Проективная геометрия. Учебное пособие

ляэтойятьциирисунк.люкоторыхтуДойкитпконфир35ямойоðыхтрмон--- -

ункоурîольннфияпоой289ципрям..осьюоДляНук,ð

конфи

Ä

.

ñëè

Ðèñ. 36

тр у ольникоур цияр о у ось,

ð î ûì

Óê èò ï ðó

ö) нтром

) íòð,)

A3

, )

A4

, )

A5,

ÿ ëÿ òñÿ òî÷ê : ) A1, ö A2

A6

, )

A7

, )

A8

, è)

A9

, ê)

A10

ï ðó ð î îé-

осьюоых ятрляу тся:ольникол)

ð î

. Ук итсли

A1A2, ì) A1A4 í) A1A6, î) A2A6, ï)

A2A8

, ð)

A4A6

, ñ)

è, ò)îí ëüþ,ó)

A9A10

, ô)

A7A8

A3A10

A3A9

льныютсяплоскостить,ть,ïðîсторочточторуч торыíкоторыхойтырнпкоторойтррихуллуòî÷êионруольникльныльниконлипн р.сторонлиллсторосмипис.этихтриль--

ляплоскости

ê

èò

ойДок

ëè

ñëó

ìè

ïìì

íûртру9190ллольнико..сторонВпВлоиция,цииронкли

нымитрп

ï ð ëë ëî ð ììî ï ð ñ ê þòñÿ

íîé

.

íèé. Â òð ï öèè

ABCD

÷ ð ñ ð íû îñ

92

é ÿÿòû ïðî îëü-

íî точкиBC

í ëüí

ïðÿì

AD ïðÿì ÿ ïè ð ëë

M

P . Äîê òü, ÷òî

KL, K =

ниямтстрши. н-

осносоотны

íû

AMíû 93î∩.íîBPÂ î ïêëèLð= DM ∩ CP

прямым

Ai, Bi, Ci ïðèí ë ò

-

, прохр о ящимыоси прохочр оятнуч точку,ро нуто

очкури95.. В тр у ольникa, b, c

прямы ,

ся о иной оточкршины

ïðî íû

ï ð ñ ê þùè ABC

BC, B

0

= BS

AC, C

0

= CS

S :

A0 = AS ∩

AB. Док т , что точки

96. Ïðÿì0 0 ∩

0 0

0∩

0

BC ∩ B C , AC ∩ A C

, AB ∩ A B

л т н о ной прямой.

ÿ

CT97.пТррспкцияются

î íîé òî÷ê .

è

, ï -

осно нию п р с ч н прямыми

p

q

р лл льными ABCD

ит н прямой

AB; p ∩ AD = M, p ∩ AC =

. Äîê òü, ÷òî òî÷ê

MN∩P Q

P,ë q∩BD = N, q∩BC = Q

98. Тр у ольникиAB.

ìûìè

ABCльнымиDBC ï ð ñ ÷ íû

óìÿ ïðÿ-

ршиныp q, ï ð ëë

прямой AD, со иняющ й

êè

H è íèÿK. Доки онть,л чтой прям я, со иняющ я

÷-

÷ р точку

AHKD

HBCK

ABCD;

E =

ABì ÿ,∩ïCDð ,ñ Hê =þùBCÿ ∩стороныAD. Ч р точку E ïðî í ïðÿ

ò÷íияно. Доки он ть,л йчтотырпрямхуя,ольникоточк х

K

èòî÷

кисоотп рт

BC

AD

M

точкуольник.

ABKM è

èò ÷ ð

пятиу

прохон

H

MKCD102. ,Ä

ны точки

ABCDE. Постро-

M = BC ∩ OE. Äîê òü:

, то точки

,

,

)т нслио ной прямой;и

K

M

P

ë

AC 6 ||DE

P = AC ∩ DE

103. Â øACñòèó||DEольник,тоKM||AC.

точки понр сли

îчп рияс к ютсячтыро хунойольникточкABCDEF. Док ть,ольшичто

протич нияополо ных сто-

ðîí øPñòèó= AB∩DE, Qè ë= BCò∩ïEFð ñ

н о ной прямойR =. AC ∩ DF

ABCD постро ны точки

M = AB ∩ CD, H = BC ∩ AD, K = AC ∩ BD. Ïðÿì ÿ

AD

è

BC

ñî-

MîòKòñò

E и P . Док ть, что прямы AP ,

î îé òî÷êð ëë. ëüíû

ð

ABCD ñ îñíî

ниями BC и AD ч -

ршиныA B ïðî íûï ð ëë

прямы a и

è

D

прямы

c

è

d

.

b

C

è

ш стиу ольникHE KEë èò, ï íс к ющи стороны AB

÷òîBCточкточк х P = HE ∩ AB, M = KE ∩ BC. Äîê òü,

107. Â T = HK ∩ MP

è îí ëè CA.

ополо ны

протины точки

стороны поп рно п р лл льныABCDEF. Ïîñ ðî

H =

T = AB ∩ EF , O = EF ∩ CD. Док ть, что прямы HO,

циик ютсяпсяр с оч нойнияточк .

P M108, KTп. Вр трс кпющи

про ны прямы ABCD ÷ ð

ршины осно ния AB

í ì

a

b,точкпр лл льны око

м сторо-

я точку

.í ï ð îíëëòü,ëльныхчтой,прохпрямронитя,

цииточкуточкой

пиняющ

ñîð

÷

109. Ä íEтр. у ольник

щи н прямой

ABC è

ри точки P , Q, R, л -

a. Постро ны точки M = CQ ∩ AB

S÷òî= òî÷êCR ∩ P M, Y = BS ∩ AC, X = RY ∩ BC. Äîê òü,

110. ÄZí=ò P Yó ∩ольникQX при л ит прямой AB.

сторон

,

ñÿ

соотДок тсть,ííî

стороны

ð ñ ê þùè

точкях п ï ñ ê ò

AB BC

ïðÿì

AC

H è K. Ч р точки H

K про ны прямых

a||BC, b||AB прохо ит

òî÷ê M.

÷òî

BM

ч р точку п р с ч ния

HCу ольнико111AK. Åñëè.

ð î û îñè òð õ ïîï ðíî ð î ûõ òð

ÄîêABCòü, A B C , A B C

-

ричнымио112ы.ц цнтрынтр лмичто0 ò 0нкомпо0 î íîé00 èö00 прямп00 сорухллп. льныйомотют,тотийпихр рнос

ë ùèì

O1

è

O2 ñòü

омот тия с ц нтром,

н прямой

èëè

ти ополо0 íûõ 0сторон;0

a

a , b

b , c

c

0

0

0

0

0

0

шипрямы , со р ,щи проти ополо ,ны ршины ( оль-

a0

= (b∩ ·(b ∩c ) b0

= (a ∩c)·(a∩c ) c0

= (a∩b)·(a ∩b )

è îí ëè);

0

0

0

0

a1 = (a ∩ b) · (c0 ∩ a0)

a2

= (a ∩ b

· (0a ∩ c0 )è îí ëè;

b1 = a ∩ b) · (c ∩ b0 ), b2 = (b0 ∩ c)0

· (a 0∩ b )

прямы , со р щи, ру и

c1

= (b ∩ c) · (a ∩ c ) c2

= (b ∩ c ) · (a ∩ c)

(ì ëû )

A = a ∩ a0, B = b ∩ b0, C = c ∩ c0;

A0 = a1 ∩ a0 2, B0 = b1 ∩ b2, C0 = c1 ∩ c2;

0

A1 = b ∩ c , A2 = b1 ∩ c1, A3 = b0 ∩ c0 A4 = c ∩ b , A5 =

b2

∩ c2. í ê

"

ольшиин н точи онк.) ли

(Ç 113ñü

. Пусть · ш" остиуо нольникчт со

1)ï ð ñ ê þòñÿ î íîé òî÷ê .

Äîê òü, ÷òî:

a0, b0, c0

0

0

, c2

, то точки

A, B, C0

î2 íîé

прямой;

ë ò í

a , a , b , b , c1

0

0

AB||c1;

3

a a0

, b ,

0b , c1||c2

4

, b||b

, òî

;

5) ñëè a , a0

c1 , c20;

AC0||b

a||a0

, c1||c0

2,÷òîb||b

í ëè114.a||a

,

к ш. тиу ольник ольши

è î-

b||bï ð ñc1

||c2

,

b0

c0

1)

точки

a0

2

ÄîêA B òü,C0 ë ò í

прямой;

3 AB0||c1, c1||c2;

b||b , AC0||b;

4)

aточкиk a , b||b , c1||c2;

5

0

0

1)7

c ||c2, A0B0||c1;

a ||a2

, b1

||b2

, c1

||c2

a0,

a, a0 ï ð -

ñ ê þòñÿ

òî÷ê . Äîê òü, ÷òî:

0

0

то точки

A1, A4, A0

2í î

ной прямой;

ë ò

b , c c , b , a1 , a2

0

0

3

b , c0

c , b , a1||a

2

A1A4||a1

;

0

4

b , c

0

a1 , a2, c||b òî A1A0||c;

ìîé;5

6

c k b0, òî A2A3||c;

ìîé;7) ñëè a1

a2, то точки A0, A2, A5 ë ò í î íîé ïðÿ-

, òî

÷òî ñëè.

116.aÄîê1||a2 òü,A2A5||a1

1)

A a0, ñëè íî:

0

0

2

A , A4, A0 л т н о ной прямой (b , c

, c , b , a1 ,

a2);

3

a ||0a2||A1A4 (b ,0 c0, c , b0)

4

c||b ||A0A1 (b , c , a1 , a2);

0

5

A2, A3, A4

(c b );

0

;

6

точки

c||b ||A2A3

7

A0, A2, A5 л т н о ной прямой

(a1 , a2);

Пусть.

a ||a.2||A2A5

ш стиу ольник

2í î

ной прямой;

, то точки

A1, A4, A0

ë ò

b , c , c , b , a1 , a2

0

0

3

b , c0

, c , b , a1||a

2

A1A4||a1

;

0

4) ñëè b , c0

, a1 , a2, c||b , òî A1A0||c;

c , b

, то точки

145

A2, A3

, A4 л т н о ной прямой;

6

c||b ||A2A3

точки

7)

A0, A2, A5

í

(a1 , a2);

a ||a2||A2A5

119. Д ны. прямы

ê

ïð a ë bìè,ï ð ñ ê þùè ñÿ òî÷-

L, котор я л ит

ч рт. Д нПостр чк

л щ я ни н о ной и этих прямых.

îèòü

Cпрямую, н

120. LCД ны. точки

íèõ ïðÿì ÿ

P è Q

н прохо ящ я ч р

121.

c

P Q

нных прямых A и н оступную точку B

точку

a è a0, прохо ящих ч р

ð

ííîéсти прямойпрямую,польуясьпольонойуясьлиноноййкой,линòòî÷êèé îé,ó ï.

ñ122÷ íèÿA. ,Построить,про

нную точку

` c прямой, прохо ящ й ч р

ных прямых P н о тупную точкупQр с ч нияния н-

0

ïопрямыхð ðñ ê ùèõþòñÿточку

P

.

123. Ä÷ íûðòa a ï ðû

a è a , b

b

ÿìû ê îé ï ðû

0 òî÷ê õ0,

÷òî

ïð ëî

. Построить точку

P

прямойQ н

P Q с нной прямой c.

146

125 Про сти прямуюAëèí B. ÷ ð

ньшточки

мощью лин й и,

которой м

ëèíûA Bîòðñ ïîê -

AB126.

Â

êëè î îé

плоскости н п р лл ло р мм

,точкул щ я н о ной и сторон

ABCDр ллпроло рстиммн точк. Ч р E

-

ê é,

127. Д ны точки

`.

рямой128ы прямых:.. Н ч рт

нных рABм, нропро о ныяэтой

í , ïоступнойð ñ ê þùè ñÿ

Построитьточк,

b

è

b

a è a

P

ê þùè ñÿ 0

òî÷ê

0,

öèèпрямой

.

точку

ï ð òðñ÷ïíèÿ

Q

129. Ä í òð ï öèÿP Q

нной прямой `.

точкун

ниямр ллтрлоп рциимм,.

ï

íû

к о ойр ллплоскостильную осно

ðÿì130ÿM. Нпрямую,

щ япрон этойсти чпрямойпострорточкчкуния,

M

. Ïîëü-

óÿñü î `нойинлин йкой,

ï р лл льную прямой

M прямую,

Дчйкойных 131. 147прыыполнить.прямых:

ïîëü óÿñü

î íîé131Â ëèí.

`

Счит я точки

a ∩ a0 =остроитьP b ∩ b0 = Q.

ли о точку прямойпPð èëëQльн оступными,я

ê êóþ-

132. Ä íû ï PðûQ.

р лл льных прямых:

a||a0, b||b0

ïðÿì ÿ

н прямой`, í

èì. × ð

точку A, л щую

рп137сторонырточку.сДч ннияпчтрртырпрямых,сп чцияхунияльсои икрон. щихлй и. Пронпротиоступнуюсти ополопрямуюточ

êó÷û

ABCD

сторон

è òî÷ê

M

, ïðè

í ë ù ÿ îêî îé

ABCD (BC||AD)

стороныль уютросноп ции.ниямЧр . точку

M

ïðî -

сти138прямую,.Бокоп ыр лл

AB

сторонïðÿì139óþîé,..

ð сп чциинияп.Пророкос ч стиныых

Дчп ррн ллчнтырльнойоступнуюху ольникосно точкуниямптABCD

ABCD,

при этомПостроитьчки

.

140. Ï ë ÿ

HK.

ными точки

ABCD н оступ-

ê êóþ-

точкуH = ABпрямой∩ CD, E = AC ∩ BD, построить

плоскости, ÷òîë ûщи н прямойABC è òðè

P, Q, Rîò òî

a. Ïîñòроить тр у льник

XYñò Zннот нк, прямых о ршины X, Y, Z ë ëè ñî

-

прохо или р тоBC,êè CA, AB, прямы Y Z, ZX, XY

ï ð ñ ÷тыр ху льник.

144. Â ííûé

P, Q, R

è îí ëè

ABCD

òî÷ê

P

,

-

щ я сторон

р лл льную

AB. Ч р точку P про сти прямую,

146. Ä í

ï öèÿ AC.

ABCD. Ч р точку E = AB ∩

CDции147.про. Дстин п рямую,лл лопррммлл льную осно ниям тр п

ит про ол нию стороны

ABCD; òî÷ê P ïðèí ë -

T , ля которо о:

149

0

= T (E)

,

A1 = T (A1), A2 = T (A2), A3 = T (A3), E