ í õî íèÿ(AB,îéíîCDî) =îòíîø:

íèÿ= ïрямых.

λ ν

d2

ñò èì ð ëî íèÿ

(ab, cd) ñî-

(1, −1, 0) = λ(0, 1, 0) + µ(1, 0, 0),

Îòêó

получим:

(d2, −d1, 0) = ν(0, 1, 0) + ρ(1, 0, 0).

Д ойно отнош нè точ к и прямых н

Òî

λ = −1, µ = 1, ν = −d1

, ρ = d2.

формукоорныîñèòêëèРПустькинссмотримëüíîîи, миттоîéоточкия(14ойплоскосттыля.плоскости1)ютсяточкиычикли(14ч.4)лостным.нияуНмооситплойнслучмкостьйнощосп.мñîîòффиннойТльотнпронуокформулуøòñòктиктьсíèÿосистныхнороточс.мыкомик-

(ab, cd) =

1

:

d2

=

d1

= (AB, CD).

−1

−d1

d2

т ин прямойт

`

,

,

A, B, C, D ë êîîð

a

b, c, d

их ффиннойны систкоормыин ты

ííî

îò

íûé êòîð. Í é ì

−→

=

−−→

=

{0, ~e}. Òî

−→

=

−−→

=

d~e,

~e èíè÷-

OA

a~e, OB

b~e, OCкторыc~e, OD

−→ =

−→ −

−→

=

c~e

−

a~e

=

(

)

−−→ = (

)

−−→

AC

OC

OA

= (d

a)~e,

−−→

= (

)

î

BC

c

b ~e,

AD

BD

d

b ~e.

Òc

−

a ~e,

−

−

−

−→

= c − a, 71

−−→ =

d

−

a

,

AC

AD

−−→

c

−

b

−−→

d

−

b

BC

BD

(AB C)

Ò îð ì (AB,[14.8]CD. )Åñëè=

.

(14.6)

(AB, D)

ки, л н сощист ннр сш рAííîé,B, Cпрямойтри точ-

`, è

D∞

я точк прямой `, òî

Äîê ò ëüñò(AB, Cî). =Ò(êAB,72ê êCD∞)

(14.7)

è

(AB, CD∞) =

lim

(AB, CD),

D−→D∞

−−→

−→ +

−−→

lim

(AB, D) =

lim

AD

= lim

AB

BD

=

−−→

−−→

D−→D∞

D−→D∞ BD

D−→D∞

BD

Ò îð ì [14.9].

Ä îéíî

отнош ни

−→

lim

AB

+ 1 = 1, òî

−−→

D−→D∞ BD

(AB, CD∞) =

lim

(AB, C)

= (AB, C).

D−→D∞

(AB, D)

(ïó÷êab, cd) рч тырно: х прямых a, b, c, d î íî î

(ab, cd) =

k3 − k1

:

k4 − k1

,

(14.8)

k3 − k2

k4 − k2

è :

~~. То ур н ния нных прямых им ют

Oij

Ïðî y =ìk1ïx,ÿìóþy = k2x, y = k x,

y = k4x

.

`

, п р лл льную оси

~ ÷ ð

î÷êó

Oj

Sìû(1, 0),

ó í íè x = 1. Ïðÿì ÿ ` ï ð ñ ê

ïðÿ-

a, b, c, d ñîîò ñò ííî

òî÷ê õ

A(1, k1), B(1, k2),

C(1, k3)

,

D(1, k4)

. Относит73льно сист мы коор ин т

~

Oj

н прямой ` эти точки им ют коор ин ты

A(k1), B(k2),

C(k3), D(k4). По формул (14.4) í é ì:

Ïî ò îð ì [14(AB,.7] CD

=

k3 − k1

:

k4 − k1 .

k3 − k2

k4 − k2

искомую формулу ((14ab,.cd). = (AB, CD). Отку получ м

8)

íèì ÷ íè 1. Ä îéíî îò-

íîøÇ

18

споло ния ц нтр исит

Ðèñ.

îò ð

(ab, cd)

лястипрямыхЧитощыт îлюнслучформулыпрплоскостия,лко (14тся..8)пучпро--

ê

L

и прямыхÇ ì ÷ íè 2. Åñ è î L(x0, y0).

îñè

ì ð, ïðÿì ÿa

b

c d (í ïðè-

í

êîì

d) ï ð ëëòëü

ñëó÷Oy, то он н им т у ло о о коэффици нт . В

k3

k1

k

−

k1

прямых

:

.

Д ойномо (ab,íîøcd) =íèlim

−

k−→∞

k3

− k2

k − k2

прямых

ò ûòü

é íî ò êa, bïî,cформул,d î íî î ïó÷ê

sin (c, a)

:

sin (d, a)

(ab, cd) =

74

.

(14.9)

sin (c, b)

sin (d, b)

Ÿ 15.

Г рмонич ски ч т рки точ к

и прямых

î÷êè

Îïð ë íè [15.1]. Ã îðÿò, ÷òî

нойотношт рмоничпрямойðòîéíè÷ òûðèñêóþÿòû÷ ò

îéíîí óþò÷

ð

ë, сликщи,

Aóê,ðêóB,ííîìCòî÷, Dïîðÿê

−ñêîé1. Òî÷êточкойD кнточкы мтся

(AB, CD) =

рмони -

ï ð

A, B, C. Ãî îðÿò ò ê , ÷òî

îéñòÃÒрмоничCîðííî,Dì поняти[15рмоничск.1]ÿ. ÷Äëÿ. тскиркëþр прямыхûõ òî÷ëÿ òкопрпру AëÿBòñÿ. ê

ê

стной ннпрямойя, ч тс рт ясущрмоничст у т, скпритомя точк, , ино-

A B C

Док т льст о. Н прямой

D.

ный р пкоориничнойт к,инчтот миыточки

è

` û

ð ì ïð ê è

ê

A

B

ûëè

֏

точкиî÷-

íûìè,

точкуC éñò

точкой, и о ьм м к ñò

D

1

(ò îð ì [14.2]), í ÷èò (ïî îïð. Ò ë íèþ [14.1]), òî÷ê

(1 −1)

(AB, CD) =

−1 = −1

ч чт тeр рт я рмрмонич ск. яТочк

D

í Ä

èò ëüí , ïð

точкчтоD сущинстст уннт ящ. о -

ïîëî èì,

D0 ê òî÷ê ì A, B,

CПро, ктипустьныD0(d1, d2). Òî (AB, CD0 )

=

d1 è ò ê ê ê

d2

0

0

(AB, CD )

ò ê

ты опр,75то ляются, тс. точностью. о.

êîîð è

−1

d2

= −d1

D (d1, −d1)

Ÿ 16.

÷à òûðрмоничõ ðøèíñêè ñ îéñò

и ч тыр хстороннико

Îïð ë íè [16.1].

Ч тыр х ршинником

н к о щтсяпопомнрн ло стнияо, состоящ и ч -

XYòûðZWõ òî÷

ш стипрямы ûõ, сторон миих со иняющихX, Y , Z. , Òî÷êW è

Xèìè, Y , Z, W í û þòñÿ

,ршинп ры миэтом,опропололя мных

XY è ZW ,

YсторонZ è .XWТочки,XZï ð ñ Y÷Wния проти ополо ных сторон

A = XY ∩ ZW ,îíB льными= XW ∩òî÷êY Z,ìèS . =ПрямыXZ ∩ Y W

AB

(ðèñøí1) Ò,ûííèêí. 18):îðþòñÿëþ, ïîïì.)ойрно[16Воè .1]èîíсо. (сякомонëÿìèÎиняющилиñ îéñò. рчсполтыри õîíõ÷ухльныòûðтсяршинникточкиõðìîð-,

AS BS

óõ

ÿ ÷ ò ðê

состоящ я

è

он льныхточ к,

òî÷ ê

íè÷ð

чскн я этой и он ли с умя проти оïî

ëî íûìè сторон ми, прохо

ящими ч р тр-

тью и он льную точку (н прим р, A, B, C, D,

D = AB ∩ XZ);

77

И соотнош ний (16.1) и (16.2) им м

(16.3)

Íî ïî ñ îéñò ó(AB,îéíîCDî) =отнош(BA,íèÿCD).

È ð íñò (BA,(16.CD3) è) =(

16.4) 1получ

. ì

4)

(AB, CD)

точкито

(AB, CD)2 =

(AB, CD) = +1 èëè (AB, CD) = −1. Пусть

AB, CD) =

+1. То отнош ни (d1 : d2) êîîð èí ò

(14.2));Dотсютносит льно р п р R = {A, B, C} ð íî 1 (ñì.

d1 = d2 è D(1, 1), . . со п тС точкойойсто

это ополонмо нит ныть,рнот к к к точки

C

è

D

ð ëè÷-

Cíûñò, î. Ï

ð íî.íñò (16.1) получ м

.

1

Èê

(AB, CD) = −1

ПостроÇ ðí ÿхсторонником÷Îïð ë íè÷ íè1òûð.÷õò ршиннику,ðòîé.[16ñ.2]îéñò.рмоничÔèíî óð3û. ñêîé, тсяойст(спосо÷ òûí- 2).

2. /,Ò ê

ê ê

(XZ, SD) = −1

ñ îé-

(SA, SB, SC, SD) = (AB, CD), òî

(SA, SB, SC, SD) = −1

ñî-

Ò

ким о р ом, ч тыр сторонник сть

î ï ,ð ñ, ÷, íèÿ;о щ мноополост нияо, и

рноямых

попныхх

x y z w

шстоящстипротиточополокчихтыр

îíû,

прямыx y ,z

w

ñòî

ð

x ∩ y

z ∩ w, y ∩ðøèíz 79 w, ∩триx, x ∩ z и y со∩ wиняюп-